精品解析：甘肃兰州市永登县第六中学2026-2027学年高一第一学期第一次月考数学试题

甘肃省永登县六中2026-2027学年第一学期第一次月考 高一数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：湘教版必修第一册（第1章~第2章）. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集定义即可求出. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由，又，所以，所以D正确. 故选：D 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】转化为求解即可. 【详解】，即，即，解得或. 故选：D. 4. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合特例法、全称命题和特称命题的否定的性质进行判断即可. 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题，则为真命题； 对于命题，当时，，所以为真命题，则为假命题； 综上，和均为真命题. 故选：B 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，将绝对值不等式化简，即可得到结果. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知集合，则的关系满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简集合得到，和，进而求得集合间的关系，得出答案. 【详解】由集合， ， 因为的分子是表示所有除以6余1的整数， 且和的分子表示所有除以3余1的整数， 所以. 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据元素与集合，集合之间的关系易判断各选项. 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，是自然数，故B正确； 对于C，因，故，即C正确； 对于D，由可得，即，故D错误. 故选：BC. 10. 已知关于的不等式的解集为或.则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集确定与的关系及，再逐项判断即可得解. 【详解】由不等式的解集为或，得2，3为方程的两根，且， 则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式化为，解得，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，不等式化为，解得，D正确. 故选：ACD 11. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据条件整理，代入，利用基本不等式求解． 【详解】因为，， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 故答案为：8． 13. 已知集合，，且，则实数的取值集合是_________ 【答案】，或 【解析】 【分析】化简集合，由条件可得，结合集合的包含关系列关系式，由此可得结论. 【详解】因为方程的解集为， 所以， 因为，所以或或或， 又， 所以或或或， 所以或， 所以的取值集合是，或. 故答案为：，或. 14. 若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得在时恒成立，令，根据二次函数的性质求出有最小值时的取值，求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得在时恒成立， 令，所以在时恒成立， 因为二次函数图象对称轴为， 所以当时有最小值为， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应泻出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由并集定义求解； （2）根据补集和交集定义求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 或， 所以. 16. 已知函数，． （1）当时，，求的最小值； （2）当时，，求关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，化简不等式为，结合不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：因为时，，可得， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时取等号，即，时取得最小值为． 【小问2详解】 解：因为当时，，可得， 则， 因为，所以，则解不等式可得或， 则不等式的解集为或． 17. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是真命题，可知，又，可得的取值范围； （2）由是的充分不必要条件,得是的真子集，又，可得的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以 命题是真命题，可知， 因为，， ，, 故的取值范围是. 【小问2详解】 若是的充分不必要条件,得是的真子集，， ，解得， 故的取值范围是. 18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 【答案】（1），从第 3 年开始该设备开始全年盈利； （2）方案①比较合理，理由如下： ①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【解析】 【分析】（1）确定，解不等式得到答案. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【小问1详解】 ， 解不等式，得，，故， 故从第 3 年该设备开始全年盈利； 【小问2详解】 方案①比较合理，理由略. 19. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 【答案】（1）不具有性质P． （2）①不妨设， 由集合A具有性质P，得， 所以， 即有． ②10． 【解析】 【分析】（1）由集合具有性质的定义判断即可； （2）不妨设，由集合A具有性质P，得，然后证明即可；对任意正整数，，与①类似可得，所以，又集合符合性质P，所以求解即可. 【小问1详解】 因为 所以集合不具有性质P． 【小问2详解】 ①略 ②对任意正整数，，与①类似可得， 又显然，， 所以， 故， 所以， 又，且k为正整数，当或5时，， 所以的最小值为11， 所以，即． 又集合符合性质P， 且A中含10个元素，所以n的最大值为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省永登县六中2026-2027学年第一学期第一次月考 高一数学 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本试卷命题范围：湘教版必修第一册（第1章~第2章）. 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 5. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知集合，则的关系满足（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为或.则（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正实数a，b满足，则的最小值为________． 13. 已知集合，，且，则实数的取值集合是_________ 14. 若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应泻出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 集合. （1）求； （2）求. 16. 已知函数，． （1）当时，，求的最小值； （2）当时，，求关于x的不等式的解集． 17. 已知集合，且. （1）若“命题，”是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源. 某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于 2019 年年初用 98 万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用. 该设备使用后，每年的总收入为 50 万元. 若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元年为第一年)，设该设备产生的盈利总额(纯利润)为万元. （1）写出与之间的函数关系式；求该机床从第几年开始全年盈利(盈利总额为正值)； （2）使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该设备；（年平均盈利额盈利总额使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以 12 万元价格处理该设备. 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由. 19. 已知集合且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素，，，都有，则称集合具有性质． （1）判断集合是否具有性质； （2）若集合具有性质． ①求证：的最大值不小于； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $