第五讲 整式乘法公式 专题复习讲义 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

第5讲 整式乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 3.完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 4.完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 5.完全平方公式变化 （1）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．① （2）完全平方公式：（a-b）2＝a2-2ab+b2．② ①+②：（a+b）2+（a-b）2＝2（a2+b2） ①-②：（a+b）2-（a-b）2＝4ab 由①②：a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（a-b）2+2ab 2ab＝（a+b）2 - （a2+b2）=（a2+b2）- （a-b）2 题型一：利用乘法公式进行简便运算 例1．计算： (1)； (2)． (1) (2) 【分析】（1）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为，结合平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例2．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． (1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式练习 1．用简便方法计算下列各题． (1)； (2) (1)10609 (2)999996 【分析】（1）根据完全平方公式简化运算即可； （2）根据平方差公式简化运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握这两个公式是解题的关键． 2．简便计算： (1)20232-2022×2024； (2)． (1)1； (2)999999． 【分析】根据平方差公式运算即可． 【详解】（1）解： ． （2） 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握公式是解题的关键． 3．利用乘法公式简便计算： (1) (2) (1)9801 (2)1 【分析】（1）原式变形后，利用完全平方公式计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式，，，是解题的关键． 4．利用公式简便运算： (1)； (2)． (1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型二：利用乘法公式的变式求值 例1． 已知，求的值． 【分析】先把两边平方，再代入的值，计算即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 变式练习 1． 已知，，求代数式的值． 【分析】利用完全平方公式即可求解． 【详解】解： = = =． ∵，． 原式= = =． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． (1) (2) 【分析】本题考查了通过完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行变形即可； （2）利用完全平方公式进行变形即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． ． 3．已知，求下列代数式的值： （1）；（2）． （1）73；（2） 【分析】（1）把已知的式子a－b＝7两边平方后，结合已知条件ab＝12解答即可； （2）先把变形为的形式，再整体代入求得，然后在开方即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴=49+2ab=49+2×12=49+24=73； （2）= ∴=． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形与求值，属于常考题型，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 4． 已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值． a2＋b2＝28，(a＋b)2＝31 【分析】用完全平方公式变形解答即可． 【详解】解：∵， ∴=25+3=28， =28+3=31． 例2．按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． (1) (2)， 【分析】（1）通过对完全平方公式进行变形求解即可； （2）使用完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 例2．（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． （1）37；（2）， 【分析】本题主要考查了完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键． （1）根据完全平方公式的变形解答即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式练习 1．（1）已知，求和的值； （2）已知．求的值． （1），；（2）5 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由求解，再代入即可求解； （2）先由 求出，再代入即可求解值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（1）已知a＋b＝4，ab＝3，求a2＋b2的值； （2）已知， 求的值． 1）10；（2）27 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）把两边平方，利用完全平方公式展开，整理即可求解． 【详解】解：（1）∵a+b=4，ab=3， ∴a2+b2 =（a+b）2-2ab =42-2×3 =16-6 =10； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式结构是解题的关键，注意整体思想的利用是解题更加简便． 3．（1）已知，． 求的值； 求的值； （2） 已知，求的值． （）；；（）． 【分析】（）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 根据完全平方公式及其变形即可求出答案； （）根据完全平方公式及其变形即可求出答案； 本题考查了完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）∵，，， ∴ ； ∵，，， ∴ ； （）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 4．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题： 已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ． ， ， ，， ． 【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． (1)3 (2)12 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． （1）把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值； （2）把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 化简，得：， 将代入得， 解得：． （2）， ， 化简，得， 即， 则 5．（1）已知，，求和的值． （2）已知，求的值． （1），；（2） 【分析】本题考查代数式求值， （1）运用完全平方公式对原式进行变形，再将，的值代入即可得解； （2）将，左右两边分别平方，即可得解； 解题的关键运用完全平方公式和等式两边平方法来计算． 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； ， ∴，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 例3．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ．，． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)设a，b满足等式，求的值． (1)的值为 (2)的值为 【分析】（1）观察等式左边为平方差结构，将两个括号中共有的视为整体换元，结合平方的非负性求解； （2）观察所求式子与等式中两个括号内式子的关系，将视为整体换元，利用平方差公式简化计算，结合非负性求解． 【详解】（1）解：设 ， 原方程变为， 整理得， ， ， ，， ，即， ， ； （2）解：设， 则，， 原等式变为 ， 整理得， ， ， ，， ， ，即， ， 即的值为． 例4．若x满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若x满足，求的值． 11 【分析】本题主要考查完全平方公式，多项式乘多项式，结合完全平方公式求得关于的等式是解题的关键．设，可得，再利用完全平方公式可得，即可求解的值，进而可求解． 【详解】解：设， 则， 所以， 所以， 解得， 即． 变式练习 1．已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，， 所以， 因为， 所以． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． ．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键； （1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【详解】（1）解：（1）设， 则原方程变形为， 整理得：整理得， 所以， 解得， 因为， 所以； （2）解：因为，， 所以， ， 所以． 2．[阅读理解]若x满足，求的值． 解：设，，则， ， ∴． [解决问题]若x满足，求的值． 【分析】根据题目所给的方法，设，则，再根据，即可得出答案． 【详解】解：设， ， ， 则， ， 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键． 3．阅读材料：若x满足，求的值 解：设，，则，， ∴． 这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 请仿照上述材料解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求代数式的值： 【分析】本题考查完全平方公式的应用，掌握换元法是解题的关键． （1）参照题干做法，设，，利用换元法求解； （2）设，，得出，，将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴． （2）解：设，， 则，， ∴，， ∴ ． 4．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读下列解题思路： 例1：已知，，求的值． 解：∵，， ∴． 例2：若满足，求的值． 解：设，， 则，． 这样就可以利用例1中的方法进行求值了！ 请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值． 【分析】（1）根据完全平方公式变形求值即可求解； （2）设,,则，，然后感觉完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2）解：设,, 则，， ∴ 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． 题型三：利用完全平方配方求多项式最小/大值问题 例1．在学习乘法公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：___________；___________=； (2)若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)已知是的三边长，满足，且的值为代数式的最大值，请求出该三角形的周长． (1)，16，4 (2)，小， (3)14 【分析】（1）根据完全平方公式完成填空； （2）利用配方法求出最值即可； （3）根据完全平方公式求出，再利用配方法求出，即可求出周长； 【详解】（1）解：；； （2）解： ， ， ∴当时，有最小值，这个值是； （3）解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∵， 又， ∴， ∵的值为代数式的最大值， ∴， ∴该三角形的周长． 变式练习 1．在学习乘法公式的运用，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：； (2)若，当______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并求出该三角形的周长． (1)；；4 (2)；小； (3)为等腰三角形，理由见解析，周长为14 【分析】（1）根据完全平方公式，即可求解； （2）利用配方法确定最小值，即可求解； （3）根据完全平方公式，可得，从而得到，再由配方法可得当时，有最大值，这个值是4，即可求解． 【详解】（1）解∶ ；； 故答案为：；；4 （2）解： ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴ ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴当时，y有最小值，这个值是； 故答案为：；小； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ∴， ∴， ∴， 解得：， ， ∵， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是4， ∴当时，有最大值，这个值是4， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 周长为． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并利用类比思想解答是解题的关键． 2．阅读材料： 上面的方法称为多项式的配方法，根据以上材料，解答下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． (1) (2)12 【分析】（1）配方后根据平方的非负性求最小值． （2）配方后根据非负性求出a，b，c的值． 【详解】（1）解： ∵， ∴当时，原式最小为． （2）， ∴， ， ∴，，， ∴，，， ∴周长． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，解题关键是熟知配方法并能熟练利用配方法进行求解． 3．阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则这个代数式的最小值是_____，这时相应的的值是_______． 【尝试应用】 (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值， 【拓展提高】 (3) 已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． (1)2， (2)最大值为84， (3) 【分析】（1）根据实数的非负性，解答即可； （2）根据文中提供的解题方法解答即可； （3）根据，根据配方法，非负性，三角形三边关系，解答即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴． 且时即，取得最小值， 故这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为84，且时取得最大值，此时； （3）解：， ， ， ， ， ， 解得， 由c是中最长的边， 故c的取值范围为即． 4．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． (1)2； (2)； (3)的最大值为18． 【分析】（1）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （2）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （3）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，则，根据，确定出最大值即可． 【详解】（1）解： ， ， 当时，有最小值； （2）解：， ， ， ，， ，， ； （3）解：设其中一条直角边为，则另一条直角边为， ， ， 当时，有最大值18． 5．【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． (1)【尝试应用】直接写出的最小值为______； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)【拓展提高】用长12m的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． (1)3 (2)当时，的值最小，最小值是7 (3)当围成边长为3m的长方形时面积最大，最大面积是9m，理由： 设长方形的长为m，则宽为m， 围成的长方形的面积是， ， 又， ， 当即时，的值最大，最大值是9， 最大面积为9平方米． 【分析】（1）由可得从而可得的最小值； （2）利用配方法把化为从而可得答案； （3）设长方形的长为m，则宽为m，围成的长方形的面积是，再把化为，从而可得答案． 【详解】（1）解： ∴ ∴的最小值为3， 故答案为：3． （2） ， ， ， 当即时，的值最小，最小值是7 （3）略． 【点睛】本题考查的是利用完全平方式的非负性求解代数式的最值，利用完全平方公式分解因式，同时考查了不等式的基本性质，掌握“完全平方式的特点”是解本题的关键． 6．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． (1) (2)当，时，多项式有最小值，最小值为3 (3)周长的最大值为13 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b，再根据三角形三边的关系求出的最大值，由此可求出答案． 【详解】（1）解： ； （2） ， 当，时，多项式的最小值为3； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵c是正整数， ∴当时，周长取最大值， ∴周长的最大值． 7．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值： 2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 ＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6 ＝2（x﹣1）2﹣8 又∵2（x﹣1）2≥0 ∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：m2﹣6m﹣7； (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值． (1)（m+1）（m﹣7） (2)当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3 (3)13 【分析】（1）仿照例1的解题思路，利用配方法即可解答； （2）仿照例2的解题思路，利用配方法即可解答； （3）利用配方法可得（a-4）2+（b-3）2=0，再利用偶次方的非负性可求出a，b的值，然后利用三角形的三边关系求出c的最大值，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：m2﹣6m﹣7 ＝m2﹣6m+9﹣9﹣7 ＝（m﹣3）2﹣16 ＝（m﹣3+4）（m﹣3﹣4） ＝（m+1）（m﹣7） （2）2x2+y2﹣8x+6y+20 ＝（2x2﹣8x）+y2+6y+9+11 ＝2（x2﹣4x+4﹣4）+y2+6y+9+11 ＝2（x﹣2）2﹣8+（y+3）2+11 ＝2（x﹣2）2+（y+3）2+3． ∵2（x﹣2）2≥0，（y+3）2≥0， ∴当x＝2，y＝﹣3时，2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值，最小值是3． （3）∵a2+b2＝8a+6b﹣25， ∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0， ∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0 ∴a﹣4＝0，b﹣3＝0， ∴a＝4，b＝3 ∵4﹣3＜c＜4+3， ∴1＜c＜7， ∵c为正整数， ∴c最大取6． ∴△ABC周长的最大值＝3+4+6＝13， ∴△ABC周长的最大值为13． 【点睛】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． 题型四：平方差公式在几何图形中的应用 例1．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2) 如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） (1)①；② (2) 【分析】（1）①由题中操作步骤即可得到图2中的阴影部分的面积；②用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积即可得到答案； （2）先由图中线段关系得到，数形结合得到，代入相关线段长度计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据题意，是长为、宽为的长方形， 阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为； ②图1的面积为，图2的面积为， 则由题意可得； （2）解：由题意得， 例2．探寻运算规律： 同学们，在数学王国里，图形与运算是一对密不可分的好朋友，图形的变化中经常隐藏着运算的规律． (1)有两个正方形，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，如果把它们组合在一起（如下图），阴影部分的面积就可以用大正方形的面积减去小正方形的面积，那么，阴影部分的面积可以表示为（    ）． (2)如果沿着虚线将阴影部分分割成两个长方形，再把两个长方形拼到一起，这样阴影部分拼成的长方形的长就可以表示为（    ），宽就可以表示为（    ），面积就可以表示为（    ）． (3)通过观察、推导上面阴影部分面积两种不同的计算方法，请用等式表示出你发现的结论． (4)周末，体育组的王老师去买篮球，篮球52元/个，需要购买48个，他正想用手机里的计算器计算一下总价，没想到老板马上说出了答案．经询问，老板运用的秘诀就是上面发现的运算规律，你能试着计算一下吗？ ．(1) (2)；； (3) (4)元 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的面积，列代数式，有理数混合运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的计公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积求出阴影部分的面积即可； （2）根据图形得出长方形的长和宽，求出长方形面积即可； （3）根据面积相等，得出等式即可； （4）根据题意得出，利用得出的等式进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可以表示为； （2）解：如果沿着虚线将阴影部分分割成两个长方形，再把两个长方形拼到一起，这样阴影部分拼成的长方形的长就可以表示为，宽就可以表示为，面积就可以表示为： ； （3）解：得出等式为； （4）解： （元）． 答：总价为元． 变式练习 1．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． (1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由图1，阴影部分由大正方形面积减去小正方形面积即可． （2）由图2，代入梯形面积公式化简得． （3）图1与图2面积相等，可得到平方差公式． （4）利用平方差公式，化简计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，图1的阴影面积为． （2）解：由题意可得，图2梯形的面积为 ． （3）解：由题意，图1和图2的阴影面积相等， 因此可得平方差公式． （4）解： ． 2．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： (1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 3．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． (1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 4．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． (1) (2)①90000    ② 【分析】（1）用代数式分别表示图①、图②中阴影部分的面积即可； (2)①先将原式变形为，然后利用（1）中结论求解即可； ②利用（1）的结论，把原式化为：，再连续利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为：， 则阴影部分的面积可以验证的公式是； （2）①解： ； ②解：原式 ． 5．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个选项） A．    B． C．    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． (1)B (2) (3) 【分析】（1）结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可； （2）利用平方差公式计算即可； （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为的正方形面积是，边长为的正方形面积是， 图1阴影部分面积为；图2长方形面积为； 验证的等式是：． （2）解：，， ． （3）解： ． 题型五：完全平方公式在几何图形中的应用 例1．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． (1) (2)3 (3) (4)79 【分析】（1）利用等面积法求得结论即可； （2）由完全平方公式变形为，代入数值求出结果即可； （3）根据完全平方公式可得，然后利用整体思想求出结果即可； （4）根据题意得，设，则，进而可得，结合三角形面积公式可得；令，易得，然后利用整体思想求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）由（1）可得，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （4）设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 令， ∴， ∴正方形和正方形的面积和 ． 例2．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，则的值为____________； (2)【类比应用】①若，则 ； ②若x满足，求的值； ③若x满足，求的值； (3) 【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． (1)2 (2)①3；②31；③1008 (3)30 【分析】（1）直接由完全平方公式即可得出答案． （2）①先由得，再将代入即可得出答案； ②根据完全平方公式即可得出答案； ③根据完全平方公式即可得出答案． （3）设，，由得，据此可得，然后再由得，由此利用完全平方公式可求出，最后利用三角形面积公式可求出一块直角三角板的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴． ②原式 ； ③∵ ， ∴； （3）解：设，， ∵，点A、O、D三点共线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式练习 1．阅读材料：已知，，求的值． 解：， 参考上面的方法求解下列问题： (1)①若，，求的值； ②已知满足，求的值． (2)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． (1)①12；②8 (2)①8；②14 【分析】（1）①根据，代入求解即可； ②设，可得，由代入求出的值即可； （2）①设，则，即，由正方形的面积和为20，得到，根据代入求出即可； ②根据求出面积，变形后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，解得； ②设，则， 由得， ， 即的值为8； （2）解：①设， ∵长方形的周长为12， ∴，即， ∵正方形的面积和为20， ∴， 由得，， ， 即长方形的面积为8； ②根据题意可得，，， 根据①可得，，长方形的面积为8， ∴ ． 2．如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为________． (2)请你用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，并用等式表示． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (1) (2)两种不同的方法表示为，；等式表示为 (3)阴影部分的面积为 【分析】（1）根据图，得出小长方形的长和宽分别为和，即可得到阴影部分的正方形边长； （2）根据（1），可知阴影部分的正方形边长为，再根据正方形的面积公式，即可得出图2中阴影部分的面积，另一种表示方法为首先算出大正方形的面积，然后再减去四个小长方形的面积，即可得到阴影部分面积，然后列出等式即可． （3）设、，可得，，利用完全平方公式求出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：∵小长方形的长和宽分别为和， ∴阴影部分的正方形边长为． （2）解：①∵阴影部分是边长为的正方形， ∴阴影部分的面积为， ②∵沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形， ∴阴影面积为， ∴． （3）解：设、， ∵以，为边向两边作正方形，面积分别是和，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积为， 答：阴影部分的面积为8． 3．如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． (1) (2) (3)20 【分析】（1）根据面积相等得到等量关系； （2）将，代入第一问中的等量关系，求出的值； （3）根据正方形的性质得到、和，根据三角形面积公式得到，化简后再结合条件求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：观察图形可知，大正方形的边长为， ∴面积为， 这个大正方形由四部分构成，分别是： 两个边长分别为、的长方形，一个边长为的小正方形和一个边长为的小正方形， ∴这四部分的面积和为：， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 4．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4) 当时，则的值是______．（直接写出结果） (1)； (2) (3) (4) 【分析】（1）根据整个图形面积（或阴影面积）及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （2）根据整个图形面积及几个小图形面积的关系列式即可得到答案； （3）根据图形得到两个正方形边长和及面积和求解即可得到答案； （4）根据公式直接转化即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为或，因此可得； 图2阴影部分的面积为或，因此可得； （2）解：图3阴影部分的面积为或， 因此可得； （3）解：由题意可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5讲 整式乘法公式 1.平方差公式 （1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 2.平方差公式的几何背景 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 3.完全平方公式 （1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同． （3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式． 4.完全平方公式的几何背景 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 5.完全平方公式变化 （1）完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．① （2）完全平方公式：（a-b）2＝a2-2ab+b2．② ①+②：（a+b）2+（a-b）2＝2（a2+b2） ①-②：（a+b）2-（a-b）2＝4ab 由①②：a2+b2＝（a+b）2-2ab＝（a-b）2+2ab 2ab＝（a+b）2 - （a2+b2）=（a2+b2）- （a-b）2 题型一：利用乘法公式进行简便运算 例1．计算： (1)； (2)． 例2．运用所学乘法公式进行简便运算： (1)； (2)． 变式练习 1．用简便方法计算下列各题． (1)； (2) 2．简便计算： (1)20232-2022×2024； (2)． 3．利用乘法公式简便计算： (1) (2) 4．利用公式简便运算： (1)； (2)． 题型二：利用乘法公式的变式求值 例1． 已知，求的值． 变式练习 1． 已知，，求代数式的值． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 3．已知，求下列代数式的值： （1）；（2）． 4． 已知a－b＝5，ab＝，求a2＋b2和(a＋b)2的值． 例2．按要求解题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求和的值． 例2．（1）已知，，求的值； （2）已知，求和的值． 变式练习 1．（1）已知，求和的值； （2）已知．求的值． 2．（1）已知a＋b＝4，ab＝3，求a2＋b2的值； （2）已知， 求的值． 3．（1）已知，． 求的值； 求的值； （2） 已知，求的值． 4．【教材呈现】人教版八年级上册数学教材第112页的第7题： 已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ，， ， ， ． ， ， ，， ． 【方法运用】请你参照上面两种解法，解答以下问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 5．（1）已知，，求和的值． （2）已知，求的值． 例3．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ．，． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)设a，b满足等式，求的值． 例4．若x满足，求的值． 解：设，则， 所以． 请仿照上面的方法求解下面的问题： 若x满足，求的值． 变式练习 1．已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，， 所以， 因为， 所以． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数、满足，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 2．[阅读理解]若x满足，求的值． 解：设，，则， ， ∴． [解决问题]若x满足，求的值． 3．阅读材料：若x满足，求的值 解：设，，则，， ∴． 这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 请仿照上述材料解决下面的问题： (1)若x满足，求的值； (2)若x满足，求代数式的值： 4．在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨．请你阅读下列解题思路： 例1：已知，，求的值． 解：∵，， ∴． 例2：若满足，求的值． 解：设，， 则，． 这样就可以利用例1中的方法进行求值了！ 请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值． 题型三：利用完全平方配方求多项式最小/大值问题 例1．在学习乘法公式的运用时，我们常利用配方法求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值，总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：___________；___________=； (2)若，当___________时，有最___________值（填“大”或“小”），这个值是___________； (3)已知是的三边长，满足，且的值为代数式的最大值，请求出该三角形的周长． 变式练习 1．在学习乘法公式的运用，我们常用配方法求最值， 例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵，∴当时，的值最小，最小值是0， ∴∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空：； (2)若，当______时，y有最_______值（填“大”或“小”），这个值是______； (3)已知a，b，c是的三边长，满足，且c的值为代数式的最大值，判断的形状，并求出该三角形的周长． 2．阅读材料： 上面的方法称为多项式的配方法，根据以上材料，解答下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)已知、、是的三边长，且满足，求的周长． 3．阅读理解并解答： 【方法呈现】 (1)我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ∵， ∴． 则这个代数式的最小值是_____，这时相应的的值是_______． 【尝试应用】 (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值， 【拓展提高】 (3) 已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围． 4．配方法是通过配凑将整式化为完全平方式，利用其非负性解题的方法，在代数式求值、解方程、求最值及几何、经济等领域应用广泛． 例：某文具店批发一批笔记本，设进货数量为（本），总成本（元）为： 利用配方法求的最小值， 解： ∴当时，总成本最小，最小值为4元． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)求的最小值___________； (2)已知，求的值； (3)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为，三角形面积为，用配方法求的最大值． 5．【方法呈现】我们把多项式及叫做完全平方式．在运用完平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：， ，． 当时，的值最小，最小值是1． 的最小值是1． (1)【尝试应用】直接写出的最小值为______； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的的值． (3)【拓展提高】用长12m的一根铁丝围成长方形，能围成的长方形的最大面积是多少？请说明理由． 6．利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 7．利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2和（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 例2．求代数式2x2﹣4x﹣6的最小值： 2x2﹣4x﹣6＝2（x2﹣2x）﹣6 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）﹣6 ＝2[（x﹣1）2﹣1]﹣6 ＝2（x﹣1）2﹣8 又∵2（x﹣1）2≥0 ∴当x＝1时，代数式2x2﹣4x﹣6有最小值，最小值是﹣8． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：m2﹣6m﹣7； (2)当x、y为何值时，多项式2x2+y2﹣8x+6y+20有最小值？并求出这个最小值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值． 题型四：平方差公式在几何图形中的应用 例1．综合与实践 【素材】如图1，一张长方形硬纸板的长为，宽为； 【实践操作】步骤1：将图1长方形硬纸板分割为两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形割补到长方形的下方． (1)①图2中的阴影部分的面积是________； ②观察图1、图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分的面积，可以验证恒等式________； 【实践应用】 (2) 如图3，点是线段上的点，在的同侧作正方形和正方形，点在线段上，，连接，已知正方形的边长为，正方形的边长为，求阴影部分的面积．（用含的式子表示，结果化到最简） 例2．探寻运算规律： 同学们，在数学王国里，图形与运算是一对密不可分的好朋友，图形的变化中经常隐藏着运算的规律． (1)有两个正方形，大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，如果把它们组合在一起（如下图），阴影部分的面积就可以用大正方形的面积减去小正方形的面积，那么，阴影部分的面积可以表示为（    ）． (2)如果沿着虚线将阴影部分分割成两个长方形，再把两个长方形拼到一起，这样阴影部分拼成的长方形的长就可以表示为（    ），宽就可以表示为（    ），面积就可以表示为（    ）． (3)通过观察、推导上面阴影部分面积两种不同的计算方法，请用等式表示出你发现的结论． (4)周末，体育组的王老师去买篮球，篮球52元/个，需要购买48个，他正想用手机里的计算器计算一下总价，没想到老板马上说出了答案．经询问，老板运用的秘诀就是上面发现的运算规律，你能试着计算一下吗？ 变式练习 1．如图，在边长为a的正方形上裁去边长为b的正方形． (1)图1，阴影面积______； (2)图2是将图1中的阴影部分裁开，重新拼成梯形，其面积是______（写成多项式乘法的形式）； (3)由上图可以得到乘法公式______； (4)运用得到的公式，计算：． 2．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 3．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 4．【实践操作】 如图①，从边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形后，形成一个长方形（如图②）． (1)通过计算图①和图②中阴影部分的面积可以验证的公式是______． 【应用探究】 (2)根据（1）中的公式解决如下问题： ①简便计算：； ②计算：． 5．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是_____（请选择正确的一个选项） A．    B． C．    D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 题型五：完全平方公式在几何图形中的应用 例1．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是___________； (2)若，，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，，点M在边上，，在边上取一点Q，使，分别以，为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 例2．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到基于此，请解答下列问题： (1)【直接应用】若，，则的值为____________； (2)【类比应用】①若，则 ； ②若x满足，求的值； ③若x满足，求的值； (3) 【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积． 变式练习 1．阅读材料：已知，，求的值． 解：， 参考上面的方法求解下列问题： (1)①若，，求的值； ②已知满足，求的值． (2)如图①，已知长方形的周长为12，分别以、为边，向外作正方形、，且正方形、的面积和为20． ①求长方形的面积； ②如图②，连接、、，求的面积． 2．如图1，在一个长为，宽为的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形边长为________． (2)请你用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，并用等式表示． (3)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 3．如图，教材第20页通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，回答下列问题： (1)写出 ，，之间的等量关系：________． (2)已知 ，，求的值； (3)如图2，将边长为a的正方形和边长为b的正方形叠放在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 4．数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题． (1)请写出图1，图2阴影部分的面积分别能解释的乘法公式：______，______（用字母表示）． 【拓展探究】 (2)用4个长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图3的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，直接写出这三个代数式，，之间的等量关系是____________． 【解决问题】 (3)如图4，C是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和正方形．已知，两正方形的面积和为21，求的面积． 【知识迁移】 (4)当时，则的值是______．（直接写出结果） 1 学科网（北京）股份有限公司 $