11.3.2平方差公式教学设计-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 11.3.2 平方差公式 教科书 书 名：义务教育教科书 数学 八年级 上册 出版社：华东师范大学出版社 教学目标 1．经历探索平方差公式的过程，理解平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单计算； 2．通过多项式乘法推导公式、几何图形验证公式的过程，体会数形结合思想和从一般到特殊的研究方法，发展观察、归纳、推理能力； 3．在公式的探究与应用中感受数学公式的简洁美和结构美，培养细心观察、严谨推理的学习习惯． 教学重点： 平方差公式的推导与运用． 教学难点： 准确识别平方差公式的结构特征，灵活运用公式进行计算和简化运算． 教学环节 主要师生活动 设计意图 新课导入 复习回顾： 问题1　多项式与多项式相乘的法则是什么？ 师生活动1：学生回答——多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn． 问题2　计算下列各题，看谁算得又快又准： （1）(x+2)(x－2)；　（2）(1+3a)(1－3a)；　（3）(x+5y)(x－5y)． 师生活动2：学生独立计算，教师巡视． 教师引导：这几道题的结果有什么共同特点？你发现了什么规律？ 学生观察后发现：都是两个数的和与这两个数的差相乘，结果都是这两个数的平方差． 教师点题：这就是我们今天要学习的——平方差公式． 从学生已掌握的多项式乘法法则入手，通过一组结构特殊的计算题引入，让学生在计算中观察规律、发现规律，自然引出新课．比直接给出公式更能激发学生的探究欲望． 新知探究 探究一：代数推导 问题3　根据多项式乘法法则，计算(a+b)(a－b)，结果是什么？ 师生活动1：学生板演： (a+b)(a－b) = a²－ab+ab－b² = a²－b²． 教师讲解：这就是平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 板书：(a+b)(a－b) = a²－b²． 问题4　观察公式左右两边，左边是什么形式？右边是什么形式？ 师生活动2：学生讨论后归纳： 左边：两个二项式相乘，其中一项相同，另一项符号相反； 右边：相同项的平方减去相反项的平方． 探究二：几何验证 问题5　你能用图形的面积来说明这个公式吗？ 师生活动3：教师展示图形：边长为a的大正方形，剪去一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是a²－b²． 如果把剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形，长是(a+b)，宽是(a－b)，面积就是(a+b)(a－b)． 因为前后面积相等，所以(a+b)(a－b) = a²－b²． 教师强调：代数推导和几何验证都证明了平方差公式的正确性，体现了数形结合的思想． 例1　运用平方差公式计算： （1）(3x+2)(3x－2)；　（2）(b+2a)(2a－b)；　（3）(－x+2y)(－x－2y)． 解：（1）(3x+2)(3x－2) = (3x)²－2² = 9x²－4； （2）(b+2a)(2a－b) = (2a+b)(2a－b) = (2a)²－b² = 4a²－b²； （3）(－x+2y)(－x－2y) = (－x)²－(2y)² = x²－4y²． 教师强调：运用公式的关键是找准“相同项”和“相反项”，相同项平方减相反项平方． 分两步探究：先代数推导，从多项式乘法自然得出公式；再几何验证，用面积割补直观说明公式的合理性．让学生经历“代数—几何”双重验证，深化对公式的理解．例题由易到难，逐步渗透位置变化、符号变化等公式变形． 拓展提升 公式变形： 问题6　下列各式能否用平方差公式计算？如果能，结果是什么？ （1）(a+b)(－a－b)；　（2）(a－b)(b－a)； （3）(－m+n)(－m－n)；　（4）(ab+c)(ab－c)． 师生活动1：学生独立思考后小组讨论： （1）不能．两个二项式的两项都互为相反数，没有相同项； （2）不能．提取负号后变为－(a－b)²，不是平方差； （3）能．相同项是(－m)，相反项是2n，结果 = (－m)²－(2n)² = m²－4n²； （4）能．相同项是ab，相反项是c，结果 = (ab)²－c² = a²b²－c²． 简便运算： 问题7　用平方差公式计算：102×98． 师生活动2：学生讨论后发现： 102×98 = (100+2)(100－2) = 100²－2² = 10000－4 = 9996． 教师总结：平方差公式可以简化某些特殊数的乘法运算，这就是数学的价值——把复杂问题变简单． 辨析题：判断下列计算是否正确，错误的请改正． （1）(x+2)(x－2) = x²－2；　（2）(－3a－2)(3a－2) = 9a²－4； （3）(5a+1)(5a－1) = 25a²－1． 师生活动3：学生辨析： （1）错．应为x²－4，2要平方； （2）错．相同项是(－2)，相反项是3a，结果 = (－2)²－(3a)² = 4－9a²； （3）对． 拓展提升环节解决三个问题：一是识别公式的各种变形（位置、符号、系数、指数变化），二是用公式进行简便运算，三是辨析常见错误．通过正反对比，深化学生对公式结构特征的理解，提升灵活运用能力． 课堂练习 A组（基础达标）： 1．下列各式能否用平方差公式计算？能的请算出结果． （1）(x+1)(x－1)；　（2）(2x+y)(2x－y)； （3）(a+b)(－a－b)；　（4）(2m+3n)(2m－3n)． 【参考答案】（1）能，x²－1；（2）能，4x²－y²；（3）不能；（4）能，4m²－9n²． B组（规范运算）： 2．运用平方差公式计算： （1）(m+n)(m－n)；　　（2）(2x+3)(2x－3)； （3）(－a+b)(－a－b)；　（4）(xy+1)(xy－1)． 【参考答案】 （1）(m+n)(m－n) = m²－n²； （2）(2x+3)(2x－3) = (2x)²－3² = 4x²－9； （3）(－a+b)(－a－b) = (－a)²－b² = a²－b²； （4）(xy+1)(xy－1) = (xy)²－1² = x²y²－1． C组（综合提升）： 3．用平方差公式计算： （1）51×49；　　（2）(a+2b+c)(a+2b－c)． 【参考答案】 （1）51×49 = (50+1)(50－1) = 50²－1² = 2500－1 = 2499； （2）(a+2b+c)(a+2b－c) = [(a+2b)+c][(a+2b)－c] = (a+2b)²－c² = a²+4ab+4b²－c²． 师生活动：A组口答判断，B组板演，C组独立完成后小组互查，教师选取典型错误投影点评． 练习分A/B/C三层：A组判断能否用公式，强化结构识别；B组直接套用公式，规范运算步骤；C组综合简便运算和整体思想，提升能力．分层设计让不同水平的学生都有收获，体现因材施教． 课堂小结 教师引导学生回顾： 1．知识层面：平方差公式是什么？ (a+b)(a－b) = a²－b² 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差． 2．方法层面：运用平方差公式的关键是什么？ 一找（找相同项和相反项），二套（套公式），三算（计算结果）． 3．思想层面：本节课用到了哪些数学思想？ 数形结合思想（代数推导+几何验证）、从一般到特殊的思想（从多项式乘法到特殊公式）、转化思想（复杂运算转化为公式计算）． 教师总结：平方差公式是整式乘法中第一个重要公式，后续还要学习完全平方公式，再后面的因式分解、分式运算都要用到这些公式，大家一定要扎实掌握． 小结从知识、方法、思想三个层面展开，不仅梳理公式内容，更提炼运用公式的方法步骤和数学思想．教师点明公式的后续应用价值，让学生认识到本节课的重要性，为后续学习做好铺垫． 板书设计 11.3.2 平方差公式 一、公式：(a+b)(a－b) = a²－b² 二、结构特征： 　　左边：两数和 × 两数差（一项相同，一项相反） 　　右边：相同项² － 相反项² 三、运用步骤：一找 → 二套 → 三算 　　（找相同项和相反项）（套公式）（算结果） 四、思想：数形结合、从一般到特殊 板书结构化呈现公式、结构特征、运用步骤和数学思想，条理清晰，便于学生记录和回顾．突出“找相同项和相反项”这一核心能力． 学科网（北京）股份有限公司 $