精品解析：山东省菏泽市牡丹区2025-2026学年上学期八年级数学月考试卷

2025-2026学年度第一学期1—4月考试卷八年级数学 （范围：第一章一第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填写在相应位置） 1. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 3. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 4. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2 5. 如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 6. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 8. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ） A. ＋1 B. －1 C. D. 1－ 9. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：______． 12. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 13. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 14. 矩形纸片ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折叠为EF，则DE=___________cm. 15. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________． 16. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在相应区域内） 17. 计算：． 18. 求下列各式中的： （1） （2）． 19. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 21. 在中，，，，求的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作于，设，用含的代数式表示 根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出 利用勾股定理求出的长，再计算三角形面积 22. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． （1）若，，，，请求出，，，的值． （2）若，，求的值． （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 24. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期1—4月考试卷八年级数学 （范围：第一章一第二章 时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填写在相应位置） 1. 的三边长分别为a，b、c，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用．通过分析各条件中角的关系或边的比例，判断是否为直角三角形． 【详解】①由，代入内角和，得，化简得，故，为直角三角形，符合条件； ②设，，，则，解得，最大角，不满足条件； ③由展开得，即，根据勾股定理逆定理，为直角三角形，符合条件； ④设，，，则，满足勾股定理，为直角三角形，符合条件． 综上，符合条件的有①、③、④，共3个． 故选C． 2. 的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了求算术平方根和平方根， 先计算的值，再求其平方根．注意区分算术平方根与平方根的概念． 【详解】的平方根是． 故选：C． 3. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得：或，进而可得或，进而判断的形状为等腰三角形或直角三角形． 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴的形状为等腰三角形或直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的定义，根据等式的性质求得或是解题的关键． 4. 式子有意义，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2 【答案】C 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可. 【详解】解：由题意得， 解得，a≥-1且a≠2， 故答案为：C. 【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握. 5. 如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 6个 【答案】D 【解析】 【详解】当AB是斜边时,则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G. 因而共有6个满足条件的顶点. 故选D. 6. 已知，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由题意可得：，，求出，继而得到，即可得到． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ∴． 故选：C． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　） A. 4 B. 4π C. 8π D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20， 则阴影部分的面积＝ ＝ ＝4， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键． 8. 如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，点A在数轴上对应的数是－1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的实数是（ ） A. ＋1 B. －1 C. D. 1－ 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示-1，可得E点表示的数． 【详解】解：∵AD长为2，AB长为1， ∴AC=， ∵A点表示−1， ∴E点表示的数为：−1， 故选B． 9. 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 121 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P， 所以四边形AOLP是正方形， 边长AO=AB+AC=3+4=7， 所以KL=3+7=10，LM=4+7=11， 因此矩形KLMJ的面积为10×11=110． 故选：C． 10. 如果并且表示当时的值，即，表示当时的值，即，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了与实数运算相关的规律．先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又； ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 比较大小：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较方法是解题的关键；根据估算和的大小，推出结果． 【详解】解：因为 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 12. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 13. 对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：． 14. 矩形纸片ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，按如图方式折叠，使点D与点B重合，折叠为EF，则DE=___________cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折不变性可知，．设为，则得到也为，于是可知；在中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】由翻折不变性可知，； 设为，则， ∵， ∴， 又∵， ∴在中， ， ∴， ∴， 解得 故答案为． 【点睛】此题考查了翻折不变性，找到图中的不变量，将未知量转化到直角三角形中，利用勾股定理是解题的关键． 15. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴比较实数的大小，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据数a、b在数轴上的位置确定，，，的符号，再根据二次根式的性质进行化简，再合并同类项． 【详解】根据数轴，得， ，， 故答案为：． 16. 如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在相应区域内） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查二次根式的混合运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据题意利用二次根式的混合运算及积的乘方的逆运算、平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 求下列各式中的： （1） （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键； （1）利用平方根的含义解方程即可； （2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 ∴， ∴ ∴， ∴． 19. 在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】船向岸边移动了 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，然后根据题意求出的长度，进而即可求出的长即得解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴船向岸边移动了， 答：船向岸边移动了． 20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 21. 在中，，，，求的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程． 作于，设，用含的代数式表示 根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出 利用勾股定理求出的长，再计算三角形面积 【答案】 解：设，则， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据提供的解题思路即可解答． 【详解】略 22. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． （1）若，，，，请求出，，，的值． （2）若，，求的值． （3）请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】（1），，， （2） （3）“垂美”四边形对边的平方和相等 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； 【小问2详解】 四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 23. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：，的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式； （1）将变形为完全平方式的形式，然后开平方即可； （2）先化简，再化简原式即可得出答案； （3）分别化简，合并同类二次根式即可得出答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解： ． 24. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形． （1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形　 　常态三角形（填“是”或“不是”）； （2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为　 　（请按从小到大排列）； （3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积． 【答案】（1）是；（2）：：；（3）△ABC的面积为或6 【解析】 【分析】（1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出BD的长，再根据勾股定理求得AC的长，进而求出答案． 【详解】解：（1）∵22+42=4×=20， ∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形． 故答案为：是； （2）∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c， 则a2+b2=c2，a2+c2=4b2， 则2a2=3b2，2c2=5b2 故，， 此三角形的三边长之比为：， 当b2+c2=4a2，同理可得结论 故答案为：； （3）当CD2+BD2=4×62时， ∵AD=BD=DC， ∴BD=DC=，AB= 在Rt△ABC中根据勾股定理 ， 此时， 当CD2+BC2=4×BD2时， ∵AD=BD=DC， ∴BD=DC=，AB=， 在Rt△ABC中根据勾股定理 ， 此时， 故△ABC的面积为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及新定义．正确应用勾股定理以及直角三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $