2026-2027学年人教版数学八年级上册期末压轴题专练3－整式几何等面积压轴题

八上期末压轴题专练2 －整式新定义压轴题 1．（2017春•泗阳县期中）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）＝　 　． （2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：　 　． （3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2． ①你画的图中需要B类卡片　 　张； ②分解因式：3a2+4ab+b2． 拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（　b＞a　），观察图案，以下关系式中正确的有　 　．（填写正确选项的序号） （1）ab＝（2）a+b＝m（3）a2+b2＝（4）a2+b2＝m2 2．（2017春•扬中市期中）同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？ 【苏科版教材P75页】计算如图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究（1）】： 如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，对图2的面积进行计算， 你发现的式子是　 　（用a，b表示）应用探索结果解决问题： 已知：两数x，y满足x+y＝7，xy＝6，求x﹣y的值． 【类比探究（2）】： 如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的， 对图3的面积进行计算，你发现的式子是　 　（用a，b，c表示，结果尽可能化简） 应用探索结果解决问题：正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当a2＝3x，b2＝y时，c＝4；当a2＝x，b2＝2y时，c＝3，求x，y的值． 3．（2017春•庆元县期末）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙． （1）S甲＝　 　，S乙＝　 　（用含a、b的代数式分别表示）； （2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系； （3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系． 4．（2017秋•农安县校级月考）先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明． ①根据图2写出一个等式　 　； ②已知等式（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2．请你画出一个相应的几何图形加以标注． 5．（2017春•泰兴市期中）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a+b）、（a+2b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张； （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积等于a2+5ab+4b2，画出这个长方形，并根据图形对多项式a2+5ab+4b2进行因式分解； （3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上　 　（填写序号）． ①xy＝ ②x+y＝m ③x2﹣y2＝m•n ④x2+y2＝． 6．（2022春•修水县期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和． 7．（2017春•江阴市校级期中）拼图游戏： （1）如图所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为　 　． （2）乙同学试图用下列三种纸片若干张构造一个图形，根据它的面积能够推导出多项式a2+4ab+3b2因式分解的结果，请你帮助乙同学画出图形，并适当标明字母． （3）如图所示，丙同学用8个长为a宽为b的长方形分别拼成下列两张图形，右图中的阴影部分为边长是1的小正方形空洞，你能求出小长方形的长和宽吗？ 8．（2017秋•惠安县期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）请你写出图2所表示的代数恒等式； （2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2． 9．（2017秋•衡阳县期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）用两种方法求图②中阴影部分的正方形的面积． （2）观察图②，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn； （3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求a﹣b的值． （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　 　． （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2． 10．（2017春•普宁市期末）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值； （3）已知（5+2x）2+（3+2x）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值． 11．（2017春•工业园区期中）阅读下列文字： 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，求a2+b2+c2的值； （3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）． 12．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是　 　． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝　 　； 【方法2】S阴影＝　 　； （3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）题中的等量关系，解决问题： 若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值． 13．（2020春•新吴区校级期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的面积为　 　； （2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是　 　； （3）若x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝　 　； （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　 　． （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（3m+n）＝3m2+4mn+n2． 14．（2018秋•巴南区校级期末）（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积． 方法①：　 　； 方法②：　 　； （2）根据（1）写出一个等式：　 　； （3）若x+y＝8，xy＝3.75，利用（2）中的结论，求x，y； （4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图2，它表示了（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2． 15．（2018秋•永春县期中）如图1的四边形可以用剪刀均匀分成4块完全相同的直角三角形，然后按图2的形状拼成一个边长为（m+n）的正方形（中间空白部分是一个小正方形）． （1）用含m，n的代数式表示图1的面积：　 　； （2）请用两种方法求图2中间空白部分的面积S． 方法一： 方法二： 16．（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． （1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是　 　． （2）计算：（x+a）（x+b）＝　 　；请画图说明这个等式． 17．（2018春•娄星区期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　； （3）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值． 18．（2018春•蓝田县期末）如图，在图（1）中的正方形中剪去一个边长为2a+b的正方形，将剩余的部分按图（2）的方式拼成一个长方形 （1）求剪去正方形的面积； （2）求拼成的长方形的长、宽以及它的面积． 19．（2019秋•临沭县期中）如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于　 　． （2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法①　 　；方法②　 　． （3）观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：　 　． （4）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值． 20．（2019春•扶风县期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　（用式子表达）． （2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）． 21．（2018秋•克山县期末）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：S小正方形＝　 　； 方法二：S小正方形＝　 　； （2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为　 　 （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y＝9，xy＝14，求x﹣y的值． 22．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　 　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　． （2） 小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　． 23．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC． （1）用含a、b的代数式表示GC＝　 　； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长； （3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝　 　． 24．（2021春•桥西区期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2，可得等式：　 　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3） 如图3，琪琪用2张A型纸片，3张B型纸片，5张C型纸片拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为　 　．（直接写出答案） 25．（2022秋•永春县校级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝　 　； （2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 　 　张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 　 　（用含a，b的代数式表示）； （3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 　 　； （4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由． 26．（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式：　 　． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2． 27．（2023秋•郧西县期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分长四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中的大正方形的边长为　 　；阴影部分的正方形的边长为　 　； （2）请用两种方式表示图②中阴影部分的面积． 参考答案与试题解析 1．（2017春•泗阳县期中）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式． 尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）＝　a2+2ab+b2　． （2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：　a2+3ab+2b2　． （3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2． ①你画的图中需要B类卡片　4　张； ②分解因式：3a2+4ab+b2． 拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（　b＞a　），观察图案，以下关系式中正确的有　（1），（4）　．（填写正确选项的序号） （1）ab＝（2）a+b＝m（3）a2+b2＝（4）a2+b2＝m2 【考点】完全平方公式的几何背景；因式分解﹣十字相乘法等．版权所有 【分析】（1）画出图形，结合图象和面积公式得出即可； （2）根据图形的面积即可得到结论； （3）①根据等式即可得出有3张，②根据完全平方公式判断即可． 【解答】解：（1）如图： （a+b）（a+b）＝a2+2ab+b2． 故答案为：a2+2ab+b2； （2）长方形的面积为a2+3ab+2b2， 故答案为：a2+3ab+2b2． （3）①∵3a2+4ab+b2＝（3a+b）（a+b）， ∴需要B类卡片4张； 故答案为：4； （3）解：根据图③得：4×ab+n2＝m2， ∴ab＝， ∵（b﹣a）2＝n2，4×ab+n2＝2ab+（b﹣a）2＝m2， ∴a2+b2＝m2， ∴（1），（4）正确， 故答案为：（1），（4）． 【点评】本题考查了分解因式，长方形的面积，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力． 2．（2017春•扬中市期中）同学们，在数学课本第9章《整式乘法与因式分解》里学习了整式乘法的完全平方公式，还记得它是如何被发现的吗？ 【苏科版教材P75页】计算如图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是（a+b）2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到：（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【类比探究（1）】： 如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，对图2的面积进行计算， 你发现的式子是　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab　（用a，b表示）应用探索结果解决问题： 已知：两数x，y满足x+y＝7，xy＝6，求x﹣y的值． 【类比探究（2）】： 如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的， 对图3的面积进行计算，你发现的式子是　a2+b2＝c2　（用a，b，c表示，结果尽可能化简） 应用探索结果解决问题：正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，当a2＝3x，b2＝y时，c＝4；当a2＝x，b2＝2y时，c＝3，求x，y的值． 【考点】完全平方公式的几何背景；解二元一次方程组．版权所有 【分析】（1）根据正方形ABCD的面积＝（a+b）2，正方形ABCD的面积（a﹣b）2+4ab，即可得出（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；据此可得x﹣y的值． （2）根据正方形ABCD的面积＝c2，正方形ABCD的面积（a﹣b）2+4×ab，即可得出a2+b2＝c2，据此可得关于x，y的方程组，求得x，y的值． 【解答】解：（1）如图2，正方形ABCD的面积＝（a+b）2， 正方形ABCD的面积（a﹣b）2+4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； ∵（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy，且x+y＝7，xy＝6， ∴49＝（x﹣y）2+24， 即（x﹣y）2＝25， ∴x﹣y的值为±5． 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （2）如图3，正方形ABCD的面积＝c2， 正方形ABCD的面积（a﹣b）2+4×ab， ∴c2＝（a﹣b）2+4×ab， 即a2+b2＝c2， ∵当a2＝3x，b2＝y时，c＝4；当a2＝x，b2＝2y时，c＝3， ∴， 解得． 故答案为：a2+b2＝c2． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及解二元一次方程组，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．解题时注意数形结合思想的运用． 3．（2017春•庆元县期末）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙． （1）S甲＝　（a+b）（a﹣b）　，S乙＝　a2﹣b2　（用含a、b的代数式分别表示）； （2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系； （3）现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系． 【考点】完全平方公式的几何背景；列代数式．版权所有 【专题】数形结合． 【分析】（1）根据长方形的面积计算公式以及正方形的面积计算公式进行计算，即可得到结论； （2）根据S甲＝S乙即可得到a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系； （3）将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成大正方形，即可得到（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系． 【解答】解：（1）由题可得，S甲＝（a+b）（a﹣b）； S乙＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2； （2）∵S甲＝S乙； ∴a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形． 根据图②可得： S大正方形＝（a+b）2， S大正方形＝（a﹣b）2+4ab， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景，解决问题的关键是运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 4．（2017秋•农安县校级月考）先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明． ①根据图2写出一个等式　（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2　； ②已知等式（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2．请你画出一个相应的几何图形加以标注． 【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．版权所有 【专题】整式． 【分析】（1）依据长方形的面积＝（a+2b）（2a+b），长方形的面积＝2a2+5ab+2b2，即可得到（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2； （2）由（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2可得长为2a+b，宽为a+3b的长方形． 【解答】解：（1）由图2可得，长方形的面积＝（a+2b）（2a+b）， 长方形的面积＝2a2+5ab+2b2， ∴（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2 故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2； （2）由（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2可得： 【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．（2017春•泰兴市期中）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的边长分别为（2a+b）、（a+2b），不画图形，试通过计算说明需要C类卡片多少张； （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使它的面积等于a2+5ab+4b2，画出这个长方形，并根据图形对多项式a2+5ab+4b2进行因式分解； （3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上　①②③④　（填写序号）． ①xy＝ ②x+y＝m ③x2﹣y2＝m•n ④x2+y2＝． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可求解； （2）根据图形和面积公式得出即可； （3）根据题意得出x+y＝m，m2﹣n2＝4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可． 【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2． 故需要C类卡片2张； （2）如图所示： a2+5ab+4b2＝（a+4b）（a+b）； （3）根据图③得：x+y＝m， ∵m2﹣n2＝4xy， ∴xy＝， x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝mn， ∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝m2﹣2×＝， ∴选项①②③④都正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了因式分解的应用，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力． 6．（2022春•修水县期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（m+2n）（2m+n）　； （2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【分析】（1）根据图象由长方形面积公式将代数式2m2+5mn+2n2因式分解即可； （2）根据正方形的面积得出正方形的边长，再利用每块小矩形的面积为10厘米2，得出等式求出m+n，进一步得到图中所有裁剪线（虚线部分）长之和即可． 【解答】解：（1）2m2+5mn+2n2可以因式分解为（m+2n）（2m+n）； 故答案为：（m+2n）（2m+n）； （2）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∵（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴（m+n）2＝29+20＝49， ∵m+n＞0， ∴m+n＝7， ∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为6m+6n＝6（m+n）＝42cm． 【点评】此题主要考查了因式分解的应用、列代数式以及完全平方公式的应用，根据已知图形得出是解题关键． 7．（2017春•江阴市校级期中）拼图游戏： （1）如图所示，甲同学从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为　（6a+15）cm2　． （2）乙同学试图用下列三种纸片若干张构造一个图形，根据它的面积能够推导出多项式a2+4ab+3b2因式分解的结果，请你帮助乙同学画出图形，并适当标明字母． （3）如图所示，丙同学用8个长为a宽为b的长方形分别拼成下列两张图形，右图中的阴影部分为边长是1的小正方形空洞，你能求出小长方形的长和宽吗？ 【考点】因式分解的应用；平方差公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可； （2）画出长为a+3b，宽为a+b的长方形即为所求； （3）根据等量关系：①2个宽﹣1个长＝1；②5个宽＝3个长；列出方程求解即可． 【解答】解：（1）矩形的面积为： （a+4）2﹣（a+1）2 ＝（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1） ＝3（2a+5） ＝6a+15（cm2）． 故矩形的面积为（6a+15）cm2． （2）（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2， 如图所示： （3）依题意有：， 解得． 故小长方形的长是5，宽是3． 故答案为：（6a+15）cm2． 【点评】考查了因式分解的应用，平方差公式的几何背景，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键． 8．（2017秋•惠安县期中）我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：可用图1来解释（a+b）2＝a2+2ab+b2． （1）请你写出图2所表示的代数恒等式； （2）试在图3的方框中画出一个几何图形，使它的面积等于a2+4ab+3b2． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】整式． 【分析】（1）依据图形即可得到代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2； （2）依据a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b），即可得到图形． 【解答】解：（1）图2所表示的代数恒等式为（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2； （2）如图所示：a2+4ab+3b2＝（a+b）（a+3b）， 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 9．（2017秋•衡阳县期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）用两种方法求图②中阴影部分的正方形的面积． （2）观察图②，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn； （3）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝7，ab＝5，求a﹣b的值． （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2　． （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）＝m2+4mn+3n2． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】常规题型． 【分析】（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分（小正方形）的面积，或可直接用正方形的面积公式得到． （2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别． （3）根据（2）所得出的关系式，容易求出结果． 可利用各部分面积和＝长方形面积列出恒等式． （4）可利用各部分面积和＝长方形面积列出恒等式． （5）可参照第（4）题画图． 【解答】解：（1）方法1：（m+n）2﹣4mn， 方法2：（m﹣n）2； （2）（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn； （3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝72﹣4×5＝29， a﹣b＝±； （4）（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2； 故答案为（m+n）（2m+n）＝2m2+3mn+n2； （5）答案不唯一： 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形． 10．（2017春•普宁市期末）请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，你能得到怎样的等量关系？请用等式表示出来； （2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值； （3）已知（5+2x）2+（3+2x）2＝60，求（5+2x）（2x+3）的值． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）根据图中条件即可得到结论； （2）根据已知条件得到（a+b）2＝a2+b2+2ab＝81，于是得到结论； （3）设5+2x＝a，2x+3＝b，则a2+b2＝60，a﹣b＝2，于是得到结论． 【解答】解：（1）根据图中条件得，a2+b2+2ab＝（a+b）2； （2）∵a2+b2＝57，ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝81， ∵a+b＞0， ∴a+b＝9； （3）设5+2x＝a，2x+3＝b， 则a2+b2＝60，a﹣b＝2， ∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2， ∴60﹣2ab＝4，∴ab＝28， ∴（5+2x）（2x+3）＝28． 【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解与运用，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义． 11．（2017春•工业园区期中）阅读下列文字： 我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． 请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42，求a2+b2+c2的值； （3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，请利用所给的纸片拼出一个几何图形，使得用两种不同的方法计算它的面积时，能够得到数学公式：2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可； （2）将a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可； （3）根据分解结果画出图形即可． 【解答】解：（1）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2； 正方形的面积＝各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca， 所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca； （2）∵a+b+c＝12，ab+bc+ac＝42， ∴由（1）可知：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ca）＝122﹣42×2＝60； （3）如图所示： 2a2+7ab+3b2＝（a+3b）（2a+b）． 【点评】本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键． 12．（2021春•高明区校级期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形． （1）图2的阴影部分的正方形的边长是　a﹣b　． （2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 【方法1】S阴影＝　（a﹣b）2　； 【方法2】S阴影＝　（a+b）2﹣4ab　； （3）观察如图2，写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab这三个代数式之间的等量关系． （4）根据（3）题中的等量关系，解决问题： 若x+y＝10，xy＝16，求x﹣y的值． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）观察图意直接得出正方形的边长是a﹣b； （2）利用大正方形的面积减去4个小长方形的面积，或者直接利用（1）的条件求出小正方形的面积； （3）把（2）中的两个代数式联立即可； （4）类比（3）求出（x﹣y）2，再开方即可． 【解答】解：（1）a﹣b； （2）方法1：S阴影＝（a﹣b）2， 方法2：S阴影＝（a+b）2﹣4ab； （3）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （4）∵x+y＝10，xy＝16， ∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝102﹣4×16＝36， ∴x﹣y＝±6． 【点评】此题利用数形结合的思想，来研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型． 13．（2020春•新吴区校级期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的面积为　（m﹣n）2　； （2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　； （3）若x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝　9　； （4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图③，它表示了　（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）　． （5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（3m+n）＝3m2+4mn+n2． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）表示出阴影部分的边长，即可得出其面积； （2）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系； （3）根据（2）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2的值； （4）利用两种不同的方法表示出大矩形的面积即可得出等式； （5）画出长3m+n，宽m+n的长方形即可求解． 【解答】解：（1）图②中的阴影部分的面积为（m﹣n）2； （2）（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2； （3）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9； （4）（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）． （5）如图所示： 故答案为：（m﹣n）2、（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2、9、（2m+n）（m+n）＝2m（m+n）+n（m+n）． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键． 14．（2018秋•巴南区校级期末）（1）请用两种不同的方法列代数式表示图1中阴影部分的面积． 方法①：　（m+n）2﹣4mn　； 方法②：　（m﹣n）2　； （2）根据（1）写出一个等式：　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　； （3）若x+y＝8，xy＝3.75，利用（2）中的结论，求x，y； （4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图2，它表示了（2m+n）（m+n）＝2m2+3mn+n2．试画出一个几何图形，使它的面积能表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】整式． 【分析】（1）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积； （2）依据大正方形面积﹣4个小长方形面积＝阴影部分为小正方形的面积，即可得到等式； （3）利用（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，再求x﹣y，即可解答； （4）根据多项式画出长方形，即可解答． 【解答】解：（1）方法①：（m+n）2﹣4mn， 方法②：（m﹣n）2； 故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2； （2）由（1）可得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2； 故答案为：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2； （3）由（2）可得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∵x+y＝﹣8，xy＝3.75， ∴（x﹣y）2＝64﹣15＝49， ∴x﹣y＝±7； 又∵x+y＝8， ∴或； （4）如图，表示（2m+n）（m+2n）＝2m2+5mn+2n2： 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．本题更需注意要根据所找到的规律做题． 15．（2018秋•永春县期中）如图1的四边形可以用剪刀均匀分成4块完全相同的直角三角形，然后按图2的形状拼成一个边长为（m+n）的正方形（中间空白部分是一个小正方形）． （1）用含m，n的代数式表示图1的面积：　2mn　； （2）请用两种方法求图2中间空白部分的面积S． 方法一： 方法二： 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】几何图形问题． 【分析】（1）四个三角形的面积相加即可得出答案． （2）①分别求出正方形的边长，②利用大正方形的面积减去四个三角形的面积． 【解答】解：（1）S＝4（mn）＝2mn． （2）方法一：S＝（m+n）2﹣2mn＝m2+n2， 方法二：小正方形的边长为：， ∴S＝m2+n2． 【点评】本题考查了完全平方公式的实际应用，完全平方公式与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起，要学会观察． 16．（2018春•延庆区期末）我们经常利用图形描述问题和分析问题．借助直观的几何图形，把问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路． （1）小明为了解释某一公式，构造了几何图形，如图1所示，将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并沿图中的虚线剪开，拼接后得到图2，显然图1中的图形与图2中的图形面积相等，从而验证了公式．则小明验证的公式是　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　． （2）计算：（x+a）（x+b）＝　x2+ax+bx+ab　；请画图说明这个等式． 【考点】平方差公式的几何背景；多项式乘多项式．版权所有 【专题】整式． 【分析】（1）依据图形面积＝a2﹣b2，图形面积＝（a+b）（a﹣b），即可得到（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）依据图形面积＝（x+a）（x+b），图形面积＝x2+ax+bx+ab，即可得出（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab． 【解答】解：（1）由图1可得，图形面积＝a2﹣b2， 由图2可得，图形面积＝（a+b）（a﹣b）， ∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （2）（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab， 证明：如图所示，图形面积＝（x+a）（x+b）， 图形面积＝x2+ax+bx+ab， ∴（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab， 故答案为：x2+ax+bx+ab． 【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，把阴影部分的面积用不同的方法表示是解答此类题目的关键． 17．（2018春•娄星区期末）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm） （1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线（图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（m+2n）（2m+n）　； （3）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求（m+n）2的值． 【考点】因式分解的应用．版权所有 【专题】计算题． 【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则计算； （2）根据图形的面积的不同的表示方法解答； （3）变形完全平方公式，代入计算即可． 【解答】解：（1）图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为：2（m+2n）+2（2m+n）＝6m+6n＝6（m+n）； （2）2m2+5mn+2n2可以因式分解为：（m+2n）（2m+n）， 故答案为：（m+2n）（2m+n）； （3）依题意得，2m2+2n2＝58，mn＝10， ∴m2+n2＝29， ∵（m+n）2＝m2+2mn+n2， ∴（m+n）2＝29+20＝49． 【点评】本题考查的是因式分解的应用，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． 18．（2018春•蓝田县期末）如图，在图（1）中的正方形中剪去一个边长为2a+b的正方形，将剩余的部分按图（2）的方式拼成一个长方形 （1）求剪去正方形的面积； （2）求拼成的长方形的长、宽以及它的面积． 【考点】平方差公式的几何背景．版权所有 【专题】整式． 【分析】（1）运用正方形面积公式，即可得到剪去正方形的面积； （2）依据拼成的长方形的长为3a+2b+（2a+b）＝5a+3b，宽为3a+2b﹣（2a+b）＝a+b，即可得到其面积． 【解答】解：（1）剪去正方形的面积＝（2a+b）2＝4a2+4ab+b2； （2）∵拼成的长方形的长为3a+2b+（2a+b）＝5a+3b， 宽为3a+2b﹣（2a+b）＝a+b， ∴面积＝（5a+3b）（a+b）＝5a2+8ab+3b2； 答：拼成的长方形的面积为5a2+8ab+3b2． 【点评】本题主要考查平方差公式的几何意义，用两种方法表示阴影部分的面积是解决此类问题的关键． 19．（2019秋•临沭县期中）如图①所示是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中的阴影部分的正方形的边长等于　m﹣n　． （2）请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积． 方法①　（m+n）2﹣4mn　；方法②　（m﹣n）2　． （3）观察图②，请写出（m+n）2、（m﹣n）2、mn这三个代数式之间的等量关系：　（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn　． （4）若a+b＝6，ab＝5，则求a﹣b的值． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】平均分成后，每个小长方形的长为m，宽为n． （1）正方形的边长＝小长方形的长﹣宽； （2）第一种方法为：大正方形面积﹣4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分为小正方形的面积； （3）利用（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2可求解； （4）利用（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab可求解． 【解答】解：（1）图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n； （2）方法①（m+n）2﹣4mn； 方法②（m﹣n）2； （3）这三个代数式之间的等量关系是： （m+n）2＝（m﹣n）2+4mn； （4）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， ∵a+b＝6，ab＝5， ∴（a﹣b）2＝36﹣20＝16， ∴a﹣b＝±4． 故答案为m﹣n；（m+n）2﹣4mn （m﹣n）2；（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn． 【点评】本题考查了列代数式：用到的知识点是长方形和正方形的面积公式，关键是根据面积公式表示出阴影部分的面积． 20．（2019春•扶风县期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　（用式子表达）． （2）运用你所得到的公式，计算（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）． 【考点】平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）首先利用平行四边形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到答案． （2）利用平方差公式就可简单的计算．注意将a﹣c看作一个整体． 【解答】解：（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． （2）（a+2b﹣c）（a﹣2b﹣c）， ＝[（a﹣c）+2b][（a﹣c）﹣2b]， ＝（a﹣c）2﹣（2b）2， ＝a2﹣2ac+c2﹣4b2． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．注意可以从第2个图形得出平行四边形的高． 21．（2018秋•克山县期末）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片，将长方形纸片沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形，然后拼成图②所示的一个大正方形． （1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：S小正方形＝　（m+n）2﹣4mn　； 方法二：S小正方形＝　（m﹣n）2　； （2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为　（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2　 （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若x+y＝9，xy＝14，求x﹣y的值． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【分析】（1）观察图形可确定：方法一，大正方形的面积为（m+n）2，四个小长方形的面积为4mn，中间阴影部分的面积为S＝（m+n）2﹣4mn； 方法二，图2中阴影部分为正方形，其边长为m﹣n，所以其面积为（m﹣n）2． （2）观察图形可确定，大正方形的面积减去四个小长方形的面积等于中间阴影部分的面积，即（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． （3）根据（2）的关系式代入计算即可求解． 【解答】解：（1）方法一：S小正方形＝（m+n）2﹣4mn． 方法二：S小正方形＝（m﹣n）2． （2）（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系为（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． （3）∵x+y＝9，xy＝14， ∴x﹣y＝±＝±5． 故答案为：（m+n）2﹣4mn，（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2． 【点评】本题是完全平方式的实际应用，完全平方式经常与正方形的面积公式和长方形的面积公式联系在一起，要学会观察图形． 22．（2018秋•宁城县期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　． 【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．版权所有 【专题】整式． 【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式； （2）运用多项式乘多项式进行计算即可； （3）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可； （4）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（5a+7b）（9a+4b）＝45a2+20ab+63ab+28b2＝45a2+28b2+83ab，即可得到x，y，z的值． 【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）证明：（a+b+c）（a+b+c）， ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2， ＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc， ＝102﹣2（ab+ac+bc）， ＝100﹣2×35， ＝30． 故答案为：30； （4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab， ∵（5a+7b）（9a+4b）， ＝45a2+20ab+63ab+28b2， ＝45a2+28b2+83ab， ∴x＝45，y＝28，z＝83． ∴x+y+z＝45+28+83＝156． 故答案为：156． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答． 23．（2021秋•南安市期中）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC． （1）用含a、b的代数式表示GC＝　a+b　； （2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长； （3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝　32　． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】常规题型． 【分析】（1）可有图形直观的得出结论； （2）利用完全平方公式通过展开推导，再讲数值代入计算可得； （3）通过面积计算可得，△AFC的面积为a2即为32． 【解答】解：（1）∵GC＝GB+BC， ∴GC＝a+b 故答案为：a+b （2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100 ∴a+b＝10 ∴GC＝10 （3）S△AFC＝S△AFE+S▱FGBE+S△ABC﹣S△FGC ＝b（a﹣b）+b2+a2﹣b（b+a） ＝ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab ＝a2 ＝×82 ＝32 故答案为：32 【点评】本题主要考查了完全平方公式运用，解题的关键是完全平方公式展开与合并．运用几何直观理解、通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释的知识点． 24．（2021春•桥西区期中）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2． （1）由图2，可得等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题： 已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； （3）如图3，琪琪用2张A型纸片，3张B型纸片，5张C型纸片拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为　2a+3b　．（直接写出答案） 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； （2）根据（1）中结果，求出所求式子的值即可； （3）根据题意列出关系式，即可确定出长方形较长的边． 【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45； （3）根据题意得：2a2+5ab+3b2＝（2a+3b）（a+b）， 则较长的一边为2a+3b． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；2a+3b． 【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（2022秋•永春县校级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1． （1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝　a2+3ab+2b2　； （2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取 　4　张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 　a+2b　（用含a，b的代数式表示）； （3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　； （4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由． 【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式．版权所有 【专题】计算题；整式；运算能力． 【分析】（1）根据多项式与多项式相乘的法则即可进行计算； （2）根据正方形的性质即可解决问题； （3）利用正方形的面积即可解决问题； （4）设MN＝x，根据题意可得S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，根据S1﹣S2＝3b2，列出等式，整理后得a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2； 故答案为：a2+3ab+2b2； （2）根据题意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2， ∴应取4张B型卡片才能用它们拼成一个新的正方形， ∴此新的正方形的边长是a+2b， 故答案为：4，a+2b； （3）根据题意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2； （4）设MN＝x， 根据题意，得 S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2， S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab， ∵S1﹣S2＝3b2， ∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2， ∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2， ∴（a﹣4b）x﹣（a2+5ab+4b2）＝0， ∴（a﹣4b）x﹣（a﹣4b）（a﹣b）＝0， ∴（a﹣4b）[x﹣（a﹣b）]＝0 ∴（x﹣a+b）（a﹣4b）＝0， ∴a＝4b或x＝a﹣b， ∴a与b的关系为a＝4b． 【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握完全平方公式． 26．（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示： （1）请你写出图3所表示的一个等式：　（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2　． （2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2． 【考点】多项式乘多项式．版权所有 【专题】作图题． 【分析】（1）由题意得：长方形的面积＝长×宽，即可将长和宽的表达式代入，再进行多项式的乘法，即可得出等式； （2）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的长和宽的表达式，即可画出图形． 【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽， ∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2， 故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2， 故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2； （2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2， ∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b）， 由此可画出的图形为： 【点评】本题考查了多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型． 27．（2023秋•郧西县期中）如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分长四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形． （1）图②中的大正方形的边长为　m+n　；阴影部分的正方形的边长为　m﹣n　； （2）请用两种方式表示图②中阴影部分的面积． 【考点】完全平方公式的几何背景．版权所有 【专题】计算题． 【分析】（1）图①分成了4个长为m，宽为n的长方形，图②中的阴影部分的小正方形的边长等于m﹣n，大正方形的边长等于m+n； （2）直接利用正方形的面积公式得到②中阴影部分的面积为（m﹣n）2；也可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积即②（m+n）2﹣4mn． 【解答】解：（1）大正方形的边长＝m+n，图②中的阴影部分的小正方形的边长＝m﹣n； 故答案为（m﹣n）；（m+n）； （2）方法①（m﹣n）2；方法②（m+n）2﹣4mn． 【点评】本题考查了列代数式：根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $