精品解析：山东省济宁市梁山县2025--2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025—2026学年度第一学期10月教学质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，共120分，考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．若需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带，否则，答案无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( ) A. B. C. D. 3. 若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（ ） A. B. 4 C. D. 14 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 6. 某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　） A. 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B. 正方形周长与边长之间的关系 C. 正方形面积和正方形边长之间的关系 D. 圆的周长与半径之间的关系 8. 二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形ABCD的最大面积为 B. 当时，矩形ABCD的面积最大 C. a的值为12 D. 以上说法均错误 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 12. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围 ______________________． 13. 如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为______ ． 14. 如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ___________． 15. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是______． 三、解答题：本大题共8题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演过程． 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 17. 某经销商销售一种成本价为元千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元千克，在销售过程中发现日销量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）小澎同学说若销售这种商品天，可以获得总利润元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 18. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 19. 已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 20. 解方程： 有一位同学解答如下：这里， ， ． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 22. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）求的面积． 23. 如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头，喷头喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与水平距离为4米时，达到最高点，与水平线的距离为4米． （1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）； （2）若斜坡上有一棵高米的树，它与喷头的水平距离为2米，通过计算判断从喷出的水柱能否越过这棵树． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期10月教学质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，共120分，考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）．如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．若需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带，否则，答案无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1. 下列方程中是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A、，化简之后不是一元二次方程，故此选项不合题意； B、ax2＋bx＋c＝0中，如果a＝0不是一元二次方程，故此选项不合题意； C、含有2个未知数，因此不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 关于x的一元二次方程的两根为,那么下列结论一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程有两个不相等的实数根，确定出根的判别式的符号即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=-1， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴b2-4ac＞0， 故选A． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键． 3. 若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（ ） A. B. 4 C. D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解方程的步骤求解可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程, 方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】解： ∴ ∴ 解得：或 故选：D． 5. 已知3是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰的两条边的边长，则的周长为（ ） A. 7 B. 10 C. 11 D. 10或11 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，先把代入原方程求出m的值，进而解方程求出或，再分当腰长为3时，则底边长为4，当腰长为4时，则底边长为3，两种情况利用构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵3是关于x的方程的一个实数根， ∴， 解得， ∴原方程为， 解方程得或， 当腰长为3时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为； 当腰长为4时，则底边长为3， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此时的周长为， 综上所述，的周长为10或11， 故选D． 6. 某超市一月份的营业额是100万元，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长率为，则可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设月平均增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份为万元．第一季度的总营业额为一月、二月、三月的营业额之和，据此列方程． 【详解】解：设月平均增长率为，则二月份的营业额为万元，三月份为万元， 由题意得：， 故选：B． 7. 下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）模型的是（　　） A. 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B. 正方形周长与边长之间的关系 C. 正方形面积和正方形边长之间的关系 D. 圆的周长与半径之间的关系 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可． 【详解】A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型； B、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型； C、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax2+bx+c模型； D、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析． 8. 二次函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据二次函数的图像开口方向和顶点坐标得出答案． 【详解】二次函数中，，图象开口向上，顶点坐标为， 符合条件的图象是B． 故选：B． 9. 在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线，则抛物线的顶点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线图象与性质，涉及抛物线的平移、将一般式化为顶点式、根据点的坐标判定所在象限等知识，先由函数图象平移得到，再将一般式化为顶点式求出抛物线顶点坐标，由点的坐标符号即可确定顶点所在象限，熟记抛物线平移、抛物线图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：将抛物线（为常数，且）沿轴向上平移2个单位，得到抛物线， 则， ， 抛物线的顶点坐标为， ， 抛物线的顶点一定在第四象限， 故选：D． 10. 如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（ ） A. 矩形ABCD的最大面积为 B. 当时，矩形ABCD的面积最大 C. a的值为12 D. 以上说法均错误 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值． 观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D． 【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误； 当时，矩形ABCD的面积取最大值4， ， ， 故C选项正确，D选项错误． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 设m，n是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系．利用方程的解的定义得到，再利用根与系数的关系得到，将原式变形并代入求值即可得到答案． 【详解】解：∵m、n分别为方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：2023． 12. 若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围 ______________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意可得，且，求解即可． 【详解】解：根据题意，可得，且， 即且， 解得：且， 故答案为：且． 13. 如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半，具体尺寸如图所示求小路的宽是多少？设小路的宽是，根据题意可列方程为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为米，由题意有 ，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键． 【详解】解：设道路的宽应为米，由题意有 ． 故答案为：． 14. 如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，则直线的表达式为 ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出、点的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可． 【详解】解：， 顶点的坐标为， 令，则， 的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 故答案为：． 15. 如图，抛物线与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得到，与x轴交于B，D两点．若直线与始终有公共点，则k的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数、一次函数，以及直线与函数相切知识的综合运用，结合平移的知识推出抛物线解析式，结合函数图象得到当直线与只有一个交点时的值，即可求解． 【详解】解：抛物线与x轴交于点A、B，则点A、B的坐标为：、， ∵抛物线从：平移得到抛物线， ∴设抛物线解析式为， 把代入得，解得或（舍去）， ∴抛物线解析式为， 如图， ∵直线过点， ∴当直线与只有一个交点时，k值最大， 联立与直线的表达式可得：， 整理得， ∴，， ∴， 解得：， ∵唯一交点横坐标， ∴，解得， ∴由图可得当时，直线与抛物线在范围内有交点， ∴k的最大值是． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8题，满分75分．解答应写出文字说明、证明过程或推演过程． 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ，． 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 某经销商销售一种成本价为元千克的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于元千克，在销售过程中发现日销量（千克）与售价（元千克）之间满足一次函数关系，对应关系如下表： （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围． （2）小澎同学说若销售这种商品天，可以获得总利润元．你觉得他的说法正确吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：小澎同学的说法是错误的， 理由如下，设每天利润为元， ∴， 即， ∵，抛物线开口向下， ∴当元时，每天利润最大元， ∵， ∴他的说法是错误的． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用，二次函数的应用，求出相应的函数关系式是解题的关键． （）由已知设与之间的函数表达式，把，，代入即可求解； （）设每天利润为元，则，即，然后通过二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由已知设与之间的函数表达式， 把，，代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 略 18. 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，可得若降价3元，则平均每天可多售出2×3=6件，即平均每天销售数量为20+6=26件； （2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可． 【详解】（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件． （2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元． 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10． 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键． 19. 已知抛物线与轴交于点，对称轴是直线． （1）求此抛物线的解析式； （2）若，，是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟记相关结论即可求解； （1）令，则；得到抛物线与轴的交点为；推出；根据抛物线的对称轴是直线，推出，即可求解； （2）根据抛物选的开口方向和对称轴，即可判断； 【小问1详解】 解：令，则； ∴抛物线与轴的交点为； ∴； ∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得：； ∴此抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：由（１）可知：抛物选开口向上， 对称轴是直线． ∵且， ∴ 故答案为： 20. 解方程： 有一位同学解答如下：这里， ， ． 请你分析以上解答有无错误，如有错误，请作出正确解答． 【答案】 解：有错误，错误的原因是没有将方程化为一般形式． 将方程化为一般式为， 这里， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，解题的关键是记住求根公式．将方程化为一般形式，利用求根公式求解即可． 【详解】略 21. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，的面积等于？ 【答案】2秒或4秒后的面积等于 【解析】 【分析】本题考查了动点问题，三角形面积公式及一元二次方程的建立与求解，先分析点P、Q的运动情况，表示出和的长度，根据三角形面积公式列出方程并求解方程即可． 【详解】解：设x秒后的面积等于， 在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，Q从点B开始沿边向C点以的速度移动， ，， ， ， 解得：，， 即2秒或4秒后的面积等于． 22. 如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求，，的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解析式是解题的关键． （1）用待定系数法，先将代入，求出的值为1，再将代入，求出点，然后将，代入分别求出的值． （2）利用y轴将分割为和，分别算出它们的面积后，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵点在二次函数的图象上， ∴ 解得： ∴二次函数关系式为： 将代入得： ∴ ∵点，在一次函数y=kx+b的图象上 ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知一次函数关系式 当时， 则一次函数与y轴交点坐标为 ∵，点横坐标为，点的横坐标为 ∴ ∴ ∴的面积为． 23. 如图1，斜坡与水平面夹角．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头，喷头喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与水平距离为4米时，达到最高点，与水平线的距离为4米． （1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）； （2）若斜坡上有一棵高米的树，它与喷头的水平距离为2米，通过计算判断从喷出的水柱能否越过这棵树． 【答案】（1） （2）从A喷出的水柱不能越过这棵树 【解析】 【分析】此题是二次函数的实际应用题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法、勾股定理、二次函数的图像与性质是解此题的关键． （1）如图建立平面直角坐标系，首先找出抛物线的顶点坐标，设抛物线解析式为顶点式，再将点A坐标代入即可得解； （2）根据题意，求出树的顶端点的纵坐标，然后求当时，抛物线线上点的纵坐标，然后比较两个纵坐标的大小即可得解． 【小问1详解】 解：以点A为坐标原点，以所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图3， 依题意，，最高点即抛物线的顶点， 设此抛物线的解析式为：， 将代入上式， 得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，如图4， ， 在中，， 设，则， ， ， ， 又当时，， 故从A喷出的水柱不能越过这棵树． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $