期末复习专题23《整式的乘法运算》 2026-2027学年人教版数学八年级上册

期末复习专题23《整式的乘法运算》 人教版八年级上册　第十六章 整式的乘法 拆分突破3整式的乘法（一）整体思想与降次代换 整体法 已知a"+3a=M，则a(a+1)(a+2)(a+3)=(a²+3a)(a²+3a+2)=M(M+2). 降次法 必刷考点一整体代入 1．已知a²十a=1,则（3+a)(2−α)的值为　　　 2．已知+=22=7，那么（2—）（2）的值为　　　 3．计算.(1-2-3-…-2022)x（2+3++2023)-(1-2—3-. .-2023)X(2+3++2022)的值为（　　） A．2 021　　　　B．2 022　　　　C．2 023　　　　D．2 024 必刷考点二配对凑整 4．若²—3—3=0，则（—1)（—2)（—3)的值为　　　 5．已知²+5—4=0，求（x+3)（x+6)（x+2)（—1)的值. 必刷考点三降次求值 6．已知2-3-1=0，则3—2-7+5的值是　　　 7．已知²—21=0，则33-10²十5+2027的值为　　　 拆分突破4整式的乘法（二）恒等、缺项、无关 若ar"+br+c=mr²十na+p恒成立，则a=m，b=n，c=p. 必刷考点一恒等 1．若（α十m）（一3）=α²十n−12对任意的恒成立，则m= ,n 2．若（x+5)（十n）=²十mz−10，则n"的值为　　　 必刷考点二缺项 3．若（2z−m）（z+6)的结果中不含α的一次项，则m的值是　　　 4．已知（3+mx+n）（α²一3+4)的展开式中不含3和²项. (1)求m，n的值； (2)求(m+n)(m²一mn+n²)的值. 必刷考点三无关 5．已知3[（2+1)（-1）（1-3k）+6（—+十k-1)的值与无关，求的值。 6．已知A=（2+1)（一2),B=（m一），且A+2B的值与的取值无关，求m的值. 拆分突破5整式的乘法（三）代数推理 必刷考点一悟定义→究本质 1．数学中也有像回文联一样的“回文等式”，例如，以下是三个两位数乘两位数的“回文等式”：21×24=42X12,31X26=62X13,12X84=48×21. （1)下列选项中能构成“回文等式”的是（　　） A．18X31与13X81；　　　B．46×32与63X24;　　　C．46X96与69X64 （2)若ab，cd均表示两位数，且abXcd=dcXba满足“回文等式”,则ac与bd的关系是 （3)请证明两位数乘两位数的“回文等式”成立。 必刷考点二寻规律→释原理 2．小戴计算下列各式，发现结果存在一定规律：53X57=3021=5×（5+1)X100+3X7，38X32=1216=3X(3+1)X100+8X2，84X86=7224=8×(8+1)×100+4X6， （1)观察相乘的两位数，发现它们十位上的数字 ，个位上的数字之和等于设一个两位数十位上的数字为m，个位上的数字为n，则另一个两位数的个位上的数字为（其中m，n为小于10的正整数），以上两位数相乘的规律是 （用含m，n的等式表示)； (2)利用发现的规律计算：①63×67= ;?71×79=　　　 必刷考点三找规律→用规律 3．观察下列各式：(-1)(+1)=21,(-1)(²++1)=3-1,(-1)(3+²++1)=4-1,…根据以上规律填空： (1)(3-1)(33+32+3+1)+1= (2)(310—1)-(3°+38++3+1)= (3)210—29+28—27+.+22—2+1= (4)计算1+2十+22025的结果的个位数字是　　　 拆分突破6整式的乘法（四）列式求面积 必刷考点一整式的乘法与图形面积 1．为了提升居民的幸福指数，某居民小区规划将一长为（9a+1)米、宽为（3b−4)米的长方形场地打造成居民健身场所，如图所示，具体规划为：在这个场地中分割出一块长为（3a+1)米、宽为6米的长方形场地建篮球场，其余的地方安装各种健身器材. (1)求安装健身器材的区域面积； (2)当a=9,b=15时，求安装健身器材的区域面积. 必刷考点二整式的乘法与图形边长 2．将两个正方形按图1，图2的方式摆放.若图1中阴影部分的面积是20，图2中阴影部分的面积是14，则大正方形的边长是　　　 3．如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙且一个顶点重合），她在三个图上分别画出了三块阴影面积.若图1,图2，图3的阴影面积分别记为S1，S2，S3.且S,=2.5,S2=2,则S3的值为　　　 图1 必刷考点三整式的乘法与作差比大小 4．现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示（a>1).某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S2. 丙丙图2 图3 (1)请用含a的式子分别表示S1，S2，当a=2时，求S,十S2的值； (2)比较S，与S2的大小，并说明理由. 拆分突破7整式的乘法（五）数形结合释原理 1．在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示，例如：（2a+6)（a+6)=2a²+3ab+6²就可以用下面图中的图1来表示.请你根据此方法写出图2中图形的面积所表示的代数恒等式：ab ab abab图1 图2 2．某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如：等式（2a+b)（a+b)=2a²十3ab+62就可以用图1的面积关系来解释：图1的面积为（2a+b)（a+b），各部分的面积之和为2a²十3ab十 ab ab b36²,故(2a+b)(a+b)=2a²+3ab+62. (1)根据图2的面积关系可以解释的一个等式为图1 图2 3．我们已经知道，公式（a+b）²=a²十2ab+6²可以用平面图形面积来表示.为了进一步探究平面图形面积与一些代数恒等式的关系，小明设计了一种由边长分别为a，b的正方形和长为α、宽为6的长方形组合如图3所示的网格.他发现图1中阴影部分的面积可以用来表示代数恒等式(3a+6)(a+2b)=3a+7ab+26² abb'b'b图1 图4 （1）请写出图2中阴影部分所表示的代数恒等式： （2)仿照图2,请在图3中用2B铅笔画出阴影图形，用它的面积表示（a+6)(a+3b)=a²+4ab+36； (3)图4的矩形面积能表示：（r+p）（α十q）=r²十mx+24，（p，q均为正整数）直接写出m的值：　　　 拆分突破8整式的乘法（六）图形拼接 1．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和6的正方形纸片按图1、图2两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2.当AD比AB大3时，S2−S,的值为（　　） A．3a　　　　　B．36　　　　　C．3a-b　　　　D．3b-a 2．如图，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图2，设正方形A的边长为，正方形B的边长为y（>y>0），且图1和图2中阴影部分的面积分别为6和28，现将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求图3中阴影部分的面积. 图1卡片是长和宽分别为a，b的长方形.选取1张A型卡片，4张C型卡片按图2的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分.已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2.若S=S2-S1,则当a与b满足 时，S为定值，且定值为 .（用含6的代数式表示） 图1 参考答案 拆分突破3整式的乘法（一）整体思想与降次代换 1．解：（3+a)(2-a)=6-3a+2a-a²=6-a-a²：a²十a=1，原式=6-（a²十a）=6−1=5.故答案为5。 2．：x²十y²=22，xy=7原式=2×22—5×7=4435=9，故答案为9 3．2022)的值为（A. 2 021 B. 2 022 C. 2 023 D.2 024 解：设2+3十.十2022=x，则原式=（1-x）（x+2023）—（1—x—2023）x=x+2023—x²—2023x—x+x²+2023x=2023. 4．解：因为x²-3x3=0，所以x²一3x=3， 5．解：x2+5x-4=0，x²+5x=4，原式=（x²+5x+6）（x2+5x−6） =（4+6)x（4-6=—20. 6．解：x²-3x-1=0，x²=3x+1.原式=x（3x+1）—（3x+1）-7x+5=3（3x+1）+x-3x-1-7x+5=7。 7．6x²+3x-20x—10+5x+2027=6（2x+1)-12x+2017=12x+6-12x+2017=2023. 若a²十b+c=mx²十nc+p恒成立,则a=m,b=n,c=p. 拆分突破4整式的乘法（二）恒等、缺项、无关 1．m-3=n，-3m=-12，…m=4,n=1. 2．解：因为（x+5）（x+n）=x²+（n+5）x+5n，且（x+5）（x+n）=x²十mx−10，所以x²十（n+5）x+5n=x²十mx−10，所以 n+5=m， 5n=-10， 解得 m=3， n=-2 所以nm=（一23=一8. 3．因为结果不含一次项，所以12−m=0，解得m=12 4．(1)求m,n的值; 解：(1)(x3+mx+n）(x²-3x+4）=x5-3x+（4+m）x+（n-3m）x²+（4m-3n）x+4n. 因为展开式中不含x3和x²项，所以4+m=0，n−3m=0，解得m=一4，n=3m=一12； 由（1）得m=—4，n=-12，所以原式=（4）3十（-12）3=—64十（-1728）=-1792 5．的值。 解：原式=3（2x²-2x+x-1-x+3kx）6x2+6kx-6=6x²-6x+3x-3-3x+9kx-6x²+6kx—6= 15kx−6x−9=（15k−6）x−9.因为式子的值与x无关，所以15k−6=0，解得k= 6．解：A+2，B=（2x+1)（x—2)+2x（m-x）=2x²-4x+x-2+2mx-2x=（2m-3)x—2. 因为A+2B的值与x的取值无关，所以2m−3=0，解得m=2° 拆分突破5整式的乘法（三）代数推理 1．46X32 与 63X24; C. 46X96 与 69X64ac=bd 解：设两个两位数分别为ab，cd，且ac=bd（其中a，b，c，d为小于10的正整数）。 左边=（10a+b）（10c+d）=100ac+10ad+10bc+bd，右边=（10d+c）（10b+a）=100bd+10ad+10bc+ac。 ：ac=bd.(10a+b)(10c+d)=(10d+c)(10b+a),…abXcd=dcXba. 2．(2)利用发现的规律计算：①63×67 ;②71X79= 解：（1）相同，10； 10-n，（10m+n）（10m+10−n）=100m（m+1）+n（10−n）； （2)63×67=6X7X100+21=4221,71×79=7×8×100+1×9=5609.观察下列各式： 3．211+1 解：发现规律为（x−1)（x"十x"-1+十.十x+1)=x"+1-1. （1)原式=34-1+1=3*=81； (2)（310—1÷（3+38++3+1)=3—1=2； 211+1 （4)原式=22026—1.：2的乘方个位数字按2，4，8，6循环，x22026—1的个位数字是3.为了提升居民的幸福指数，某居民小区规划将一长为（9a+1)米、宽为（36−4)米的长方形场地 拆分突破6整式的乘法（四）列式求面积 1．(2)当a=9,6=15时，求安装健身器材的区域面积。 I+p63b-4即安装健身器材的区域面积为（24ab−36a+2b−4）平方米； 即安装健身器材的区域面积为2942平方米。 2．解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则=（a+b)（a+b）- b2=20， 一ab=14，解得b=4，a=7. 3．为3.5 解：设大、小正方形的边长分别为a，b，则S，= a(a-b)+b（a—b）=2.5，整理得a²-b²=5，S2=a+b2 (9+) =2 整理，得b²=4，解得b=2；a=3，….S，=a?+b2 b（a+b) =3.5. 4．丙丙图2 图3 当a=2时，S，十S,=a+8a+3=23； 又a>1.(a-1)>0,Si>S2. 拆分突破7整式的乘法（五）数形结合释原理 1．数恒等式：（a+2b）（2a+2b）=2a²+6ab+4b²ab 63 b? ab ab ab 图1 图2某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如：等式（2a+b）（a+6）=2a²十3ab+6² 2．图1的面积为（2a+6)（a+b），各部分的面积之和为2a²十3ab十 ab b?+)(9+0) 图1 b)=a²+2ab+b2 (2)已知等式（α十）（α十q）=α²十（十q)+q,请你画出一个相应的几何图形加以解释。 解：（1)（a+b)a+b）=a²+2ab+b²； （2）如图3，“整体”上是长为x+p，宽为x+g的长方形，因此面积为（x+p）（x+q），而组成大长方形的四部分的面积和为x+（p+q）x+pq， 因此有（x+p）（x+q）=x+（p+q）x+pq. 3．等式(3a+b)（a+26)=3a²+7ab+26².ablc ab 24 a?图1 图4：（2a+b)（a+2b）=2a²+5ab+2b² ² (3)图4的矩形面积能表示：（十）（α十q）=α²十m+24，（p，q均为正整数）直接写出m的值：25,14,11,10 解：（2）如图所示。 拆分突破8整式的乘法（六）图形拼接 1．时,S−S1的值为（ （B） A. 3a B. 3b C. 3a−b D. 3ba 解：由图可得S=AD·AB−a?一b（AD−a），S,=AD·AB-a?-b(AB-a),S,-S-[AD·AB-a?-b(AB-a)- LAD·AB-a-b（AD-a) -AD·AB-a-b（AB-a）-AD·AB+a+b(AD-a) =-b·AB+ab+b·AD-ab=b(AD-AB).AD-AB=3.b（AD-AB)=3b，即S2-S=3b. 2．解：图1，图2中阴影部分的面积为6和28，²-y²=6,(x+y)2-x²-y=28,即x-y²=6xy=14，图3中阴影部分的面积为（2x+y）2−3x²一2y²= 4x²+4xy+y²-3x²2y²=x-y²+4xy=6+4×14=62. 图1如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为6的正方形，C型 S2−Si,则当a与b满足 a=2b日 时，S为定值，且定值为 46².（用含6的代数式表示） 解：设DG的长为x。 S,=a[x-（a+2b）]=ax-a?-2ab，S,=2b（x-a）=2bx2ab， S=S,-S1 bB S2=2bx-2ab-（ax-a²-2ab）)=(2b—a）x+a 图1 图2 若S为定值，则2b−a=0，a=2b， 当a与b满足a=2b时，S为定值，且定值为4b2公式 特征 运用场景(a+b)(a-b)=a²b² 一同，一反 a,b可为数或代数式 1 学科网（北京）股份有限公司 $