精品解析：云南省名校协作体2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由元素与集合、集合与集合的关系即可求解. 【详解】对于A，0不是正整数，故A错误； 对于B，不是有理数，故B正确； 对于C，不是整数，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“，”的否定是“，”. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以． 故选:B． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得出等价条件，再结合充分必要条件定义判断即可求解. 【详解】设，则“”等价于或； “”等价于； 或不可以推出；可以推出于或； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；作差法判断BCD. 【详解】因为，则，所以，A错误； ，所以，B错误； ，所以错误； ，所以，D正确． 故选：D． 6. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得集合，， 又阴影部分表示的集合为：在全集中的补集为， 故其真子集的个数为. 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法求解． 【详解】不等式可化为，即，解得． 故选：B 8. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将题中条件化为，再根据“1”的妙用即可求出取得最小值时和的值，进而即可求出． 【详解】由，，且，则， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以取得最小值时，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 【答案】AD 【解析】 【分析】先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断. 【详解】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故A，D正确，B，C错误. 故选:AD. 10. 下列各式中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】分别分析集合和集合中方程根的个数，再根据不同条件进行判断. 【详解】对于选项： 集合，判别式恒成立，集合有两个元素，，故正确. 对于选项： 集合. 第一部分：，解得或. 当时，有2个不同的根；当时，有1个根. 第二部分：，判别式. 当，即或，此时方程有2个不同的根； 当，即或，此时方程有1个相同的根； 当，即，此时方程无实数根. 由于对于的任意值，方程的根与的根不会相等， 所以当或时，两个方程共有4个实数根，； 当或时，两个方程共有3个实数根，； 且时，两个方程共有2个实数根，； 当时，两个方程共有1个实数根， 所以的值可能为1，2，3，4，故错误. 对于选项 当时，，此时； 当时，； 当时，，此时或； 当时，. ，，故正确. 对于选项： 若，当且仅当，此时或，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据属于的性质，运用分类讨论思想结合集合元素的互异性进行求解即可. 【详解】因为， 所以有，或， 解得或， 当时，，不符合集合元素互异性，故舍去， 当时，，符合集合元素互异性. 故答案为： 13. 已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】作差法比较大小即可. 【详解】 ， 由x＞0，y＞0且x≠y知，， , 即 故答案为： 14. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 若命题：“，恒成立”是真命题， 则，可得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1），； （2），或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得； （2）先求集合的补集，再根据交集、并集的定义及利用数轴运算可得. 【小问1详解】 因为集合， 又集合， 所以， ． 【小问2详解】 因为全集，，， 所以或，或， 所以或， 或或或. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再分与两种情况讨论即可求解； （2）由必要不充分条件可知，进而可得不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 ， 由，得， 当时，，解得； 当时，不等式组无解， 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以， 或，解得或， 综上可得，故实数的取值范围为． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． （1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），时，所用篱笆总长最小 （2），时，菜园的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）先依题意得到，再结合基本不等式求和的最小值即可求解； （2）先依题意得到，再结合基本不等式求积的最大值即可求解． 【小问1详解】 由题可得（，）， 所以篱笆总长为， 当且仅当，即，时，等号成立， 又，所以当，时，所用篱笆总长最小． 【小问2详解】 由题可得， 所以菜园面积， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，时，菜园的面积最大，最大面积为． 18. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时取等号， 所以当时，的最小值是. （2）由，可得，解得， 所以， 当且仅当，即时，取得等号，所以的最大值是． （3）因为，令，则，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为． 19. 柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的．最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859年被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦茨于1888年给出．故历史上，该不等式又称为柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式．它在数学分析学中占有十分重要的地位．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当或存在一个数，使得（）时，等号成立． 现给出二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立． （1）证明二维柯西不等式； （2）已知，，且，求的最大值； （3）已知，，，且．若恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） ，当且仅当时等号成立． ，当且仅当时等号成立． （2） （3） 【解析】 【分析】(1)通过将二维柯西不等式左右两侧作差展开，利用完全平方的非负性推导出差值大于等于，即可完成不等式的证明，同时可直接得到等号成立的条件； (2)先对给定的方程进行因式分解变形，得到两个根号内表达式的乘积为定值，再套用二维柯西不等式构造对应形式，即可求出目标式的最大值并验证等号可取； (3)直接使用三维形式的柯西不等式，结合已知的的条件，求出左侧平方和的最小值，再根据不等式恒成立的要求列出关于的不等式，求解得到的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， ，，，， ， 由二维柯西不等式得： ， 当且仅当，即时等号成立． ，的最大值是． 【小问3详解】 由三维柯西不等式得： ． ，， 当且仅当，，时等号成立， 又恒成立，， 或，即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 7. 不等式的解集为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知，，且，则当取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 10. 下列各式中，最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 11. 用表示有限集合中元素的个数，若集合，，则（　　） A. B. ， C. 若集合，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合，且，则___________． 13. 已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为______． 14. 已知命题：“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，． （1）求，； （2）求，． 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度为）的矩形菜园，设菜园的边长分别为，． （1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长度为，则，为何值时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 18. （1）已知，求的最小值； （2）求的最大值； （3）已知，求的最大值． 19. 柯西不等式是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的．最初于1821年被柯西提出，其积分形式在1859年被布尼亚科夫斯基提出，其证明由施瓦茨于1888年给出．故历史上，该不等式又称为柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式．它在数学分析学中占有十分重要的地位．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，，当且仅当或存在一个数，使得（）时，等号成立． 现给出二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立． （1）证明二维柯西不等式； （2）已知，，且，求的最大值； （3）已知，，，且．若恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $