第二章 实数 章节练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第二章 实数 章节练习 · 北师大版2024 · 八年级数学上册 （满分 100 分，考试时间 90 分钟） 姓名：______________　　班级：______________　　考号：______________ 注意事项： 1. 答卷前，请将姓名、班级、考号填写清楚； 2. 本试卷共三大题、20 小题，请在各题对应位置规范作答，写出必要的解题过程。 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数：，3.14159，-，0.2020020002…（相邻两个 2 之间依次多一个 0），，，其中无理数的个数是（　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列说法正确的是（　） A. 4 的平方根是 2 B. -16 没有平方根 C. = ±3 D. 0.09 的平方根是 0.3 3. 下列说法正确的是（　） A. = -2 B. = ±4 C. (-1)2 的立方根是 -1 D. 负数没有立方根 4. | - 3| 的值是（　） A. 3 - B. - 3 C. ±(3 - ) D. 0 5. 若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（　） A. x ≥ 4 B. x ≤ 4 C. x > 4 D. x ≠ 4 6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（　） A. + = B. 2 - = 2 C. = 3 D. ÷ = 8. 某公园要修建一块面积为 15 m2 的正方形花坛，则花坛的边长（精确到十分位）约为（　） A. 3.8 m B. 3.9 m C. 3.87 m D. 4.1 m 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分。请把答案填在题中的横线上） 9. 计算：(1) = ________；(2) = ________；(3) - = ________。 10. 若 |a - 3| + = 0，则 ab 的值为 ________。 11. 已知最简二次根式 与 是同类二次根式，则 a 的值为 ________。 12. 若 x = - 1，则 x2 + 2x + 2 的值为 ________。 13. 将体积分别为 27 cm3、64 cm3、125 cm3 的三个正方体铁块熔铸成一个大的正方体铁块，则大铁块的棱长为 ________ cm。 14. 已知 = 1.2， = 12，则 = ________；由此猜想：若 = m（a > 0），则 = ________。 三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分。解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 15.（8 分）计算： （1）（4 分） - + ； （2）（4 分）( - ) ÷ + × 。 16.（8 分）先化简，再求值： 3 - 6 + ，其中 a = 。 17.（8 分）实数 a、b 在数轴上的位置满足：a < 0 < b，且 |a| < |b|（即点 a 比点 b 更靠近原点）。化简：|a| + |a - b| - |a + b|。 18.（10 分）已知 2a - 1 的平方根是 ±3，3a + b - 1 的算术平方根是 4。 （1）（5 分）求 a、b 的值； （2）（5 分）求 a + 2b 的算术平方根。 19.（12 分）某小区在一块长为 ( + ) 米、宽为 米的长方形空地上铺设草坪。 （1）（6 分）求这块长方形空地的面积； （2）（6 分）若将这块空地改造成面积相等的正方形，求正方形空地的边长（精确到 0.1 米）。 20.（12 分）观察下列等式： 第 1 个： = 2； 第 2 个： = 3； 第 3 个： = 4； …… （1）（4 分）请写出第 n 个等式（用含 n 的式子表示，n 为正整数）； （2）（4 分）用二次根式的运算验证你写出的等式； （3）（4 分）利用你发现的规律，求 的值。 参考答案与解析 【说明】以下答案与解析均为原创分步解答，供批阅与讲评使用。 一、选择题 1. C 无理数是无限不循环小数。 是开方开不尽的数，是无理数；3.14159 是有限小数，属于有理数；- 是分数，属于有理数；0.2020020002… 无限且不循环，是无理数； = 2，是有理数； 含无限不循环小数 π，是无理数。所以无理数有 、0.2020020002…、，共 3 个。故选 C。 2. B A 中 4 的平方根应为 ±2；B 中 -16 是负数，负数没有平方根，说法正确；C 中 = 3（ 表示 9 的算术平方根），不是 ±3；D 中 0.09 的平方根是 ±0.3。故选 B。 3. A A 中 (-2)3 = -8，所以 = -2，正确；B 中 = 4，不是 ±4；C 中 (-1)2 = 1，1 的立方根是 1，不是 -1；D 中负数也有立方根，且负数的立方根是负数。故选 A。 4. A 因为 ≈ 2.236 < 3，所以 - 3 < 0，故 | - 3| = 3 - 。故选 A。 5. B 二次根式 有意义，需被开方数非负：8 - 2x ≥ 0，移项得 2x ≤ 8，所以 x ≤ 4。故选 B。 6. C 最简二次根式要求被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。A 中 = 2，不是最简；B 中 被开方数含分母，不是最简；C 中 x2 + y2 不含能开得尽方的因式，是最简二次根式；D 中 = 2，不是最简。故选 C。 7. D A 中 与 不是同类二次根式，不能直接相加；B 中 2 - = (2 - 1) = ；C 中 = 3，不是 3；D 中 ÷ = = ，正确。故选 D。 8. B 正方形面积 = 边长2，所以边长 = 米。因为 3.82 = 14.44，3.92 = 15.21，所以 ≈ 3.873，精确到十分位为 3.9 米。故选 B。 二、填空题 9. ；-0.3；-7 （1）()2 = ，所以 = ；（2）(-0.3)3 = -0.027，所以 = -0.3；（3）(-7)2 = 49， = 7，所以 - = -7。 10. -6 因为 |a - 3| ≥ 0， ≥ 0，两者之和为 0，所以 a - 3 = 0 且 2b + 4 = 0，得 a = 3，b = -2。所以 ab = 3 × (-2) = -6。 11. 3 两个最简二次根式是同类二次根式，则被开方数相同：3a - 1 = a + 5，移项得 2a = 6，所以 a = 3。 12. 6 x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1。因为 x = - 1，所以 x + 1 = ，原式 = ()2 + 1 = 5 + 1 = 6。 13. 6 大铁块的体积为 27 + 64 + 125 = 216（cm3）。因为 63 = 216，所以大铁块的棱长为 6 cm。 14. 0.12； 被开方数缩小 100 倍，算术平方根缩小 10 倍：0.0144 = ，所以 = = 0.12。同理，0.0001a = ， = = 。 三、解答题 15.【答案】（1）；（2）3。 【解析】（1） = 4， = 2， = ，原式 = 4 - 2 + = 2 + = = 。（2） = 2，( - ) ÷ = (2 - ) ÷ = ÷ = 1； × = = = 2。原式 = 1 + 2 = 3。 16.【答案】7。 【解析】 = 2， = ， = 3，原式 = 3 × 2 - 6 × + 3 = 6 - 2 + 3 = 7。当 a = 时，原式 = 7 = 7 = 7。 17.【答案】-3a。 【解析】由 a < 0 < b 知 |a| = -a；由 a < b 知 a - b < 0，所以 |a - b| = b - a；由 |a| < |b| 且 a < 0 < b，知 a + b > 0，所以 |a + b| = a + b。原式 = -a + (b - a) - (a + b) = -a + b - a - a - b = -3a。 18.【答案】（1）a = 5，b = 2；（2）3。 【解析】（1）因为 2a - 1 的平方根是 ±3，所以 2a - 1 = (±3)2 = 9，解得 a = 5。因为 3a + b - 1 的算术平方根是 4，所以 3a + b - 1 = 42 = 16，即 3 × 5 + b - 1 = 16，解得 b = 2。（2）a + 2b = 5 + 2 × 2 = 9，因为 32 = 9，所以 a + 2b 的算术平方根是 3。 19.【答案】（1）10 平方米；（2）约为 3.2 米。 【解析】（1）长方形面积 = 长 × 宽 = ( + ) × = (3 + 2) × = 5 × = 5 × 2 = 10（平方米）。（2）正方形面积与原空地面积相等，仍为 10 平方米，所以边长 = 米。因为 3.12 = 9.61，3.22 = 10.24，所以 ≈ 3.162，精确到 0.1 米约为 3.2 米。 20.【答案】（1） = (n + 1)（n 为正整数）；（2）验证过程见解析；（3）。 【解析】（1）观察各等式，左边根号内被加数为 n，分数分母依次为 3、8、15，即 n2 + 2n，右边的系数为 n + 1，所以第 n 个等式为 = (n + 1)。（2）验证：n + = n + = n + = = 。因为 n + 1 > 0，所以左边 = = ；右边 = (n + 1) = (n + 1) = 。左边 = 右边，等式成立。（3）令 n = 20，则 n2 + 2n = 400 + 40 = 440，符合规律中的分母。 = 21 = 21 = = 。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $