11.3.2 两数和（差）的平方（1）教学设计 2026-2027 学年华东师大版数学八年级上册

11.3.2 两数和（差）的平方（第1课时）教学设计 （2026—2027学年华东师大版数学八年级上册 第11章 整式的乘除） 一、课程基本信息 项目 内容 课题 11.3.2 两数和（差）的平方（第1课时） 学科 数学 年级 八年级上册 教材版本 华东师大版（2024新版） 章节 第11章 整式的乘除 → 11.3 乘法公式 → 2. 两数和（差）的平方 课型 新授课 课时安排 第1课时（共2课时，45分钟） 授课对象 八年级学生 二、教材分析 “两数和（差）的平方”是华东师大版八年级上册第11章《整式的乘除》中11.3节的第二个乘法公式。学生在前面已经学习了平方差公式和多项式乘法法则，本节课是在此基础上，探究另一个特殊的多项式乘法公式——完全平方公式。 从知识体系来看，完全平方公式是整式乘法的重要公式之一，它不仅是对多项式乘法法则的归纳和总结，更是后续学习因式分解、分式运算、一元二次方程等内容的重要基础。本节课的学习，体现了“从一般到特殊”的认知规律，是培养学生符号意识和推理能力的重要载体。 教材编排通过多项式乘法法则推导公式，再通过几何图形的面积验证公式的几何意义，最后通过例题和练习巩固公式的应用。整个过程从代数到几何，从推导到应用，体现了数形结合的数学思想。 三、学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已经学习了多项式乘法法则和平方差公式，掌握了单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算方法，具备了推导完全平方公式的知识基础。同时，学生已经具备了一定的符号运算能力和几何直观能力，这些都为本节课的学习奠定了基础。 （二）认知难点分析 学生的主要困难在于：一是容易漏掉中间项2ab，错误地认为(a+b)² = a² + b²；二是对公式中中间项的系数2理解不深；三是对公式的几何意义理解不直观；四是在复杂式子中找不准哪部分是a、哪部分是b。 （三）学习特点 八年级学生已经具备一定的代数运算能力，但对公式的理解往往停留在记忆层面，容易出现“会套公式但不懂原理”的情况。教学中应通过几何直观和错例辨析，帮助学生深入理解公式的本质。 四、素养目标 （一）运算能力与推理意识 1. 理解并掌握两数和的平方公式，能运用公式进行简单的计算。 2. 经历公式的推导过程，发展符号意识和归纳推理能力。 （二）抽象能力与几何直观 1. 理解完全平方公式的几何意义，体会数形结合的数学思想。 2. 能从具体的多项式乘法中抽象出一般的乘法公式，发展抽象概括能力。 （三）应用意识与创新意识 1. 能运用完全平方公式解决简单的计算问题，感受公式的应用价值。 2. 通过口诀记忆和错例辨析，培养严谨的数学思维习惯。 五、教学重难点 教学重点：理解并掌握两数和的平方公式，能运用公式进行简单的计算。 教学难点：理解完全平方公式的结构特征和几何意义，避免漏掉中间项2ab。 六、教学准备 1. 多媒体课件（PPT），包含几何意义图、例题演示、课堂练习题。 2. 边长为(a+b)的正方形分割模型（或PPT动画演示）。 3. 课堂练习单（分层设计）。 七、教学过程 教学环节与时间 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 复习导入 提出问题 （约5分钟） 【复习旧知】 1. 多项式乘法法则是什么？ 2. 平方差公式是什么？ (a+b)(a-b) = a² - b² 【提出问题】 计算：(a+b)·(a+b) = ？ 这是两个相同的二项式相乘，有没有简便方法呢？ 【引出课题】 今天我们就来学习两数和的平方公式。 回忆多项式乘法法则和平方差公式。 尝试计算 (a+b)²。 思考：有没有更简便的计算方法？ 复习旧知，为推导公式做铺垫。提出问题，激发探究欲望。 环节二 探究推导 得出公式 （约12分钟） 【探究活动】 用多项式乘法法则计算： (a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² 【归纳公式】 (a+b)² = a² + 2ab + b² 这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的2倍。 【几何意义】 如图，边长为(a+b)的正方形，被分成四部分： 边长为a的正方形，面积a² 边长为b的正方形，面积b² 两个长a宽b的长方形，面积各为ab 大正方形面积 = (a+b)² = a² + 2ab + b² 【口诀记忆】 首平方，尾平方， 首尾乘积两倍在中央。 图1 完全平方公式的几何意义 跟随教师用多项式乘法法则推导公式。 观察几何图形，理解公式的几何意义。 记录公式和口诀。 通过代数推导和几何验证两个渠道，让学生从不同角度理解公式。数形结合，加深理解。 环节三 例题精讲 规范步骤 （约12分钟） 【例1】计算： （1）(x + 3)² （2）(2m + n)² 分析： 对照公式：(a+b)² = a² + 2ab + b² 找准哪部分是a，哪部分是b 解： （1）(x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9 （2）(2m + n)² = (2m)² + 2·2m·n + n² = 4m² + 4mn + n² 【易错提醒】 ① 不要漏掉中间项2ab！ ② 首项和尾项都要平方！ ③ 中间项是2ab，不是ab！ 【错例辨析】 (x+2)² = x² + 4 （错！漏掉了中间项4x） 【参考答案】例1： （1）x² + 6x + 9 （2）4m² + 4mn + n² 易错点提醒： ① 不要漏掉中间项2ab ② 首项和尾项都要平方 ③ 中间项是2ab，不是ab 观察例题，找准a和b。 在练习本上独立完成，对照规范解答检查。 记录易错点。 通过规范例题，让学生掌握公式的运用方法。错例辨析帮助学生避免常见错误。 环节四 课堂练习 巩固新知 （约10分钟） 【必做题】 1. 计算： （1）(a + 5)² （2）(3x + y)² （3）(2a + 3b)² 2. 判断下列计算是否正确，错误的请改正： （1）(x + y)² = x² + y² （2）(m + 2)² = m² + 4m + 4 （3）(2x + 3)² = 4x² + 6x + 9 【选做题】 3. 利用完全平方公式计算：102² 【参考答案】必做题： 1.（1）a² + 10a + 25 （2）9x² + 6xy + y² （3）4a² + 12ab + 9b² 2.（1）错。改正：x² + 2xy + y² （2）正确 （3）错。改正：4x² + 12x + 9 选做题： 3. 102² = (100+2)² = 10000 + 400 + 4 = 10404 独立完成必做题，学有余力的同学完成选做题。 同桌互相检查答案。 分层练习巩固公式运用。第2题辨析易错点，第3题简便计算拓展应用。 环节五 课堂小结 （约3分钟） 引导回顾： 1. 两数和的平方公式是什么？ 2. 公式有什么结构特点？ 3. 运用公式时要注意什么？ 【口诀】 首平方，尾平方， 首尾乘积两倍在中央； 中间符号看两边， 同号为加不会忘。 学生自主总结，用自己的话复述公式和要点。 齐读口诀。 梳理知识体系，用口诀帮助记忆公式要点。 环节六 布置作业 （约3分钟） 【必做题】 教材习题11.3 第1、2题 【选做题】 1. 思考：(a - b)² 等于什么？ 你能仿照今天的方法推导出来吗？ 2. 计算：99² 【参考答案】选做题： 1. (a-b)² = a² - 2ab + b² （下节课将详细学习） 2. 99² = (100-1)² = 10000 - 200 + 1 = 9801 记录作业。 分层作业巩固基础，选做题为下节课学习两数差的平方做铺垫。 八、板书设计 11.3.2 两数和的平方（第1课时） 一、公式推导： (a+b)² = (a+b)(a+b) = a² + 2ab + b² 二、完全平方公式： (a+b)² = a² + 2ab + b² 两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的2倍 三、口诀： 首平方，尾平方， 首尾乘积两倍在中央 四、例题： (x+3)² = x² + 6x + 9 (2m+n)² = 4m² + 4mn + n² 九、作业设计说明 本课时作业采用分层设计：必做题面向全体学生，巩固完全平方公式的基本运用；选做题面向学有余力的学生，要求思考两数差的平方公式并进行简便计算，为下节课学习做铺垫。 十、教学反思 1. 本节课重点是让学生理解和掌握两数和的平方公式，教学中要通过代数推导和几何验证两个渠道，帮助学生从不同角度理解公式。 2. 学生最容易犯的错误是漏掉中间项2ab，错误地认为(a+b)² = a² + b²。教学中要通过错例辨析，让学生自己发现错误、分析错误原因，加深对公式结构的理解。 3. 几何直观是理解公式的重要手段。教学中要充分利用边长为(a+b)的正方形分割图，让学生直观看到为什么有2ab这一项。 4. 要注意把握好本节课的度：第1课时重点讲两数和的平方公式，两数差的平方可以作为选做题让学生预习思考，不要在本节课就深入讲透，避免超纲。 5. 应关注学生的常见错误：漏掉中间项、中间项系数不是2、首项或尾项忘记平方等。通过对比练习和错例分析，帮助学生逐步掌握公式的运用。 学科网（北京）股份有限公司 $