培优专题02 导数中的隐零点问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027 届高三数学一轮复习培优专题 02　导数中的隐零点问题 （详细解析版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：2026—2027 学年高三一轮复习（中档题及以上） 本专题聚焦导数中的隐零点问题：当极值点满足的超越方程无法求出闭式解时，先用零点存在定理把“隐零点”锁定在小区间内，再利用方程关系整体代换消元，把最值、范围、恒成立问题逐一击破。共 16 题，数据与设问均为新编，建议先限时完成学生版，再逐题对照解析复盘。 方法导航 零点存在定理定位法　隐零点 满足的方程（如 ）没有闭式解时，取两个函数值异号的特殊点，用零点存在定理把 夹在长度足够小的区间内，再用该区间估计相关量的范围。 隐零点消元法　设极值点为 ，写出它满足的方程（如 ），把 （或 ）整体代入 化简，回避求 的困难——隐零点问题的核心动作。 比商最值法　 在 处取最小值 ， 在 处取最大值 ；方程根的个数、参数范围常由这类比商结构的最值直接读出。 恒成立分离法　恒成立问题优先分离参数，把一边化为不含参数的函数最值；分离后注意定义域变化以及等号能否取到，取等情形要单独回验。 数值夹逼法　对取整、区间定位问题，利用函数的单调性代入整点附近的自变量，把根夹进长度小于 的区间，取整值随之确定。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数 的极小值点 所在的区间是 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】（）。令 得 ，即 （负根舍去）。 时 ， 时 ，故 为极小值点。 由 ，故 。故选 B。 【方法点睛】极值点区间定位的规范动作：解 （或确认无闭式解后用零点存在定理），再确认导数在零点两侧变号。无理数零点落在哪个整点区间，用相邻整点的函数值（或平方比较）判断。 2．函数 的零点 所在的区间是 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档） 【解析】， 在 上单调递增，故零点至多一个。 ，，由零点存在定理，。故选 B。 【方法点睛】超越方程零点的区间定位：先证单调性保证唯一，再找两个整点使函数值异号。、 这两个数值估算要熟练。 3．已知 是函数 的极小值点，则 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档） 【解析】，令 得 ，且 ，确为极小值点。 。故选 C。 【方法点睛】 型函数的极值点是 ，可以闭式求出；求出后代回即得极值。它是隐零点问题的“显式特例”，先做熟它，再进入真正的隐零点。 4．已知 是函数 的极小值点，则使 成立的整数 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D　（难度：中档） 【解析】，极小值点 ，极小值 。 估算：，故 。 使 成立的最小整数 为 。故选 D。 【易错警示】先精确写出 ，再估算其范围：，故 ，；进一步用 锁定 ，切勿凭感觉取 。 5．已知 是函数 的极小值点，则 A． B． C． D． 【答案】D　（难度：中档） 【解析】，令 得 ，且 ，确为极小值点。 。故选 D。 【方法点睛】代入极值点后， 的整体代换是化简关键；本题结果 ，与第 6 题的“最小值何时为负”形成对照。 6．已知函数 存在极小值且极小值小于 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】当 时 ， 单调递增，无极值，不合题意。当 时， 的根为 ， 在 上递减、 上递增，极小值 。 极小值小于 ，等价于 。由 ，等价于 ，即 。故选 C。 检验： 时极小值 ； 时极小值 ，边界吻合。 【方法点睛】 的极小值 的符号由 与 的大小决定： 是“极小值为零”的临界值， 时极小值为负（此时函数恰有两个零点）， 时恒正。 7．已知函数 存在极小值 ，则实数 A． B． C． D． 【答案】C　（难度：中档偏难） 【解析】，令 得极小值点 （，确为极小值点）。 。 由 得 ，即 ，。故选 C。 【方法点睛】本题极小值点 形式上“求得出”，但真正快捷的路径仍是消元：把 整体代入，极小值立刻化为 ，与 的关系一目了然——“消元”比“代数值”更稳。 8．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B　（难度：中档偏难） 【解析】 时 等价于 ，故 不小于 在 上的最大值。 ，令 得 。 时 ， 时 ，故最大值 。 故 。当 时等号在 处成立，符合“恒成立”要求。故选 B。 【方法点睛】 型恒成立，分离参数后化为比商函数 的最值；其驻点方程 可解，最值 值得作为结论记住（与 在 处取 配套记忆）。 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极大值点 B． 的极小值点 C． 的极大值为正数 D． 的极小值小于 【答案】ABC　（难度：中档偏难） 【解析】。记 ，则 ，，故 的零点 ；，，故另一零点 。A、B 正确。 ，，，故 为极大值点、 为极小值点。 由 得 ，而 ，故 ，C 正确。 由 得 ，而 ，故 ，极小值大于 ，D 错误。故选 ABC。 选项 A．，，极大值点 ，正确。 选项 B．，，极小值点 ，正确。 选项 C．消元得 （），正确。 选项 D．消元得 ，大于 ，错误。 【方法点睛】本题是隐零点双零点的完整示范： 的两个根都无闭式解，先用特殊值把 、 各自夹进小区间，再由 判定极值类型，最后用方程 消元求极值范围——定位与消元各司其职。 10．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极小值点为 B．对任意 ， C． 的极小值小于 D．方程 恰有两个不同的实数根 【答案】ACD　（难度：中档） 【解析】（），令 得 ； 时递减、 时递增，极小值点为 ，A 正确。 极小值 ，C 正确；既然存在函数值为负的点，“对任意 ，”不成立，B 错误。 当 趋于 时趋于 ；，，而 ，由零点存在定理及单调性， 在 与 内各恰有一根，共两个实数根，D 正确。故选 ACD。 选项 A．， 两侧导数由负变正，极小值点，正确。 选项 B．极小值 ，存在负值，错误。 选项 C．，正确。 选项 D．两端趋于 且极小值为负，由单调性恰有两根，正确。 【方法点睛】（）的极小值 与 的极小值互为镜像：前者 时为零， 时为负、零点两个。判断零点个数用“两端趋向 + 极值符号”三要素。 11．已知函数 （），则下列结论正确的是 A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 的最小值为负数 C．当 时， 的最小值为 D．当 时，方程 恰有两个不同的实数根 【答案】ACD　（难度：较难） 【解析】。当 时 恒成立， 在 上单调递增，A 正确。 当 时， 在 处取得最小值 。当 时 ，最小值 ，B 错误。 当 时，最小值 ，C 正确。 当 时，最小值 ，且当 趋于 与 时 均趋于 ，故 恰有两个不同实数根，D 正确。故选 ACD。 选项 A． 时 恒成立，正确。 选项 B． 时最小值 ，错误。 选项 C． 时最小值 ，正确。 选项 D． 时最小值为负且两端趋于 ，恰有两根，正确。 【方法点睛】 全参数图景： 单调递增无零点（ 时恰一个零点）； 极小值为正、无零点； 极小值为零、一个（切）零点； 极小值为负、两个零点。以 为界的四段讨论是隐零点问题的“全景图”。 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数 在区间 上的极小值为________。 【答案】　（难度：中档） 【解析】，令 得 ，在 内 。 时 ， 时 ，故 为极小值点。 。又端点值 ，，均大于该极小值，故极小值为 。故填 。 【方法点睛】三角型导数的零点方程 在给定区间内有闭式解，但方法与隐零点完全一致：解方程—判变号—代回求值—与端点值比大小。 要快。 13．已知函数 （）的极小值点 ，且 ，则实数 ________。 【答案】　（难度：较难） 【解析】，令 得极小值点 。 由 得 。由 得 ，即 ，而 ，故 ，。 检验：，且 ，全部条件吻合。故填 。 【方法点睛】极小值点即驻点 ，两个条件（位置区间、极值为零）联合锁定参数； 恰是 系“极小值为零”的临界值，与第 10、11 题的结论互为印证。 14．已知 是方程 的实数根，则 ________（ 表示不超过 的最大整数）。 【答案】　（难度：较难） 【解析】设 ，， 单调递增，故实根唯一。 定位：，，故 ，。 再夹 ：，而 ，故 ，从而 ，。 故 。故填 。 【方法点睛】取整问题的两段夹逼：先用整点定出 ；若 紧邻整数边界，再用更细的分点（本题 ）夹逼，确认 不越过下一个整数。（因 ）是本题的关键不等式。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 。(1) 当 时，求 的单调区间与极值；(2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 减区间为 ，增区间为 ，极小值 ；(2) 　（难度：中档偏难） 【解析】(1) 当 时，（），。令 得 。 时 ， 时 ，故减区间为 ，增区间为 ，极小值 ，也是最小值。 (2) 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，且当 趋于 时 趋于 ，此时 可以为负，不合题意；当 时 恒成立，符合题意。 当 时， 的根为 ， 在其左侧递减、右侧递增，最小值 令 ，则最小值为 。由 且 得 ，即 ，故 。 当 时最小值恰为 ，等号在 处成立。综上 或 ，即 的取值范围是 。 【方法点睛】含 的“减法结构”最小值有统一公式：（，）的最小值点 ，最小值可消元表达。讨论时先处理 的单调情形（此时 会使函数出现负值），再对 用最小值符号界定参数，边界值单独回验。 16．已知函数 （）。(1) 讨论 的单调性；(2) 若 有两个不同的零点，求 的取值范围，并证明： 的两个零点分别位于区间 与 内。 【答案】(1) 时在 上递增； 时在 递减、 递增；(2) ；证明见解析　（难度：较难） 【解析】(1) 。当 时 ， 在 上单调递增；当 时，令 得 ， 在 上递减，在 上递增，最小值 。 (2) 有两个不同零点，需 且最小值 ，即 ，得 。 当 时：，，由零点存在定理， 在 内有一个零点；又 在 上单调递增且 ，当 趋于 时 趋于 ，故 在 内恰有一个零点，而 ，该零点位于 内。 由 在 上递减、、 可知 内的零点唯一，故两个零点分别位于 与 内，证毕。 【方法点睛】双零点问题三步走：先由最小值符号定参数范围（）；再用 、 的符号把两个零点分别“钉”进具体区间；最后用各区间的单调性说明唯一性。 是本题的枢纽： 时它必为负，两个区间随之确定。 专题结语 隐零点问题的本质是“方程解不出，关系用得着”：先用零点存在定理定位，再把方程关系当作消元工具。复盘时优先重温第 9、11、14、15、16 题，体会参数讨论与隐零点估算的完整流程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027 届高三数学一轮复习培优专题 02　导数中的隐零点问题 （学生版） 满分 100 分　·　建议用时 90 分钟　·　适用：2026—2027 学年高三一轮复习（中档题及以上） 本卷共 16 题（8 单选、3 多选、3 填空、2 解答），围绕隐零点问题全新命制，均为中档题及以上，建议 90 分钟限时独立完成。完成后对照《详细解析版》逐题复盘，重点体会“定位—消元—回验”三步流程。 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．函数 的极小值点 所在的区间是 A． B． C． D． 2．函数 的零点 所在的区间是 A． B． C． D． 3．已知 是函数 的极小值点，则 A． B． C． D． 4．已知 是函数 的极小值点，则使 成立的整数 的最小值为 A． B． C． D． 5．已知 是函数 的极小值点，则 A． B． C． D． 6．已知函数 存在极小值且极小值小于 ，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数 存在极小值 ，则实数 A． B． C． D． 8．若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。） 9．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极大值点 B． 的极小值点 C． 的极大值为正数 D． 的极小值小于 10．已知函数 ，则下列结论正确的是 A． 的极小值点为 B．对任意 ， C． 的极小值小于 D．方程 恰有两个不同的实数根 11．已知函数 （），则下列结论正确的是 A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 的最小值为负数 C．当 时， 的最小值为 D．当 时，方程 恰有两个不同的实数根 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。） 12．已知函数 在区间 上的极小值为________。 13．已知函数 （）的极小值点 ，且 ，则实数 ________。 14．已知 是方程 的实数根，则 ________（ 表示不超过 的最大整数）。 四、解答题（本大题共 2 小题，共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知函数 。(1) 当 时，求 的单调区间与极值；(2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围。 16．已知函数 （）。(1) 讨论 的单调性；(2) 若 有两个不同的零点，求 的取值范围，并证明： 的两个零点分别位于区间 与 内。 1 学科网（北京）股份有限公司 $