精品解析：天津市第四中学2026-2027学年高三年级上学期阶段性检测一数学试卷

高三年级数学学科阶段性检测一 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 2. “，”是“函数的图象关于原点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则下列说法错误的是（　　） A. 若值域为，则 B. 若定义域为，则 C. 若最小值为0，则 D. 若最大值为2，则 4. 已知函数的零点为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④，. A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①② 6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 11. ______. 12. 在中，，，，则__________． 13. 已知，，且满足，则的最大值为_______. 14. 已知，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当，的最小值为________． 15. 已知直线与曲线相切，则的最大值为________. 三、解答题（5个大题，共75分） 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知函数，其中是奇函数． （1）求a的值； （2）求解不等式； （3）当时，恒成立，求实数t的取值范围． 18. 已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调增区间： （3）若，，求的值． 19. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 20. 已知函数. （1）求曲线在其零点处的切线方程； （2）若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级数学学科阶段性检测一 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.已知全集，集合是偶数，则下列结论正确的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的运算及新定义一一判定选项即可. 【详解】由题，是偶数， 对于，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，，故错误； 对于D，，， 则，故D正确. 故选：D 2. “，”是“函数的图象关于原点对称”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】函数的图象关于原点对称，等价于该函数为奇函数. 令，得，解得. 条件“”是“”的真子集： 充分性：若，则，函数为奇函数，图象关于原点对称，充分性成立； 必要性：图象关于原点对称时，还可取，必要性不成立. 因此是充分不必要条件. 3. 已知函数，则下列说法错误的是（　　） A. 若值域为，则 B. 若定义域为，则 C. 若最小值为0，则 D. 若最大值为2，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用及二次函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】令，， 对于A，因为值域为，则时，，此时值域为，不合题意， 当时，则，解得，所以A说法正确； 对于B，因为定义域为，则时，，此时，符合题意， 当时，，解得，所以，所以B说法错误； 对于C，因为最小值为0，又是增函数，则有最小值， 又的对称轴为，则，解得，所以C说法正确； 对于D，因为最大值为2，又是增函数，则有最大值， 又的对称轴为，则，解得，所以D说法正确. 故选：B. 4. 已知函数的零点为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据可得，再去求，的取值范围，即可得，，的大小. 【详解】解：因为是的零点， 则为的解，分别作与的图象如图所示， 由图可知， 所以，， 所以． 故选C． 5. 下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②已知随机变量服从正态分布且，则 ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④，. A. ②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布概率公式计算判断①；利用正态分布对称性计算判断②；利用条件概率公式计算判断③；利用期望、方差的性质判断④作答. 【详解】对于①，随机变量服从二项分布，，①正确； 对于②，随机变量服从正态分布且，则， ，②正确； 对于③，依题意，，则，③错误； 对于④，，，④正确， 所以说法正确的有①②④. 故选：C 6. 已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 7. 已知函数的定义域为，且满足为偶函数，当时，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分析得的周期为4，的图象关于点对称，当时，，结合即可求解. 【详解】因为，所以①， 则函数的图象关于点对称． 因为为偶函数，所以②， 则函数的图象关于直线对称． 由①②得，则，故的周期为4， 所以． 由，令，得，即③． 已知，由函数的图象关于直线对称，得． 又函数的图象关于点对称，得， 所以，即，所以④． 联立③④解得，故当时，． 由的图象关于点对称， 可得． 故选：A． 8. 已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为存在实数，使得成立，所以当时， ， 当时，令得或或， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 0 - 0 + 0 0 ↘ 极小值 ↗ 由表可知当时，取到时的极小值也是在区间上的最小值，且，故． 9. 已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解. 【详解】由函数，其中， 当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以， 当时，， 由可得或， 则在上，有一个零点， 所以在内有3个零点，即在内有3个零点， 因为，所以，， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 已知半径为1的扇形面积为2，则扇形圆心角的弧度数为________． 【答案】4 【解析】 【详解】设圆心角为，半径，故，解得. 11. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则、换底公式计算. 【详解】, 故答案为：. 12. 在中，，，，则__________． 【答案】## 【解析】 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 13. 已知，，且满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 14. 已知，在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故答案为： 15. 已知直线与曲线相切，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，分析可得，设，，利用导数求函数的最大值即可. 【详解】设直线与曲线相切于点， ，，. 又，， . 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当时，. 故答案为：. 三、解答题（5个大题，共75分） 16. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解出集合及其补集，代入得到集合，再按照交集、并集定义运算； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解即可. 【小问1详解】 已知集合， 解，即，可得或， 所以， 则． 当时，， 所以． 【小问2详解】 ①若，即，则； ②若，则， 解得， 综上可得实数的取值范围为． 17. 已知函数，其中是奇函数． （1）求a的值； （2）求解不等式； （3）当时，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）根据（1）的结果，解指数不等式； （3）首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， ， 则，则； 【小问2详解】 ，即， 整理得，则， 所以． 【小问3详解】 ，所以在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去． 综上． 18. 已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）求的最小正周期和单调增区间： （3）若，，求的值． 【答案】（1）， （2），增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式及辅助角公式，得到，再结合条件，即可求解； （2）利用（1）中结果及正弦函数的性质，即可求解； （3）根据条件，利用平方关系，求出，再由倍角公式及诱导公式，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以，，解得. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 由，得到， 所以函数的增区间为. 【小问3详解】 因为，且，则， 所以，， 则， 又，所以. 19. 已知的三个内角所对的边分别为的面积为，且． （1）求角的大小． （2）若，求的值． （3）若，点是线段上一点，求内角平分线的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，三角形面积公式及同角三角函数的关系即可求解； （2）根据三角形面积公式得出，结合及余弦定理即可求解； （3）根据平面向量数量积的定义得出，再根据角平分线的性质及平面向量线性运算得出，由平面向量数量积的运算律即可求解． 【小问1详解】 由余弦定理得，三角形面积， 代入已知等式得， 又 ，故． 【小问2详解】 由，得， 又，则， 由余弦定理得， 解得（负根舍去）． 【小问3详解】 因为， 所以， 因为是的平分线， 所以， 所以， 则， 故． 20. 已知函数. （1）求曲线在其零点处的切线方程； （2）若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）， （ii） 【解析】 【分析】（1）先求出函数零点，利用导数的的几何意义求出零点处的切线方程； （2）（i）利用导数判断函数单调性，对分类讨论求解；（ii）利用比值换元法求解. 【小问1详解】 令得，且， 零点处切线的斜率为，切点的坐标为， 故零点处的切线方程为； 【小问2详解】 （i）由得， 设，则， ① 当时，，单调递减，则方程至多有一个解； ② 当时，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 若方程有两个解，则，解得， 设，则， 所以在单调递减，从而，即. 所以，又， 所以时，方程有两个解. （ii）由得,所以，， 设，则有，即，， 由得，即， 设，则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在研究零点型的式子时，一方面可借助韦达定理对该式子单元化处理后进行研究，另一方面，可通过构造含的齐次式，令，整体换元后研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $