毕达哥拉斯与古希腊数学专题训练--2026-2027学年统编版九年级历史上册

统编版·人教最新版《世界历史》九年级上册（2026年秋） 九年级上册毕达哥拉斯与古希腊数学 专题训练 专题复习　贯通第二单元（古代欧洲文明） （考试时间 45 分钟，试卷满分 100 分，共 14 题） 一、方法指导 1．毕达哥拉斯约生于公元前五七〇年，卒于公元前四九五年，是古希腊的数学学者与学派宗师。他本为萨摩斯岛人，壮年游学于埃及与巴比伦，留心那里的测地与历算之法，后渡海到意大利南部的克罗顿定居，聚徒讲学，立下一门兼具学术与宗教色彩的团体，后世称为毕达哥拉斯学派。这门团体既讲数与形，又守一套生活之戒，门人须共财、禁言、秘传其说，故其学与教缠在一起，不像后世学堂之分明。毕达哥拉斯本人著述无存，今之所知多出自门人与后人追记，然其以数为万物之本的主张，以及那一条勾股之定理，却成了希腊数学由测算进于证明的一块界石。 2．勾股之定理是毕达哥拉斯最负盛名的一条。其理说：直角三角形两直边之长的平方相加，等于斜边之长的平方；用常说，便是勾三股四弦五那一类整数搭配的推广。相传此理早为巴比伦与埃及的匠人所知，用以定直角、量田亩，然多是凭经验而用；毕达哥拉斯一派的可贵处，在于不复止于用，而要证其为必然。他们用面积拼补之法，把两直边上的方拼成斜边上的方，使这条关系由匠人之法变成可推之则。这一步的意义，不在多出一条算法，而在使数学从测与算，转到证与明：此后希腊几何多以证明为务，勾股之定理便是其开端的例证。由用到证，是希腊数学不同于东方算学的一处分野。 3．在数之一道，毕达哥拉斯学派走得很远。他们把数分作奇偶、素合，又留意一类『形数』：如一点、三点、六点、十点叠成三角，便是三角数；方平之数便是平方数；再加完全数（其真因子之和等于本身，如六）、友数之类。他们由此生出『万物皆数』的主张，以为宇宙间一切皆可还原为数与数的比例，音之和谐、天之运行，皆依数而定。这一主张虽带哲学与宗教之气，却把数学抬到本原之地：不是先有物后有数，而是数在物先，物依数而成。其说之偏在于把一切皆归整数之比，后来门人发现正方形之对角线与其边不可公度（即其比非整数分数所能尽），便与其说相抵，成为学派内部的一大困扰。 4．音乐与数之关系，是毕达哥拉斯一派很特别的一项。他们试验弦之长短与音之高低，发现若弦长之比为二比一，则两音相和为八度；为三比二，则为五度；为四比三，则为四度。音之和谐不在耳之好恶，而在弦长之比，这一条把听觉之事变成了可数之比。由此他们推想，天体之行亦有定比，所谓『天体之音』，便是说日月星辰的运转依数的比例而和。这一想法虽无从验证，却把数与美、数与天连到一处，开了日后『宇宙依数而序』一脉思想的头。其功在于使人见：和谐不是随意的，而是可量的；其限在于把比喻当了实据，天之音究竟不可闻，只是以数推想而已。 5．论毕达哥拉斯与他的学派，宜分两面。其功有三：一则立证，把勾股之关系由匠法升为可证之则，开希腊几何证明之风；二则明数，以奇偶、形数、完全数等分门别类，使数成为可研究的对象；三则通音，发现弦长之比定音之和谐，把数与美相连。其限亦三：一则秘传，门人禁言守戒，其说多靠追记，真伪难尽辨；二则偏执，『万物皆数』把一切归整数之比，遇不可公度之数便自困；三则杂糅，学术与宗教混在一门，戒律与算学不分，后世难辨何者为学、何者为教。合而观之：毕达哥拉斯是把数学变成一门证明之学的先导，他让人看见数不只用来计算，更用来说明万物之序；那一条勾股之定理，至今仍是学堂开篇便讲的事，正是他留给后人最稳的一条。 二、单项选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．毕达哥拉斯学派的创立之地是 A．雅典城 B．罗马城 C．意大利南部的克罗顿 D．埃及亚历山大城 2．毕达哥拉斯一派对勾股之定理的最大贡献在于 A．以面积拼补之法证明其必然，使数学由测算进于证明 B．首先量出勾三股四弦五 C．用于商业算账 D．编成口诀传抄 3．勾股之定理的内容是 A．三边平方相等 B．周长等于面积 C．直角三角形两直边平方之和，等于斜边平方 D．两直边之和等于斜边 4．毕达哥拉斯学派主张『万物皆数』，其意是 A．宇宙一切皆可还原为数与数的比例 B．数由万物生出 C．只有整数才是真数 D．数只用于记账 5．下列可归入毕达哥拉斯所留意『形数』的是 A．分数与小数 B．三角数与平方数 C．负数与零 D．素数单独成类不与形相联 6．毕达哥拉斯一派发现音之和谐取决于 A．乐器之贵贱 B．演奏者之技艺 C．听者之多少 D．弦长之比（二比一八度、三比二五度、四比三四度） 7．毕达哥拉斯学派内部的一大困扰来自 A．圆周之率算不出 B．正方形对角线与其边不可公度，其比非整数分数所能尽 C．行星之数不对 D．历法之乱 8．毕达哥拉斯早年游学，主要吸取了何处的测地与历算之法 A．印度 B．中国 C．波斯宫廷 D．埃及与巴比伦 9．毕达哥拉斯学派的特点之一是 A．兼具学术与宗教色彩，门人共财、禁言、秘传其说 B．完全公开讲学不分内外 C．只授匠人实用之术 D．不收门徒 10．毕达哥拉斯之学对希腊数学的影响主要在于 A．使数学退为记账之具 B．取消数与形之分 C．开证明之风，使几何以证为务 D．只重观测不重推演 三、材料解析题（本大题 4 小题，共 70 分。其中第 11 题 16 分，第 12、13、14 题各 18 分） 第11题　阅读下列材料，回答问题。 　　材料一　门人记曰：毕达哥拉斯证勾股之理，取两直边上方形，割补相拼，使合于斜边上方形，由是见两直边平方之和，正等于斜边之平方；此法不复凭匠人之验，而求必然之证。 　　材料二　又记曰：其派分数为奇偶、素合，又立三角数、平方数、完全数之属；以为万物皆可依数而论，音之和谐、天之运行，莫不系于数之比。 　　（1）根据材料一，说明毕达哥拉斯一派如何对待勾股之定理，与其前匠人用法的不同。 　　（2）根据材料二，指出该派对数与万物关系的主张。 　　（3）综合上述材料，评价毕达哥拉斯学派的学术贡献与局限。 第12题　阅读下列材料，回答问题。 　　材料三　门人又记曰：师言弦长之比定音之和：二比一为八度，三比二为五度，四比三为四度。和谐不在耳之好恶，而在数之比例。由是推之，天体之行亦依数而和，谓之天体之音。 　　材料四　后学评曰：天体之音，人耳未尝闻，乃以数推想而已。其以数比天，启『宇宙依数而序』之思，功不可没；然以比喻为实据，则失之远。 　　（1）根据材料三，说明毕达哥拉斯一派如何从音律推广到『天体之音』。 　　（2）根据材料四，指出后学对其『天体之音』说的评价。 　　（3）综合上述材料，分析毕达哥拉斯学派『以数比天』思想的功与失。 第13题　阅读下列材料，回答问题。 　　材料五　史家曰：毕达哥拉斯之学，多赖门人追记，其派禁言守戒，故真说与附会相杂，后世难尽辨。然勾股之定理、形数之目，皆切实可验，非虚言也。 　　材料六　又曰：其派遇不可公度之数（如正方形对角线与边之比），无以整数分数尽之，遂为其说所困。后可公度之论既立，其『万物皆数』之局乃破，而数之学反更广。 　　（1）根据材料五，说明毕达哥拉斯之学在流传上的特点。 　　（2）根据材料六，指出『万物皆数』之说因何而破，其结果如何。 　　（3）综合上述材料，评价毕达哥拉斯学派对数学史的意义。 参考答案及赋分参考 二、单项选择题 　　第1题 C；第2题 A；第3题 C；第4题 A；第5题 B；第6题 D；第7题 B；第8题 D；第9题 A；第10题 C 三、材料解析题 第11题 　　（1）对待之法可分两层看。其一在由用转证：材料一所说「取两直边上方形，割补相拼，使合于斜边上方形」说明，他们不是直接去量勾三股四弦五，而是把两直边上的方，用割与补的办法拼成斜边上的方；所说「由是见两直边平方之和，正等于斜边之平方」说明，拼成之后，两直边平方之和与斜边平方的相等便显在眼前。这是用形证数，比口头说更有效。其二在与前匠人之别：材料一所说「此法不复凭匠人之验，而求必然之证」说明，前人（巴比伦、埃及匠人）多凭经验用之，知其然不知其所以然；这一派则不求『碰巧如此』，而求『必然如此』。所说「必然之证」四字最要紧：经验之验可遇可误，必然之证则不随人而易。两层合起来，是同一件事的两步：先有匠人凭验之用，后有此派凭证之明。材料一所说「割补相拼」，正是把可用的法变成可信的则的关键一步；这一步走过，数学便由测与算，转到证与明，此后希腊几何多以证明为务，勾股之定理便是其开端的例证。 　　（2）主张可分两端看。其一在分类：材料二所说「其派分数为奇偶、素合」说明，他们先把数分了类——奇与偶、素与合，各归其属；所说「又立三角数、平方数、完全数之属」说明，还把数按形状立了名，一点三点六点十点叠成三角便是三角数，方平之数便是平方数，其真因子之和等于自身的是完全数。分类之要，在于把散的数收成可究的条目。其二在归本：所说「以为万物皆可依数而论」说明，他们不把数只当算具，而把数抬到本原之地；所说「音之和谐、天之运行，莫不系于数之比」说明，他们认为音之所以和、天之所以行，皆因有数的比例在其中。万物依数而成，不是先有物后有数，而是数在物先。两端合起来看，是一个很大的主张：数不只是用来数的，数本身就是万物之所以然。材料二所说「万物皆可依数而论」一句，正是『万物皆数』的注脚；所说「音之和谐、天之运行，莫不系于数之比」，则把这一主张由地推到天、由耳推到宇。其说虽带哲学之气，却使数学第一次站到了本原的位置。 　　（3）贡献与局限宜分说。先看贡献：其一在立证，材料一所说「不复凭匠人之验而求必然之证」说明，这一派把数学从凭验用到求证，开了希腊几何证明之风；其后欧几里得之流集其成，根在此处。其二在明数，材料二所说「分数为奇偶素合」「立三角数平方数完全数」说明，他们把数分门别类，使数成为可研究的对象，不再是笼统的一堆。其三在通音，所说「音之和谐、天之运行，莫不系于数之比」说明，他们发现弦长之比定音之和谐，把数与美相连，为日后『宇宙依数而序』一脉开了头。再看局限：其一在秘传，材料一、二皆出自门人追记，其派禁言守戒、共财秘传，故其说多靠后人转述，真伪难尽辨。其二在偏执，所说「万物皆可依数而论」说明，他们把一切归整数之比；后来门人发现正方形之对角线与其边不可公度，其比非整数分数所能尽，便与其说相抵，成为内里一大困扰。其三在杂糅，学术与宗教混在一门，戒律与算学不分。合而观之：毕达哥拉斯学派是把数学升为证明之学的先导，其功在证、在类、在通；其限在秘、在偏、在杂。那一条勾股之定理至今仍在学堂开篇，正是它留给后人最稳的一条，其余的戒与说，则多半留在了思想史里。 第12题 　　（1）由音律推广到天体之音，可分两层看。其一在由耳到数：材料三所说「师言弦长之比定音之和：二比一为八度，三比二为五度，四比三为四度」说明，他们先以弦长之比定下音之和谐——八度、五度、四度各有其定的比；所说「和谐不在耳之好恶，而在数之比例」说明，他们进而认为和谐不在听者喜恶，而在数之比。这是把听觉之事变成可数之比。其二在由地到天：所说「由是推之，天体之行亦依数而和，谓之天体之音」说明，他们从弦音之比，推到天体之行，认为日月星辰的运转也依数的比例而和，并给这不可闻的和谐起了个名，叫天体之音。两层合起来，是由一根弦上的比，推到全天上的比：耳所闻的八度五度，成了天所行的定则之喻。材料三所说「和谐不在耳之好恶，而在数之比例」一句最要紧——正是这一句，把音从耳移到数；既移到数，便可由地上的数，想去天上的数。其推广之链，是音之比、数之比、天之比，一环扣一环。 　　（2）后学的评价可分两面看。其一在肯其启：材料四所说「其以数比天，启『宇宙依数而序』之思，功不可没」说明，后学认其有功——把天与数比到一处，开启了『宇宙依数而序』这一脉思想，功不可没。其二在责其失：所说「天体之音，人耳未尝闻，乃以数推想而已」说明，天体之音人的耳朵从没听过，不过是以数推想；所说「然以比喻为实据，则失之远」说明，若把这种比喻当作实有的证据，那就差得太远。两层合起来看，后学是肯其思而责其法：思之启（宇宙依数而序）值得记，法之失（以比喻为实据）须点破。材料四所说「人耳未尝闻」四字最实——一个从未被听见的东西，只能推想不能证验，故其说停在想，不在实。后学之评，正是要人分清理与想：由音之比想到天之比，是理之启；把想到的当天有的，是法之失。 　　（3）功与失宜分说。先看功：其一在立比，材料三所说「弦长之比定音之和」说明，他们把音律归于可数之比，使和谐可量；材料四所说「启『宇宙依数而序』之思」说明，这一比又被推广到天，开了宇宙依数而序的思想。其二在通类，由音而天，显出他们要把万物（包括听不见的天）都纳入数的努力，这种努力使数学由算具变成说明万物之序的钥匙。再看失：其一在无证，材料四所说「人耳未尝闻，乃以数推想而已」说明，天体之音无从验证，只是推想；其二在混喻，所说「以比喻为实据，则失之远」说明，把比喻当了实据，是方法之失——音之比是可验的，天之比是推想的，二者不可等同。合而观之：『以数比天』的功，在把一个可验的例（音），引出一个可思的说（宇宙依数而序），启发后人以数观天；其失，在把推想当实证，模糊了可验与可想之界。材料三、四合看，正是一幅『由实入虚』的图：实者音之比，虚者天之音；毕达哥拉斯学派的可贵在敢于由实想到虚，其可议在把虚认作实。 第13题 　　（1）流传之特点可分两层看。其一在赖追记：材料五所说「多赖门人追记，其派禁言守戒」说明，毕达哥拉斯本人著述无存，其说多靠门人追记；而门人又禁言守戒、秘传其说，故许多内容不是公开传授、代代直传，而是经转述才留下来。其二在杂真妄：所说「真说与附会相杂，后世难尽辨」说明，因秘传与追记，真说与后人的附会混在一起，后人难以尽辨何者为其原说、何者为后来加的。两层合起来看，是同一件事的两面：靠门人追记才得传，也因门人追记而难辨真。材料五所说「禁言守戒」四字最要——正因禁言，其说不能畅传于世，只能暗记暗授，一旦散失便靠追记补，追记之中便易掺附会。故其流传之特点，是传之赖人、辨之赖后：赖门人追记而得存，赖后世考辨而去妄。这也提醒读其学者，凡涉其派之说，须分可验者与不可验者。 　　（2）所破之因与结果可分说。先看所破之因：材料六所说「其派遇不可公度之数（如正方形对角线与边之比），无以整数分数尽之」说明，他们发现正方形之对角线与其边长之比，无法用整数或分数完全表示——这便是不可公度之数；而他们的『万物皆数』把一切归整数之比，此数一现，便与其说相抵，遂为其说所困。其说之破，根在『一切皆整数之比』这一前提遇了反例。再看结果：所说「后可公度之论既立，其『万物皆数』之局乃破」说明，后来可公度（无理数）之论立起，『万物皆数』的旧局被打破；所说「而数之学反更广」说明，打破之后，数的学问反而更广——数不再被整数之比所限，而入于更宽之境。因与果合起来看，是一条很有意思的理：一派之限，成了全体之进；『万物皆数』之破，不是数学之退，而是数学之扩。材料六所说「数之学反更广」五字，正点出这一层——旧说虽破，新境乃开。 　　（3）意义宜从三方面看。其一在立证之风：材料五所说「勾股之定理、形数之目，皆切实可验」说明，他留下的勾股之定理、形数之类，都是可验的实学，不虚；这实学背后，是希腊几何由测到证的风，开了后世证明之门。其二在分类之基：材料五所说形数之目说明，他把数分门别类（奇偶、三角、平方、完全），使数成为可研究的对象，为后来数论铺了底。其三在启新之破：材料六所说「可公度之论既立，其局乃破，而数之学反更广」说明，正因他派遇不可公度之数而困，才逼出可公度（无理数）之论，数学反而更宽。局限亦须见：材料五所说「真说与附会相杂」说明，其学流传中真伪难辨；材料六所说『万物皆数』之困说明，其说有执。合而观之：毕达哥拉斯学派对数学史的意义，在立证、在分类、在破而启新——他以勾股与形数立了可验之实，以万物皆数开了本原之思，又以自身的困逼出了更宽的数境。一条勾股之定理至今为学堂首讲，正是其意义最稳的证。 解题方法归纳 ·　毕达哥拉斯约公元前五七〇年至前四九五年，为古希腊数学学者，早年游学埃及与巴比伦，后定居南意大利克罗顿而立学派。 ·　勾股之定理：直角三角形两直边平方之和，等于斜边平方；其派可贵处在不复止于用，而以面积拼补之法证其为必然。 ·　以奇偶、素合、三角数、平方数、完全数等分门别类，主张『万物皆数』，以为宇宙一切皆可还原为数与其比例。 ·　发现弦长之比为二比一、三比二、四比三，分别定八度、五度、四度之和谐，把音律归于可数之比；后遇不可公度之数而自困。 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