天津市武清区杨村第一中学2026-2027学年高三第一学期第一次学业质量检测数学试题

杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 杨村一中2026~2027学年度第一学期第一次学业质量检测 高三数学 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1.已知全集U={-2,-1,01,2,3},集合A={-1,0,1,3},集合B={-2,0,1},则(CA)UB=( A.{-2} B.{-2,2 C.{0,1,2} D.{-2,01,2} 2.设x∈R,则“x>0”是“x2+3x>0”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为( ) A.x+sin x B.x-sin ax C.-x+sin nx D.xsin元c 4.已知a>0且a≠1，若log。2=m,log。3=n,则a2m+3m=( ) A.6 B.36 C.72 D.108 5.已知ama-子，则cs2a+2sin2u=( ) A号 B. c. D.16 5 6.a=sin2,b=log2a,c=2-, A.b<a<c B.a<c<b C.b<c<a D.a<b<c 7,如图，在AMBC中，AD=AB,AE=4C,CD与B咬于点2，AB=2,AC=4, AP.BC=2则AB.AC的值为( A号 .名 C.2 D. 5 高三数学第1页共4页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 8、已知定义域为R的函数，对任意的x∈R都有f9>4,且/付，当ae0,2 时，不等式f(sina)+cos2a-1>0的解集为( A.5 .()c.〔）.》 9.已知函数f(x)=sin(ax+p) >01p<)在区间引上单调递减，且 }-) 将函数y=f(x)图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到函数y=g(x)的图象，若函数y=g(x)在区间[-t,)]上单调递增，则t的最大值为( ) A.哥 B晋 c. D.号 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 10.已知复数：=则-— 11.在△ABC中，A=60°，AC=1,△ABC的面积为√5，则BC的长为 12.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石， 围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块.已知上、中、下 每层均有9圈（共27圈)，则下层比上层多 块石板 13.若x>0y>0,且2x+十x+l,则2x+y的最小值为一 14.已知向量d==2,且满足a-b=0,求V3a+=一；若非零向量c满足 G-c6-c)=0,求ac的最大值为 高三数学第2页共4页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 15.已知函数f(x)=+l+ax-2,函数f(x)的最小值记为M(a@),给出下面四个结论： ①M(@的最小值为0： ②M(@的最大值为3： ③若f(x)在(-o,-1)上单调递减，则a的取值范围为(-o,-2U[0,+w); ④若存在teR,对于任意的xeR,ft+x)=ft-x),则a的可能值共有4个； 则全部正确命题的序号为 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16.已知函数f()=2sin5cos7-25sim'5+5(xeR). (I)求函数f(x)的最大值，并求出取得最大值时x的取值集合； 2)设（=+引 求函数g(x)的最小正周期和单调递减区间. 17.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且b>c,2 acosA=bcosC+ccosB,△4BC 的面积为12√5，a=2√13. (1)求A的值 (2)求b的值： (3)求cos(2B+A)的值. 高三数学第3页共4页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 18.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a+a,=2,S2=-24. (1)求{an}的通项公式： (2)求Sn的最大值； (3)求数列{an}的前n项和Tn. 19.已知函数/)-h+keR) (1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为2e2y+x-4=0,求k的值； (2)若函数g(x)=xf'(x)在区间(1,2)上存在单调增区间，求k的取值范围. 2(e2+1） (3)当f'()=0时，求证：f'(x)< x(sinx+2) 20.已知函数f(x)=xe,g(x)=nx+x. (1)求函数8(x)在1g①)处的切线方程； (2)若h(x)=f(x)-g(x), (i)当a=1时，求函数h(x)的最小值； (i1)若(e)=0有两个实根x,x,且飞≠，证明：e+>1 高三数学第4页共4页 杨村一中2026~2027学年度第一学期第一次学业质量检测 高三数学答案 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分) 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 答案 D A D A A D 二、填空题 （本题共6小题，每题5分，共30分) 10.【答案】1 11.【答案】√3 12.【答案】1458 13.【答案】V2+1 14.【答案】4,2V2+2 15.【答案】①②④ 三、解答题（本题共5小题，共75分) 16（)已知函数f()-=2 sin-23sin2+5(xeR,利用二倍角公式：2s如5cs7=simx, 2 2 2sin2=1-cosx, 代入得：f)=sinx-5(-cos+5=snx+5cosx=2smx+写) ---3分 当x+=2k+元，keZ,即x=2m+,keZ时， -5分 3 加x+写)1，所以)取得及大值2. -7分 (2)1 =2cos -9分 最小正周期T 2r二4 1 -11分 2 令2km≤≤2k+元，k∈Z,解得4m≤x≤4m+2元，k∈Z, 因此g(x)的单调递减区间为[4km,4km+2π]，k∈Z.--- --14分 17.(1)由正弦定理得，2 sin AcosA=sin BcosC+sin C cos B =sin(B+C)=sin A, :siA≠0,2cosA=1→cosA=1 又A∈(0，)，所以A= 4分（不写角A范围扣一分） 3 (2Sbcinbe=12b4D. 2 4 又ad=b2+c2-2 be cos A,即52=b2+c2-bc②， b=8。b=6 由①②解得 或 c=6 c=81 又b>c, 所以b的值为8. -9分 (3)由(2)知a=2W13,b=8,c=6, 所以c0sB=。+c2-B52+36-64V店 2ac 2×2W13x613' c0s2B=2c0s2B-1=-1 3’ ---11分 又cosB>0,所以B∈0,5,2B∈(O,元)， 则sin2B= 43 -.-13分 13 所以os284=2ns292a 9普装 即cos(2B+4)的值为-器 --15分 18.(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为 a+a=2 2a+8d=2 52=-24，可得 a=9 2a+66d=-24'解得 d=-2' 所以an=9-2(n-l)=-2n+11(n∈N). -4分 (2)由(1)可知：a1=9,an=-2n+11, 则8.-n9+1-2m）-r+10n=-a-5}+25, 2 当n=5时，Sn取到最大值为25.- .-9分 (3)由(1)可知：an=-2n+11, n≤5时a,=-2n+11>0,当n26时an=-2n+11<0, 当n≤5，n∈N时，则Tn=a+a2+…+an=Sn=-n2+10n; 当n26,n∈N时，则Tn=(a+a,++a)-(a。+a,+…+an)=S,-(Sn-S)=2S,-Sn=2-10n+50: 综上所述：Tn= 「-n2+10n,n≤5 1n2-10nt50.n≥62neN.---r -15分 19.D由f()=血x+k得fx)=1-x血 ex ,x∈(0，+o), 因为函数f(x)在x=2处的切线方程为2e2y+x-4=0, ·曲线y=/)在点(2，f(2)处的切线斜率为f“2)=1-2k-2h2。- 2e2 2e2, 解得k=1-ln2;- 4分 (2)函数g(x)=xef'(x)=1-ax-xlnx, g'(x)=-k-lnx-1, 因为函数g(x)=xf'(x)在区间(1,2)上存在单调增区间， 所以g'(x)=-k-lnx-1>0在区间(1,2)上有解， -6分 即-k-1>nx在区间(1,2)上有解， 因为y=nx在区间(，2)上递增， 所以y=nx>0, 可得-k-1>0 故k<-1; --9分 2(e2+1) e2+1 (3)x(sinx+2)1 in y=()=方血x+x-(2+=snx-, 1 k()=sinx+号cos--2x<0,函数递减， 因为x>0,所以()-=nx+-(+小水0)=0 即0<snx+x<+x, 只需对任意的x>0,f'(<G1恒成立即可， x2+x 令G(x)=(x2+x)f(x), 当%=1时，k=1,G()=-x-xn,x∈(0+o), 因此，对任意x>0,G(<e2+1等价于刊-x-nx<本e2+, 由h(x)=1-x-xnx,x∈(0，+oo),∴.h'(x)=-lnx-2,x∈(0，+oo), 因此，当xe(0,e2)时，h'(x)>0,h(x)单调递增， x∈(e2,+o)时，h'(x)<0,h(x)单调递减， ∴h(x)的最大值为h(e2)=e2+l, 故1-x-xlnx≤e2+1, 设p(x)=e-（x+l),p'(x)=e-1, ∴x∈(0，+o)时，p'(x)>0,p(x)单调递增，p(x)>p(0)=0, 故x∈(0，+o)时，p()=e-(x+1)>0,即e>1, x+1 故-hse2+le+0 因此对任意的x>0f(x)5+1<,e2+1.2e2+) x2+x xsinx+xx(Sinx+2)恒成立， .-15分（其他方法 适当得分) 20(1)因为8()=nx+x,所以g)=1+1, 所以g0=+1=2,又g0=1, 1 所以函数8(x)在1，g)处的切线方程为：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.-------4分 (2)(i)当a=1时，h(x)=f(x)-8(x)=xe-hx-x,定义域为(0，+)， h(=(e+1)e-1-l=x+l(e-) 令F(x)=xe-1,x∈(0，+n), 则F'(x)=(x+1)e>0, 所以F(x)在(0，+o)上单调递增， 又因为F(0)=-1<0,F(1)=e>0, 所以3x∈(0,1)使得F()=0,即xe=1,① 故当x∈(0，)时，F(x)<0,即H(x)<0,此时h(x)在(0，)上单调递减： 当x∈(，+o)时，F(x)>0,即H(x)>0,此时h(x)在(，+∞)上单调递增， 所以当x=x时，函数h(x)有最小值， 由①可得ln(eo)=h1=0,即ln+=0, 所以函数h(x)的最小值为eo-ln-=1.- -9分（同构方法也可得 分) (i)由题意，h(x)=xe*-a(lnx+x),定义域为(0，+o), 由题意h(x)=xe-a(lnx+x)=xe-ah(xe)=0有两个不相等的实数根， 令t=xe,则t'=(x+1)e>0, 所以t=xe*在(0，+o)上递增，所以t>0, -10分 令G(t)=t-alnt(t>0), 所以G(t)有两个不相等的正的零点，t2,且=xe,=xe3, 即g-aln4=0 马-an5=0'两式分别相加减得， a(Int2+)=+4,a(Int-In)=. 所以nk+n5=5t4,a=专-舌，② a Int-In 要证ew>,只需证(ke)k,e)c, Xx2 即证ln(xe)+n(xe)>2,即需证lnt+lnt2>2, 点+n2 出@，4-4-a4 t2-1 +in2 故只需证车，车>2， t2-1 4 不妨设0<(<5，令u=点>1， 则只需证么>2，即>2公什2〔】 u-1 +72>0, 故只需证血+4 令s0四)=nu+4-2,u>1) u+1 则s'(四=1,4=u-1 5>0, L(u+1)2(u+1) 所以s(u)在(1，+∞)上单调递增， 所以s(4)>s(1)=0, 即当>1时，血u+4-2>0成立 u+1 所以n4+血>2，即(e)(飞e)>e心，故e>1 --16分 x (其他方法也可得分)