陕西省延安市延川县八年级数学上学期复习作业（人教版八年级上册第十三章至第十五章）

期中整合复习作业 一、作品基础信息 作品名称 “构”通几何：三角形、全等三角形、轴对称整合复习 学段学科 初中数学 适用年级 八年级 教材版本 人教版 对应内容 几何版块整合复习 作业类型 备考复习作业 完成时长 总时长 45 分钟 设计者 魏亚娟 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形的性质”与“图形的变化”领域，核心素养指向几何直观、推理能力、空间观念、抽象能力。学业质量标准要求学生能“理解三角形的基本性质，掌握全等三角形的判定方法，理解轴对称的基本性质，能运用这些知识进行简单的推理和计算”。教材地位：三角形、全等三角形、轴对称这三章内容主要围绕三角形相关知识展开，涵盖一般三角形、两个三角形的全等关系以及特殊三角形中的等腰三角形。三章内容逻辑连贯、一脉相承：三角形是整个知识体系的基础；全等是开展几何推理的主要方法；轴对称是研究特殊三角形性质的重要工具。三者层层递进，是培养初中学生几何推理能力的重要基础。整合复习有助于学生打破章节壁垒，构建系统的几何认知结构，提升知识综合运用能力。 教学重难点：重点为全等判定与等腰三角形“三线合一”的综合运用；难点为复杂图形中识别全等模型、辅助线构造，以及轴对称性质在极值问题中的转化。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 学生已分章学习三章内容，掌握三角形基本性质、全等判定的五种方法、轴对称及等腰三角形的基本概念；具备初步的几何推理书写能力。 现有困惑 ①判定方法混淆（SSA误判、ASA与AAS混淆）；②复杂图形中难以识别或构造全等三角形；③垂直平分线的判定的应用不熟练；④最短路径问题中轴对称转化思路不清晰。 差异分析 班级约60%学生能独立完成综合证明，30%学生需要提示才能完成中等题，10%学生在基础判定和推理书写上仍有困难。 设计意图：本作业以“结构化复习”为核心理念，打破三章壁垒，通过分层闯关的形式，引导学生从“知识回忆”走向“模型识别”，再走向“综合迁移”。题目设计遵循“基础诊断→能力进阶→思维挑战”的梯度，兼顾不同层次学生需求，同时渗透“几何建模”与“转化思想”，为后续期中考试及相似三角形学习奠基。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 核心素养 评价依据 知识理解 A 识记全等三角形的判定定理、等腰三角形的性质与判定、角平分线的性质；能辨别尺规作图的基本步骤；能阐释特殊三角形中的边角数量关系 几何直观、空间观念 全等辨别、尺规作图完成度，边角关系分析准确性 能力运用 B 运用全等三角形判定方法、轴对称最短路径模型解决几何证明、计算与作图问题；能通过尺规作图完成指定的三角形作图 逻辑推理、几何运算 全等判定应用、轴对称路径求解、尺规作图完成度 思维发展 C 能比较不同全等证明方法的优劣，概括从特殊到一般的探究规律，推理论证动态几何问题中的不变结论，评判探究过程中的思路，创新性迁移已有方法解决新情境下的问题 创新意识、推理能力 方法优劣比较、规律概括、结论推证、迁移创新解决问题的表现 情感态度 D 体验几何探究中变中不变的数学美，认同逻辑推理在几何证明中的核心价值，养成规范作图、严谨书写的解题习惯 理性精神、探究意识 几何论证逻辑完整性，规范解题习惯养成情况 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 目标编号 设计意图 基础1 尺规作图 A、B 巩固钝角三角形高的位置认知，落实尺规作图基本技能 基础2 证明题 A、B、C 覆盖基本的全等判定方法，强化对判定定理的理解与应用 基础3 作图+计算题 A、B 考察基本尺规作图，结合特殊直角三角形边角关系计算 基础4 证明题 B、C 引导从全等、三线合一两个不同角度思考，培养发散思维 基础5 作图+证明题 B、C 平行线作图、角平分线性质与等腰三角形判定，考察知识综合应用 基础6 证明题 B、C 考察全等三角形构造，利用全等证明角平分线，培养逻辑推理能力 基础7 动点探究题 B、C 动态几何问题，考察全等不变性、等边三角形性质，培养几何直观 提升1 最值计算题 B、C 考察轴对称最短路径模型的应用，巩固等腰三角形性质计算角度 提升2 探究题 B、C、D 通过递进式探究，体验几何变中的不变，培养方法迁移能力 提升3 规律探究题 B、C 从特殊到一般探究规律，培养概括推理能力 五、作业评价 维度 知识理解 能力运用 思维发展 情感态度 A（优秀） 基础题全对，概念精确 方法恰当，过程清晰，理由充分 观点明确，论证充分，有独创性 主动投入，积极交流与协作；学习目标明确，能主动反思改进 B（良好） 少量细节错误 方法基本正确 表达清楚，欠缺深度 态度端正，能按要求完成任务；基本参与合作 C（待调整） 较多基础错误 方法不当或缺失 思路混乱，缺乏证据 学习态度消极，被动完成任务，合作意识弱 权重 20% 30% 30% 20% 得分 六、试题详情 知识梳理 基础题 1．如图，已知于点，于点，．分别添加下列条件：①；②；③；④．求证：≌． 2．尺规作图：已知钝角，作边上的高，垂足为点．（不写作法，保留作图痕迹） 3．已知一个等腰三角形的底边长，底边上的中线长． （1）求作等腰三角形，底边上的中线为（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若，则的长为______． 4．求证：如果三角形的一条角平分线，也是这个角所对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形．（两种方法） 5．如图，已知，为上一点． （1）过点作∥，且点到和的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：是等腰三角形． 6．在中，，，点是射线上一点，连接，过点作于点直线、交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当点在线段上时，求证：平分； 7．如图，为等边三角形，边长为．点从点出发沿向点运动，速度为；点同时从点出发沿向点运动，速度为．设运动时间为秒（）． （1）求证：≌； （2）设与交于点，求的度数，并说明理由； （3）是否存在某一时刻，使为等边三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 提升题 1．如图，在等腰中，，于点，、两动点分别在线段、线段上运动，若，当最小时，求的度数． 2．【研读素材】 《玩转三角板，探寻数学之美》探究课 同学们，我们常用的一副三角板，不仅是尺规作图的工具，更是藏着数学奥秘的“百宝箱”．今天，就让我们带着这副三角板，走进数学探究课程《玩转学具》，在动手摆放、观察猜想中，感受几何的奇妙，体会数学与生活的联系． 在中，，；在中，，．我们将用三种不同方式摆放这副三角板，解锁其中的数学规律，开启一场有趣的探究之旅！ 【察悟规律】（1）课堂上，如图1，老师让我们把两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作垂足为点，过点B作垂足为点． ①小明首先设计问题，要找出一对全等三角形，请找出该对全等三角形，并说明理由。 ②随后小明提出问题，要确定线段，及之间的数量关系，并说明理由。 【比照推演】（2）小组合作时，如图2，同学们将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作垂足为点，请你猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．在这个过程中，你会发现，看似不同的摆放方式，背后藏着相通的几何逻辑． 【纵深探究】（3）挑战升级！如图3，当两个三角板叠放在一起，顶点在线段上且顶点在线段上时，若，连接，求的面积．此时，三角板的位置发生了变化，但我们可以用前面探究的方法，迁移思路，解决新的问题，这就是数学探究中“举一反三”的魅力． 【凝思悟理】本次探究就到此结束，我们已收获了探究方法，愿我们都能在动手实践与思考中发现数学之美。 3．探究不同情境，回答下面问题： （1）如图1，，平分，平分，则的度数为__________； （2）如图2，，，分别是，三等分线中的一条，，，求的度数； （3）小明利用图3进行了深入探究： ①若是两个外角与的平分线和的交点，则与的数量关系为__________； ②若是两个外角与其中一条等分线和的交点，，，，则的度数为_____________（用含，的代数式表示）． 七、答案与解析 基础题 1．解：∵于点于点， ， ， ∴当添加时，根据可判定； （2）解：∵于点于点， ， ， ∴当添加时，根据可判定； （3）解：∵于点于点， ， ∵， ∴， ， ∴当添加时，根据可判定； （4）解：∵于点于点， ， ∵， ∴， ， ∴当添加时，根据可判定； 2．解：如图，即为上的高． 3．解：（1）如图，即为所求． （2），， 平分， ， 为等边三角形， ． 4．方法一：证明：延长到，使得，连接． ∵是的中线， ， 又 ∵， ， ， ∵平分， ， ， ， ． （2）方法二：证明：过点分别作的垂线，垂足分别为点． ， 平分， ， 是的中线， ， ， ， ． 5．解：（1）作∠AOB的角平分线OD及作∠APQ=∠AOB，交于点Q． （2）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 6．（1）证明：∵，点是射线上一点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，过点C作于H，于K， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 7．（1）证明：∵为等边三角形， ∴，． 由题意，，， ∴， 在和中，，，， ∴． （2）解：． 理由：由（1）得， ∴， ∵点M在线段上， ∴， 又， ∵是在顶点M处的外角． ∴． （3）解：存在，． 理由：，，， 若为等边三角形，则， 即， 解得：． 此时，符合题意， ∴当秒时，为等边三角形． 提升题 1．解：如图，连接， ∵，， ∴，， 又∵，∴， ∴，∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图，过点C作于点交于点，连接， ∵，∴， ∵，∴， 同理可得， ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴， ∴当取得最小值时，的度数为． 2．（1）解：①， ， ，， ， 则在中，， ， 在和中， ，，， ； ②∵， ∴，， ∴； （2）解：略 （3）解：过作交直线于， 由三角板可得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（1）解：∵， ∴， ∵点O是内角、的平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，分别是，三等分线中的一条，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $