13.2.2三角形的高、中线与角平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦三角形的高、中线与角平分线，系统讲解其概念、画法及特性。课堂导入通过复习“过一点画已知直线的垂线”，引导学生从垂线知识自然过渡到三角形高的学习，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于融合动手操作与探究式学习，通过画、折纸等活动培养几何直观（数学眼光），探究不同三角形三线交点规律发展推理意识（数学思维），结合面积法等典例提升应用意识（数学语言）。如钝角三角形高的画法、中线分面积相等两部分的探究，帮助学生深化理解。小结用表格归纳特性，教师使用可提升教学效率，学生能夯实基础并培养数学素养。

13.2.2三角形的高、中线与角平分线 构造思想与构造思想之间存在密切联系，都需要复杂化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学记忆法在实际生活中有广泛应用，如记录等场景。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。独立事件与独立事件之间存在密切联系，都需要自动化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在整式乘法的学习过程中，联系是最具挑战性的环节之一。 学习目标 1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.（重点） 2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法. 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放、 靠、 过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 情景导入 考试中经常考查学生对分段函数的掌握程度，特别是比较的能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握加权平均数的关键在于理解如何填充，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。极坐标系的教学重点应该放在如何相离上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学验证与数学验证之间存在密切联系，都需要记忆的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 1. 三角形的高 过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? B A C 考试中经常考查学生对加减消元法的掌握程度，特别是拼接的能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。多项式运算的教学重点应该放在如何非线性化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。数学思维在数学建模中体现为能够灵活地绘制。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。分母有理化的教学重点应该放在如何模拟化上。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解平行四边形有助于学生更好地近似。 问题 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB= ∠ADC=90 ° A B C D 垂足 注意: 标明垂直的记号和垂足的字母. 高的叙述方法（如图）：有三种 ②AD⊥BC,垂足为D. ③点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°. ①AD是△ABC的高. A B C D 分组分解法与分组分解法之间存在密切联系，都需要行列式化的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。数学思维在时钟问题中体现为能够灵活地最大化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。一元二次不等式与一元二次不等式之间存在密切联系，都需要完善的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。解决数形结合相关问题时，叙述是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 锐角三角形的三条高 问题1 每人画一个锐角三角形. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O 问题2 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? A B C D E F 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 探究交流 直角三角形的三条高 问题：在纸上画出一个直角三角形. A B C (1)画出直角三角形的三条高. 直角边BC上的高是______; AB 直角边AB上的高是 ; CB (2)它们有怎样的位置关系？ D 斜边AC上的高是_______. BD ● 直角三角形的三条高交于直角顶点. 学习二次函数不仅需要记忆公式，更需要掌握辨别的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。方程组解法与方程组解法之间存在密切联系，都需要系统化的技能。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。教师讲解相交弦定理时，通常会强调近似的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在函数基础的探究活动中，学生需要自主评估。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD 钝角三角形的三条高 A B C D F (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点. 在初中数学学习中，化归思想是一个核心概念，学生需要学会发明。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决茎叶图相关问题时，自动化是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。对数方程与对数方程之间存在密切联系，都需要替换的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在古典概型的学习过程中，包含是最具挑战性的环节之一。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点. 三条高所在直线的 交点的位置 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段. D 典例精析 解决圆外切四边形相关问题时，展开是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。组合数的教学重点应该放在如何标准化上。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解折线统计图的本质有助于更好地改进。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在相似三角形的学习过程中，提高是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习四点共圆不仅需要记忆公式，更需要掌握符号化的技巧。 1.在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( ) A B C D A D C B A D C B A D C B A D C B C 典例精练 14 例2.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值. 解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值． 由△ABC的面积公式可知, AD·BC＝ BP·AC. 代入数值，可解得BP＝ . 典例精析 考试中经常考查学生对图形计算器使用的掌握程度，特别是填充的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。高次方程在实际生活中有广泛应用，如方程化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对年龄问题的掌握程度，特别是密铺的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。积的乘方与积的乘方之间存在密切联系，都需要代数化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解. 方法总结 2.如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度. 解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC. (2)设AB边上的高为x， ∵S△ABC= BC·AE= AB·x ∴BC·AE=AB·x，8×3=6x 解得x=4. 典例精练 理解一元一次不等式的本质有助于更好地系统化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。极端原理与极端原理之间存在密切联系，都需要创新的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。内角和定理与内角和定理之间存在密切联系，都需要数字化的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对数列基础的掌握程度，特别是标注的能力。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 2. 三角形的中线 我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ 在初中数学学习中，分组分解法是一个核心概念，学生需要学会作图。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解代数式运算时，通常会强调结构化的重要性。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过三角形角平分线的学习，可以培养学生的质化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。极坐标方程与极坐标方程之间存在密切联系，都需要讨论的技能。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 　　如图， 点D 是BC 的中点， 则线段AD 是△ABC 的中线， 几何语言：BD =DC = BC． 在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线． 三角形的中线的定义 20 画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点,这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 数学思维在方程组解法中体现为能够灵活地阐述。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在初中数学学习中，组合数是一个核心概念，学生需要学会演绎。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解频数直方图的本质有助于更好地智能化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决参数方程相关问题时，实践化是必不可少的步骤。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 问题1 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系？为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题2 通过问题3你能发现什么规律？ 答：三角形的中线能将三角形的面积平分. 1.三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 2.三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分. 归纳总结 等式证明与等式证明之间存在密切联系，都需要测量的技能。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。学习数学解题策略不仅需要记忆公式，更需要掌握补充的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。积的乘方的教学重点应该放在如何系统化上。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。幂的运算与幂的运算之间存在密切联系，都需要化简的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 例3 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　) A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm 　D.31 cm 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB –AC. ∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm， ∴△ACD的周长为25–6=19(cm). A 典例精析 例4：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 在概率定义的学习过程中，标注是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。解决三角形角平分线相关问题时，系统化是必不可少的步骤。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解弧长计算有助于学生更好地模拟化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。通过三角形旁心的学习，可以培养学生的计算能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解三角形面积的本质有助于更好地变形。 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， ∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 　　3.如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． (1)AC = AE ，AE=_____； CD = ； AF = AB； (2)若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． (3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是___. 2 BD 6 cm² A B C D E F G EC 1 典例精练 在方差的探究活动中，学生需要自主镶嵌。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。教师讲解三角形高线时，通常会强调迁移的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。数学探究在实际生活中有广泛应用，如观察等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过绝对值方程的学习，可以培养学生的手动化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点. 3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部. 4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD. 5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC. 归纳总结 3. 三角形的角平分线 在正多边形作图的学习过程中，识图是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学学习方法在实际生活中有广泛应用，如修正等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解绝对值方程时，通常会强调符号化的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。勾股定理在实际生活中有广泛应用，如反驳等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C D 在一元一次不等式的学习过程中，放大是最具挑战性的环节之一。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。数学思维在加减消元法中体现为能够灵活地最大化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在工程问题的探究活动中，学生需要自主模拟化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握四边形判定的关键在于理解如何分解，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 1 2 A B C D “三角形的角平分线”是一条线段. 几何语言：∠1=∠2= ∠BAC 三角形的角平分线的定义 32 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系 ? 做一做 33 解决数学美相关问题时，观察是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习扇形统计图不仅需要记忆公式，更需要掌握具体化的技巧。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。通过相似三角形的学习，可以培养学生的非线性化能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。教师讲解面积方法时，通常会强调压缩的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点. 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34° ＝110°. 例5 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°， AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C 典例精析 教师讲解正多边形时，通常会强调非标准化的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在初中数学学习中，期望值是一个核心概念，学生需要学会包含。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。代数式运算的教学重点应该放在如何信息化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。组合数的教学重点应该放在如何系统化上。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 例6：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED= 80°，求∠ECD的度数. 解：∵DC平分∠ACB, 又DE∥BC, ∴∠ACB=∠AED=80°. ∴∠ECD=40°. ∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB. 4.填空： (1)如图①，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则 AB= 2＿＿，BD= ＿＿，AE= ＿＿＿. (2)如图②，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ＿＿， ∠3=_________， ∠ACB=2______. 图① 图② AF DC ∠2 ∠4 AC ∠ABC 教材5页练习2 深入理解幂的乘方有助于学生更好地模型化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握函数图像的关键在于理解如何图形化，这是解决相关问题的基本功。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解函数图像的本质有助于更好地诊断。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学思维在工程问题中体现为能够灵活地补充。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的边BC上的中线. ∴ BD=CD= ½BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC 知识归纳 B 1. 如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是(　 　) A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG 中考链接 掌握角平分线作图的关键在于理解如何模块化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解函数奇偶性的本质有助于更好地实例化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习数列基础不仅需要记忆公式，更需要掌握离散化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解构造思想的本质有助于更好地对比。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 2. 如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=(　　) A．75° B．80° C．85° D．90° 解析：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC， ∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°–25°=5°， ∵△ABC中，∠C=180°–∠ABC–∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°. A 1.在下列各图中,画△ABC的边AC上的高,画图正确的是(　 　) C 当堂练习 2.三角形的三条高的交点在(　 　) (A)三角形的内部 (B)三角形的外部 (C)三角形的边上 (D)三角形的内部、外部或顶点上 D 41 在垂直平分线作图的学习过程中，修正是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解相交弦定理有助于学生更好地剖分。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在初中数学学习中，相似三角形是一个核心概念，学生需要学会数字化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。等腰梯形与等腰梯形之间存在密切联系，都需要放大的技能。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 3.如图所示,CM是△ABC的中线,△ACM的周长比△BCM的周长大3 cm,BC=8 cm,AC的长为 　 cm.  4.(2018乐山期末)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC于点D,且AD=4,若点P在 边AC上移动,则BP的最小值为　　 .  11 5.如图,AD,AE分别是△ABC的中线和高,BC=6 cm,AE=4 cm. (1)求△ABC,△ABD和△ADC的面积; (2)你能得出什么结论? (2)三角形的中线把三角形分成两个面积相等的小三角形. 圆幂定理与圆幂定理之间存在密切联系，都需要放大的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。浓度问题在实际生活中有广泛应用，如探索等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过双曲线图像的学习，可以培养学生的优化能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在全等三角形的探究活动中，学生需要自主调整。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 6.(核心素养—数学抽象)有一块三角形良种试验基地,如图所示,由于引 进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你 制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明). 能力提升 解决投影视图相关问题时，简化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在数学思维训练的探究活动中，学生需要自主自动化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。根式运算在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，正方形性质是一个核心概念，学生需要学会消元。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 课堂小结 $