精品解析：山东名校考试联盟2026-2027学年高三年级10月阶段性检测数学试卷

2026年10月高三年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再求交集即可. 【详解】集合，因为，所以，则，所以. 2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：，定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数， 该函数在，上单调递减，但在整个定义域内不单调递减，故A错误； 对于B：，定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数，故B错误； 对于C：，定义域为，关于原点对称， ，函数为偶函数，故C错误； 对于D：，定义域为，关于原点对称， ，函数为奇函数， 设， ， ，， 又， ，即， 在上单调递减，故D正确. 3. 设函数的定义域为，则“，”是“函数在上为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由增函数定义知：若函数为增函数，则，，必要性成立；反之充分性不成立，如非单调函数（取整函数），满足，，所以选B. 考点：充要关系 4. 已知，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数的运算法则化简，再结合基本不等式求范围即可. 【详解】由题意得，， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立 故的取值范围是 5. 已知，，，均为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将条件等式平方，再结合两角和的余弦公式和二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】， ， 则， 则，得 因为，均为锐角，所以，则， 则 6. 已知存在两个不同极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，由题设可得有2个不同的变号零点，进而分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】由，得， 因为有两个不同极值点，则有2个不同的变号零点. 当时，若，则， 若，令，则， 所以函数在上单调递增， 则在上最多只有1个零点，不符合题意； 当时，，没有零点，不符合题意； 当时，由，得， 设，则， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，又， 要使有2个不同的变号零点，则与有2个交点，则. 综上所述，的取值范围为. 7. 《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，，则， 故，则对应的律管长度为cm 8. 已知函数，，若恰有四个不同解，则实数的取值的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出和的取值范围，通过分类讨论求出实数的取值. 【详解】令， 要求有四个解，即求的解， 又， 所以是偶函数， 取，，设 则， 所以在单调递增，且， 所以在单调递增，， 由偶函数性质可得， 当时，有一个解，当时，无解， 当时，，即，且在上单调递增， 则有且仅有一个能表示，即有一个解，且时无解； 当时，， ， 令， ， 故在单调递减，且， 故当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 当时，有， 且当时，有，当时，有， 则当时，有两个解，当时，有一个解， 当时，无解， 当时，有两个解，设为， 若，此时无解，则要有四个解， 又因为当时，在上，有一个解， 且当时，当时，有一个解，故总共仅有两个解，不符合题意，舍去； 若，则， 时，同理可得有两个解，时，同理可得有两个解，则共有四个解，； 若， 对于，因为当时，在上，有一个解，且当时，当时，有两个解，总共有三个解； 对于，同理可得共有两个解，综上总共有五个解，不符题意，舍去； 若，则，同理可得共有两个解，不符题意，舍去； 若，此时无解，不符题意，舍去， 综上所述，实数的取值的集合表示为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由且，先确定、，再利用不等式的性质、基本不等式及分式作差逐项判断． 【详解】由且，可知，． A：因为且，所以，A正确． B：因为，，所以，故不成立，B错误． C：因为，所以． 由基本不等式，，C正确． D：，所以，D正确． 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原来图象重合，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 在内所有零点之和为 D. 在内恰好有4个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正切函数的图像与性质，判断其周期性、定义域、零点以及对称中心. 【详解】已知将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得图象与原来图象重合，所以是函数的一个周期，所以， 即，又因为，所以，错误； 已知，所以，解得，正确； 函数零点为，即，解得， 在区间中，的零点为，所以，正确； 正切函数的对称中心横坐标为，即，解得， 在区间中，的对称中心横坐标为，即对称中心共4个，正确. 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 设函数，则为奇函数 C. 当且仅当时， D. 若，是函数上任意两点，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用赋值法令即可求出；对于B：令可得，结合奇函数定义即可判断；对于C：令可得，利用累加法可得，，令，可解出答案；对于D：根据选项C得结论，举反例说明即可. 【详解】对于A：令代入得，解得，选项A错误； 对于B：令可得，即， 且， 则 所以，故是奇函数，选项B正确； 对于C：令可得：， 将代入，得， 则，，，，， 累加得：，则，， 令可得：， 整理得：，解得：或， 因为，所以，选项C正确； 对于D：因为，， 令，，则， 则，，即，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 ______ ． 【答案】或 【解析】 【详解】⇔或，解得或. 13. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 【答案】## 【解析】 【分析】先分别设切点求导数得出切线斜率进而得出切线方程，由题意对照直线方程分别求出即得. 【详解】设直线 与曲线的切点为 ， 由求导得，则切线方程为 依题意，其与直线为同一条直线， 故 ,解得; 设直线l： 与曲线 的切点为 由求导得 则切线方程为 ， 依题意，其与直线为同一条直线， 故, 由②解得， 代入①，可得. 所以 . 14. 已知函数，任取，定义集合：，点，，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为__________.； （2）函数的单调递增区间为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，求出，，进而求解； （2）利用数形结合，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数在圆内的纵坐标，利用圆心在函数图象上的移动，可得，的变化规律，从而得到函数的单调区间. 【详解】由得周期，. （1）当时，，所以， 先作出的图像，再以A为圆心，为半径画圆， 观察图像，发现在圆内的那部分的最大值为0，最小值为，所以. （2）函数周期为，所以只考虑一个周期内的变化，其他按周期变化处理. 如图，以为圆心，作半径为的圆，集合的元素是函数在圆内的纵坐标. 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 当从时，则，从，所以从递增到； 当从时，则，从，所以从递减到； 当从时，则，从，所以从递增到； 当从时，则，从，所以从递减到. 所以的单调递增区间为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的周期为. （1）求的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）化简解析式且利用周期求得，利用整体代换思想即可求得单调递减区间； （2）由求得，结合三角函数性质可求出，即可求出值域. 【小问1详解】 由题意可得：， 且，则函数的最小正周期，解得， 故， 令，解得：， 故的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 当时，，， 故. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证：当时，. 【答案】（1） （2）要证，即证. 令，，则， 令，则对恒成立， 所以函数即在上单调递增，故， 所以函数在上单调递增， 故，即成立，得证. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义即可求出切线方程； （2）问题转化为证明，令，，利用导数判断单调性，进而证明. 【小问1详解】 因为，所以， 又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 略 17. 已知函数（）的图象过点和点. （1）求函数的解析式； （2）当时，求满足的的取值集合； （3）当时，方程恰好有两个不同的实数解、，求实数的取值范围，并求的值. 【答案】（1）. （2）. （3），. 【解析】 【分析】（1）代入点坐标，利用正弦的和角公式展开计算即可； （2）利用三角函数的单调性和值域求解； （3）将问题转化成两个图象的交点求解. 【小问1详解】 将点和点代入解析式得：， 将①式化简得：， 将②式代入得：，则， 因为，所以，代入②式得：， 所以. 【小问2详解】 ，若，则， ，则或，解得： 即：满足的的取值集合为. 【小问3详解】 令，，所以， 恰好有两个不同的实数解、， 即直线和正弦函数在有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为、， 分别画出和在上的图象如下： 由三角函数的图象得点和点关于直线对称，则， 且，，， 所以 ，解得. 18. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）设函数，. （ⅰ）若单调递减，求的取值范围； （ⅱ）求零点个数的最大值. 【答案】（1）证明见详解； （2）(i) ；（ⅱ）零点个数最大值为 . 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域为，利用奇函数图象关于原点中心对称这一性质，再计算，借助对数运算法则与平方差公式化简，得到，判定为奇函数，即可证得曲线关于原点中心对称； （2）(i)先求出的导数，根据函数单调递减的条件，得到在上恒成立；接着对不等式进行分离参数，得到；再利用基本不等式求出右边函数的最大值，最后依据恒成立的条件分析即可；(ii)先注意到恒为的零点；再对参数分类讨论，最后综合全部情况，得到零点个数的最大值即可. 【小问1详解】 ∵ 的定义域为， ∴， 即 ， 为奇函数， ∴曲线 关于原点中心对称，是中心对称图形. 【小问2详解】 (i)∵ 的定义域为 ，∴， 则 单调递减等价于 对任意 恒成立， 即：， 由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立，故 ， ∴ ，即 的取值范围为 ； (ii)① 当时，在上单调递增，又，故仅有1个零点； ② 当时，在上单调递减，又，故仅有1个零点； ③ 当时，存在唯一使得， 在上单调递增，在上单调递减，， 当时，故在上有1个零点，且在处也为零点， ∴共2个零点， 综上，零点个数的最大值为2. 19. 对于正整数，若存在由个正实数组成的集合，满足：对于任意，，且，均有，则称是理想集. （1）若是理想集，求的值； （2）证明：理想集有无穷多个； （3）若是理想集，求的最大值. 【答案】（1） （2）设，其中， 令，即，此时， 由，解得， 于是对于，相应的均符合题意， 所以理想集有无穷多个. （3）4 【解析】 【分析】（1）根据理想集的定义列式求出，并检验； （2）设，由理想集的定义令，求得，列出不等关系求出的范围，确定，得证； （3）假设，根据理想集的定义可得均属于集合，得，即，再排除的情形，即可得证. 【小问1详解】 因为是理想集，所以， 故， 所以，又，，， 所以符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知符合题意. 若，设，且， 由理想集定义，下列各数均属于集合： ， 这里共有个互不相同的数，且全部属于， 因此，即. 接下来排除的情形， 当时，，上面这组数恰好就是的全部元素， 所以，，，，， 由和可得，则， ，，即， 令，由上面方程组可解出，，， 由，即，可得， 考察下面三个数：，三者都属于，且最大的数是， 因此第一个数不能等于，只能属于， 又，所以， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得， 结合，可得或， 若，集合，但，矛盾； 若，满足，此时，而， 因此，同样矛盾， 故不符合题意， 综上所述，的最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年10月高三年级阶段性检测 数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 设函数的定义域为，则“，”是“函数在上为增函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，均为锐角，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知存在两个不同极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《淮南子·天文训》记载“三分损益法”，是我国古代制定音律的生律制度：某律管的长度与对应的音高频率满足关系式，为定值，其中为生律常数.已知某律管频率时，管长cm，若频率，则对应的律管长度为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 已知函数，，若恰有四个不同解，则实数的取值的集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与原来图象重合，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 在内所有零点之和为 D. 在内恰好有4个对称中心 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. 设函数，则为奇函数 C. 当且仅当时， D. 若，是函数上任意两点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若，则 ______ ． 13. 已知直线l： 与曲线和 都相切，则 _______. 14. 已知函数，任取，定义集合：，点，，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记， （1）的值为__________.； （2）函数的单调递增区间为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的周期为. （1）求的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域. 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求证：当时，. 17. 已知函数（）的图象过点和点. （1）求函数的解析式； （2）当时，求满足的的取值集合； （3）当时，方程恰好有两个不同的实数解、，求实数的取值范围，并求的值. 18. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）设函数，. （ⅰ）若单调递减，求的取值范围； （ⅱ）求零点个数的最大值. 19. 对于正整数，若存在由个正实数组成的集合，满足：对于任意，，且，均有，则称是理想集. （1）若是理想集，求的值； （2）证明：理想集有无穷多个； （3）若是理想集，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $