专题五 一元函数的导数04导数与函数的最值 课时作业-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦导数与函数最值的系统性训练，通过概念辨析、图像分析、含参计算及实际应用构建完整知识链，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1题|极值与最值关系判断|从定义出发，区分极值与最值的本质区别| |图像分析|1题|导函数图像与极值点判断|通过导函数符号变化推导函数单调性及极值| |基础计算|4题|具体函数最值求解|遵循“求导-找极值点-比较端点值”基本流程| |含参问题|5题|参数对最值的影响分析|结合分类讨论思想，探究参数范围与最值关系| |实际应用|1题|圆柱表面积最小值|建立数学模型，将实际问题转化为函数最值问题| |综合解答|5题|切线、单调区间及最值综合|整合导数应用全流程，强化逻辑推理与表达能力|

高考一轮总复习课时作业 专题五 一元函数的导数04导数与函数的最值 一、单选题 1．下列说法正确的是(    ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 【答案】B 【知识点】函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断． 【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象： 对于选项A：极大值极小值，故A错误； 对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确； 如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值，而不是最大值，故C错误；同时，最大值不是极大值，故D也错误． 故选：B. 2．已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系、函数极值的辨析、函数最值与极值的关系辨析 【分析】根据导函数的图象确定的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断. 【详解】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增， 又a<b<c，所以，故A不正确． 因为，，且当时，；当c<x<e时，； 当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确． 由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确． 故选：C． 3．已知圆柱的体积为，则圆柱的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】根据体积是定值可以确定底面半径与高之间的关系，代入表面积公式，列成关于底面半径的函数解析式，利用导数研究函数的单调性，从而判断最小值． 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，则，可得， 所以圆柱的表面积， 所以； 令，得； 当时，，当时，， 所以当时，S取得最小值，为． 4．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数判断函数的单调性后可得函数的最小值. 【详解】， 设，则， 故为上的增函数，而，， 故当时，即，当时，即， 故在上为减函数，在上为增函数，故， 故选：C. 5．已知函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】利用导数研究单调性，进而求极大值，比较函数值大小即可求解. 【详解】由题意得，，令，得，解得或， 由，有，解得或， 由，有，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， ，，因为， 所以的最大值为. 6．已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】， 因为在处取得极值为2， 所以 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在处取得极值， 当时，单调递增，所以. 7．已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【知识点】已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可. 【详解】由题意可知：， 所以当时，则在上单调递增， 所以. 故选：D. 8．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数、函数最值与极值的关系辨析 【分析】求出极大值点，由可得（注意极值的定义）． 【详解】，令，得， 时，，递增，时，，递减，因此是的极大值点，由于只有一个极值点，因此其也是最大值点， 由题意得，所以. 故选：D. 9．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 二、填空题 10．函数在区间上的最大值为_________． 【答案】2 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【详解】∵ ，， ∴ 对求导得. 令，解得，，均属于区间. 分别计算在区间端点和极值点处的函数值： 当时，. 当时，. 当时，. 当时，. 比较上述函数值大小：， ∴ 函数在区间上的最大值为. 11．已知函数在区间上存在最小值，则实数_________． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】求出导函数，在上确定函数的单调性与最小值，由此确定，利用单调性得最小值，从而求得． 【详解】函数定义域是，因此， ，时，，递减，时，，递增，， 所以，此时在上递增，，解得或（舍去）， 故答案为：2． 12．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】函数最值与极值的关系辨析、根据极值点求参数 【分析】先对函数求导，然后令导函数等于零，则解在区间内，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，得. 由题意得， 故． 故答案为：. 13．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是____. 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】依题意，恒成立，构造函数，利用导数求最小值. 【详解】不等式对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，， 时，在上恒成立，在上单调递增，无最小值， 函数和函数在上都单调递增，，，不恒成立. 时，恒成立，此时， 时，解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 故，，， 综上可知，实数的最大值为. 故答案为：. 14．已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 【答案】或. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合，再应用最小值列式求解. 【详解】因为，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 且，，若在区间上的最小值为， 因为函数取到值为的点为或， 所以对区间的最小值进行分类讨论： 若区间包含极小值点，则，解得； 若区间不包含，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当时，在区间上的最小值为。 所以当在区间上的最小值为时，或. 15．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数 【分析】先对函数求导，分和讨论单调性. 时在区间单调递减，最小值为，解得与条件矛盾舍去；时根据极值点与区间的位置关系分情况讨论，结合最小值为0求解. 【详解】求导得， 当时，，，则在上单调递减， 则函数的最小值为与矛盾，舍去； 当时，令，得（负根舍去）. ①若，即时，在单调递减，则函数的最小值为，矛盾，舍去； ②若，即时，在单调递减，在单调递增， 函数的最小值在处取得，即， 解得，满足. 综上，可得实数的值为. 三、解答题 16．已知函数，，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，切线方程为 (2)最大值为，最小值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导后计算可得，再利用导数的几何意义计算即可得切线方程； （2）利用导数可得原函数单调性，再利用函数单调性计算即可得其最值. 【详解】（1），则，故， 则，， ，， 故曲线在点处的切线方程为， 整理得； （2）， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为， 又，， 故在区间上的最小值为. 17．已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)最大值为，最小值为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、导数的运算法则 【分析】（1）根据基本初等函数求导法则计算导数； （2）结合定义域分析导数符号得到单调区间； （3）根据单调性求解闭区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为， ； （2）将导数通分整理得： ， 分母，对分子配方得， 由可知分子恒大于，因此在上恒成立， 故的单调递增区间为，无单调递减区间； （3）由（2）可知在上单调递增， 因此在闭区间上也单调递增，最值在区间端点处取得： ，， 因此在上的最大值为，最小值为. 18．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 【答案】(1) ，切线方程为； (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求导，然后代入计算即可； （2）令导函数为0，对导函数零点分布讨论计算即可. 【详解】（1） 由，代入得 此时，，切线斜率为，由点斜式得切线方程 整理得 （2）令，得或， 当，即时，在区间上，，单调递减，因此最小值为 当，即时，，，单调递减； 时，单调递增，因此最小值在处取得 综上， 19．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 20．已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) 【知识点】求已知函数的极值、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性和极值； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性和最值，结合题意可得，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）当时，则， 其定义域为，且， 令，解得或；令，解得， 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数的极大值为，极小值为. （2）若，则的定义域为，且， 当时，则，可知函数在上单调递增， 所以函数无最大值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数的最大值为， 因为的最大值小于，即，可得， 设，，可知在上单调递增， 且，由不等式可得， 所以的取值范围为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 专题五 一元函数的导数04导数与函数的最值 一、单选题 1．下列说法正确的是(    ). A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值. B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值. C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值. D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值. 2．已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ） A． B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值 C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值 D．函数的最小值为 3．已知圆柱的体积为，则圆柱的表面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．函数 的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 5．已知函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 7．已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 8．已知函数在上的最大值也是其在上的极大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．函数在区间上的最大值为_________． 11．已知函数在区间上存在最小值，则实数_________． 12．已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是________． 13．已知不等式对任意恒成立，则实数的最大值是____. 14．已知函数，若在区间上的最小值为，则实数的取值范围是______. 15．已知函数在区间上的最小值为0，则实数的值为_________ 三、解答题 16．已知函数，，且. (1)求的值及曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 17．已知函数. (1)求； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最大值与最小值. 18．已知是实数，函数 (1)若，求的值及曲线在点处的切线的方程； (2)当时，求在区间上的最小值． 19．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 20．已知函数. (1)当，时，求的极值； (2)若，有最大值且的最大值小于，求a的取值范围. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $