精品解析：山东曲阜市梁山县第二实验中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

二○二六年十月教学质量调研检测 九年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题选项中，只有一项符合题目要求。 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 与y轴交点坐标是 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 设、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 2024 C. 2023 D. 4. 一元二次方程2x2+x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 若二次函数的图象经过原点，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 0或2 6. 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 7. 用配方法将化成的形式为（ ）． A. B. C. D. 8. 在同一坐标系中，二次函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( ) A. B. 或 C. D. 或 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 若是方程的一个根，则a的值等于______． 12. 若点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是________．（用“”号连接） 13. 我市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请x支球队参赛，根据题意，可列出方程_____． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 15. 如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 用适当的方法解下列方程： （1）解方程：； （2）解方程：． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 19. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元． （1）求该企业从年到年利润的年平均增长率； （2）若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？ 20. 如图∶有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的边上留一个1米宽的门． （1）矩形的边与长度分别为多少时，鸡舍面积为平方米？ （2）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？ 21. 已知二次函数（，是常数，且）的图象过，交轴于点． （1）求点的坐标及二次函数图象的对称轴； （2）若该函数图象的顶点在直线上，求该函数的表达式． 22. 某经销商销售一种成本价为元/的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/．如图，在销售过程中发现销量 ()与售价(元/)之间满足一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式，并写出自交量的取值范围： （2）若该经销商想使该商品获得平均每天元的利润，求售价应定为多少元/千克? （3）设销售这种商品每天所获得的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/千克时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C， 其中A点的坐标是， C点坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）求出点B的坐标以及的面积； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二○二六年十月教学质量调研检测 九年级数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题选项中，只有一项符合题目要求。 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为． 【详解】解：、，当时是一元二次方程，原选项不符合题意； 、由得，是一元一次方程，原选项不符合题意； 、，是分式方程，原选项不符合题意； 、，是一元二次方程，原选项符合题意； 故选：． 2. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 与y轴交点坐标是 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐一对照四个选项即可得出结论,根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、当时，，与y轴交点坐标是，本选项不符合题意， B、抛物线的顶点为，本选项不符合题意， C、抛物线的对称轴为：，本选项符合题意， D、因为开口向下，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意， 故选：C． 3. 设、是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. 2024 C. 2023 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，得出，然后结合，得出，即可作答． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 则， 故选：A． 4. 一元二次方程2x2+x+1=0的根的情况是（　　） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式，即可判断该方程的根的情况. 【详解】由题意可知该一元二次方程的判别式为，，所以方程没有实数根，故选D. 【点睛】本题主要考查一元二次方程，根据判别式得出根的情况是解答本题的关键. 5. 若二次函数的图象经过原点，则的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 2 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式．二次函数图象上的点的坐标使二次函数的解析式成立，坐标使二次函数解析式成立的点在二次函数的图象上． 【详解】解：因为二次函数的图象经过原点，所以， 解得：或2， 因为二次函数中二次项系数不等于0， 所以，所以， 故选：C． 6. 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行作答即可． 【详解】解：∵把二次函数的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， 故选：A． 7. 用配方法将化成的形式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了把二次函数化为，先配方使得，即可作答． 【详解】解：， 即用配方法将化成的形式为， 故选：C． 8. 在同一坐标系中，二次函数和一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象综合判定，掌握一次函数和二次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与由二次函数的图象得到字母系数的正负相比较，看是否一致即可求解． 【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意； B、由抛物线可知，，由直线可知，，都过点，故此选项符合题意； C、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意； D、由抛物线可知，，由直线可知，，故此选项不符合题意． 故选：B． 9. 对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②；③，④，⑤（为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断① ，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断② ，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③ ；根据时的函数值，结合，代入即可判断④ ，根据顶点坐标即可判断⑤ ，根据函数图象即可判断⑥ ． 【详解】解：① 由图象可知：， ∵对称轴为直线：， ∴， ∴，故①正确； ② ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③ ∵对称轴为直线，则与的函数值相等， ∴当时，，故③错误； ④ 当时，， ∴，故④正确； ⑤ 当时，取到最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥ 当时，y随的增大而减小，故⑥正确， 综上，正确的是① ② ④ ⑤ ⑥ 共5个， 故选：C． 10. 如图，在中，，AB=，BC=．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为( ) A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的面积，得出当四边形的面积为时△BPQ的面积，设运动时间为t，则，，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可． 【详解】解：∵在中，，AB=，BC=， ∴， ∴当四边形的面积为时， ， 设运动时间为t，则，， ∴， 解得：，， ∵点P在AB上的运动时间为：， ∴， ∴不符合题意， 即当四边形的面积为时，点的运动时间为2s，故C正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意列出关于t的方程，是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11. 若是方程的一个根，则a的值等于______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴． 12. 若点，都在二次函数的图象上，则，的大小关系是________．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小．根据“开口向下时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小”进行求解即可． 【详解】解：∵，开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 我市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请x支球队参赛，根据题意，可列出方程_____． 【答案】 x（x﹣1）＝28 【解析】 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝x（x﹣1），由此可得出方程． 【详解】设邀请x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛， 由题意得， x（x﹣1）＝28， 故答案为 x（x﹣1）＝28． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系． 14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 15. 如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定；由平行、平分条件及勾股定理，可得，再由二次函数的性质得点B的坐标，由待定系数法即可求解． 【详解】解：在中，令，得， ∴，即； ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵轴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵轴， ∴； 把A、B两点坐标代入中， 得，解得：， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. 用适当的方法解下列方程： （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 17. 已知二次函数． （1）求该二次函数的顶点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； （3）结合函数图象，直接写出当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2） 画出函数图象如图所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）将二次函数表达式化为顶点式，即可进行解答； （2）分别将，代入二次函数表达式，即可求出与x轴、y轴的交点坐标，即可画出二次函数的图象； （3）根据图象即可进行解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴该二次函数的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：把代入，得： ，解得：， ∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为或， 把代入得：， ∴该二次函数图象与y轴的交点坐标为； 【小问3详解】 由图得：当时，． 18. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再由，可得到关于m的方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， 解得：， 由（1）得：， ∴m的值为1． 19. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素．某汽车零部件生产企业的利润率年提高，据统计，年利润为亿元，年利润为亿元． （1）求该企业从年到年利润的年平均增长率； （2）若年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业年的利润能否超过亿元？ 【答案】（1） （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）根据该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率求出该企业2024年的利润即可作答． 【小问1详解】 解：设该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 即该企业从2021年到2023年利润的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：若2024年保持前两年利润的年平均增长率不变， 该企业2024年的利润为：， 故该企业2024年的利润不能超过亿元． 20. 如图∶有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的边上留一个1米宽的门． （1）矩形的边与长度分别为多少时，鸡舍面积为平方米？ （2）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？ 【答案】（1）矩形的边与长度分别为10米和12米 （2）不能 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，根据鸡舍面积为平方米，列出方程并解答； （2）利用鸡舍面积等于平方米得出一元二次方程，根据判别式可得出答案． 【小问1详解】 解：矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米， 依题意，得：， 解得：，， 当时，(舍去)， 当时，． 答：矩形的边与长度分别为10米和12米； 【小问2详解】 当鸡舍面积等于平方米时，依题意，得：， 整理得：， ∴， ∴所围成鸡舍面积不能为130平方米． 答：所围成鸡舍面积不能为130平方米． 21. 已知二次函数（，是常数，且）的图象过，交轴于点． （1）求点的坐标及二次函数图象的对称轴； （2）若该函数图象的顶点在直线上，求该函数的表达式． 【答案】（1），直线 （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，解题的关键在于利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）先确定二次函数图象与y轴的交点坐标为，然后利用抛物线的对称性确定对称轴； （2）设顶点式，结合顶点在直线上以及代入即可求解抛物线解析式． 【小问1详解】 解：对于二次函数，当，， ∴， ∵图象过， ∴对称轴为直线：，即直线； 【小问2详解】 解：设解析式为：， 则顶点为， ∵顶点在直线上， ∴， 将代入此时得：， ∴， ∴解析式为：． 22. 某经销商销售一种成本价为元/的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元/．如图，在销售过程中发现销量 ()与售价(元/)之间满足一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式，并写出自交量的取值范围： （2）若该经销商想使该商品获得平均每天元的利润，求售价应定为多少元/千克? （3）设销售这种商品每天所获得的利润为元，求与之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/千克时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）获得平均每天元的利润，售价应定为元 （3）与之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据一次函数过，可求出函数关系式，然后验证其它数据是否符合关系式，进而确定函数关系式， （2）根据总利润为元列方程解答即可， （3）先求出总利润与的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求． 【小问1详解】 解：设关系式为，把，代入得： ， 解得：，， 与的之间的函数关系式为，自变量的取值范围为：． 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：，舍去， 答：获得平均每天元的利润，售价应定为元； 【小问3详解】 ， ，抛物线开口向下，对称轴为，在对称轴的左侧，随的增大而增大， ， 当时，元， 答：与之间的函数关系式为，当该商品销售单价定为元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是元． 【点睛】考查一次函数、二次函数的性质，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错． 23. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C， 其中A点的坐标是， C点坐标是． （1）求抛物线的解析式； （2）求出点B的坐标以及的面积； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的综合，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点A，C代入解析式中即可得到抛物线的解析式； （2）解即可求出B点坐标，的高是C点的纵坐标，计算结果即可． （3）因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时D点就是与抛物线对称轴的交点．先用待定系数法求出直线的解析式，再求出抛物线的对称轴，即可求出交点． 【小问1详解】 （1）将代入y=ax2+bx+3中得 解得 ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：令 解得 ∴点B的坐标． ∴ ∴的面积． 【小问3详解】 设直线的解析式为 将代入得 解得 ∴直线AC的解析式为 抛物线的对称轴为 因为的长度不变，要使周长最小，就是最小，而A，B关于对称轴对称，所以就是的最小值，此时P点就是与抛物线对称轴的交点． 当时， ∴点P的坐标为 ∴抛物线的对称轴上存在点，使的周长最小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $