内蒙古自治区呼和浩特市九年级数学上学期单元作业（人教版九年级上册第25章一元二次方程）

第 25 章 一元二次方程单元测试作业设计 一、作品基础信息 项 目 填写内容 作品名称 第 25章 一元二次方程单元测试作业设计 学段学科 初中 数学 适用年级 九年级上册（内蒙古 2024 新版教材） 教材版本 人教版 对应内容 第 25章 一元二次方程 作业类型 单元作业 完成时长 总时长 90 分钟 设计者 郭强 二、设计背景与意图 1. 课标与教材分析 （1）课标要求：本单元落实义务教育数学课程标准，对应核心素养：运算能力、抽象能力、模型观念、推理能力、应用意识。 学业要求：识别一元二次方程，掌握一般形式；理解 “降次” 化归思想，熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；会利用判别式判断方程实数根情况；了解根与系数简单关系；能够从真实情境建立一元二次方程模型，会检验方程解是否符合现实实际意义，达成数与代数主题学业质量标准。 （2）教材地位：人教版九上第 25章一元二次方程，是初中整式、因式分解、一元一次方程知识的延伸，是后续学习二次函数、高中一元二次不等式的必备基础，呼和浩特中考高频必考模块。 本章核心内容：一元二次方程定义与一般形式；四种解方程方法；根的判别式；根与系数关系；传播、增长率、面积、销售利润实际应用题。本单元尚未学习二次函数，本卷规避二次函数综合类试题。 （3）教学重难点 ①一元二次方程概念辨析，注意隐藏条件； ②配方法解方程，体会降次化归思想； ③灵活选用四种解法求解方程； ④判别式含参数讨论根的情况； ⑤实际问题建立方程模型，检验、舍去不符合实际意义的解； ⑥新定义阅读、代数含参综合推理。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 呼和浩特九年级学生，已经掌握整式乘法、完全平方公式、因式分解、一元一次方程；能够识别整式方程，会基础移项变形，理解方程解的含义。城区学校学生基础整体较好；乡镇学校学生因式分解板块薄弱，计算熟练度有待加强。 现有困惑 结合呼和浩特近三年中考阅卷反馈：学生高频失分点：忽略一元二次方程隐藏条件；配方法二次项系数不为 1 计算易错；公式法代入符号出错；实际应用题解完不检验根的现实意义；含参数题型容易遗漏分类讨论；新定义题型提取有效信息存在障碍。 差异分析 呼市城区、城乡结合部学生层次分化明显：基础学生掌握概念、简单解方程；中等生可以处理判别式、常规应用题；少部分优生完成含参、新定义探究。本套试卷严格执行7:2:1 难度配比：70% 基础题，20% 中档题，10% 拔高题，实现分层评价，适配单元终结检测。 3. 设计意图 本套单元检测作业严格对标内蒙古 2025-2026 新中考 18 题试卷（8 道选择题 + 4道填空题 + 6道解答题），题型结构、分值、90 分钟时长完全对齐本地中考；全面覆盖本章全部知识点；大量融入呼和浩特本土真实情境素材：乳都乳业生产、和林格尔燕麦种植基地、敕勒川文旅游客增长、那达慕新媒体传播、奶食品特产销售。 大题全部分层设问：每道大题 (1) 基础，(2) 中档；第 17 题为原创新定义阅读（对标内蒙古中考新定义命题风格）；第 18 压轴设置基础-中档-拔高三小问，第 (3) 小问要求书写简要推理过程。 三、作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 识别一元二次方程，掌握一般形式；熟练四种解法；判别式判别根的情况；了解根与系数关系；区分数学解与实际意义解 抽象能力 选择填空正确率，概念辨析作答 能力运用 B 灵活选择方法解方程；判别式简单含参分析；从本地真实情境提取等量关系列一元二次方程，会舍去不符合现实的根 运算能力、模型观念 解答题步骤完整性、列式、根的取舍 思维发展 C 读懂数学新定义；会简单含参数分类讨论；代数式与方程结合推理 推理能力 新定义作答、压轴推导过程 情感态度 D 感受一元二次方程在呼和浩特农牧业、文旅生活中的应用价值，增强家乡认同感，提升数学应用意识 应用意识 应用题完整作答、实际根检验步骤 四、作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业 目标编号 难度/建议 设计意图 参考答案 评价要点 1 选择题 一元二次方程概念识别 A ★（必做） 基础概念辨析 C 2 选择题 一元二次方程一般形式识别各项系数 A ★（必做） 辨析符号易错点 B 3 选择题 直接开平方法解方程 A ★（必做） 体会降次思想 B 4 选择题 判别式判断根的情况 A ★（必做） 判别式基础应用 C 5 选择题 选择简便方法解方程 A、B ★（必做） 灵活选用解法 D 6 选择题 配方法变形正误判断 A ★（必做） 配方法易错辨析 B 7 选择题 已知方程根求参数 A、B ★（必做） 根的定义代入求值 A 8 选择题 根与系数关系求代数式 A、B ★（必做） 韦达定理基础 B 9 填空题 直接解一元二次方程（基础） A ★（必做） 基础运算 10 填空题 已知一根求参数 （中档） A、B ★（必做） 根定义代入计算 3 11 填空题 新媒体传播（那达慕短视频），只列方程不求解 B ★（必做） 传播建模，真实新媒体情境 12 填空题 含参分类讨论（难题） B、C ★★ （选做 ） 训练分类讨论思维 或 13 解答题 选用合适方法解 4 道一元二次方程，基础运算 A、B ★（必做） 训练四种解法 详见解析 14 解答题 配方法专题：(1) 配方变形；(2) 利用完全平方式求代数式最值 A、B ★（必做） 深化配方法理解，体会非负性 详见解析 15 解答题 判别式综合：(1) 求证总有实数根；(2) 已知一根求参数、另一根 A、B ★（必做） 判别式 + 方程根综合 详见解析 16 解答题 应用题【和林格尔燕麦基地】产量增长率 (1) 求年平均增长率；(2) 预估下一年产量 B ★（必做） 本土农牧业情境建模 详见解析 17 解答题 新定义阅读 “共生方程”；(1) 基础判断；(2) 中档求参数 C ★★ （选做 ） 对标内蒙古中考新定义阅读题型 详见解析 18 解答题 压轴综合：(1) 解方程；(2) 代数式求值；(3) 拔高存在性含参讨论，要求写简要推理 B、C ★★ （选做 ） 分层区分学生能力水平 详见解析 难度标记说明 ★（必做）：基础层级，全体学生必须完成，落实单元基础知识、基本技能； ★★（选做 A）：拓展提高层级，供学有余力学生选做；基础薄弱学生可跳过，不影响本单元基础达标。 时间建议：必做题建议 70 分钟完成；选做题建议额外 20 分钟，整套作业限时 90 分钟。 五、作业评价量表（分层 A/B/C 等级评价） 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题正确率高；熟练掌握一般形式、四种解法；判别式概念清晰，注意隐藏条件 少量计算失误；配方法、判别式偶尔出错；符号偶有错误 大量基础错误，分不清方程类型，配方步骤混乱 20% 能力运用 解方程步骤完整规范；实际应用题主动检验、舍去不符合实际意义的根；含参讨论完整不漏条件 解题方法选择正确，少量计算失误；应用题偶尔忽略实际意义检验 方法选择不当，关键步骤缺失，不会检验实际解 30% 思维发展 新定义完整作答；压轴三小问全部完成；含参题目完整分类讨论 新定义完成两小问；压轴完成前两小问；分类讨论会漏掉个别情况 仅可以完成各题第 (1) 小问，不会处理参数 30% 情感态度 书写工整规范；主动反思错题；重视应用题实际现实意义 态度端正，整套作业完整完成 只完成基础小题，书写潦草，缺少思考 20% 本检测完成之后，依据学生错题，分层开展补救练习： 1.概念类错误（混淆一元二次方程条件、忽略）：回归教材例题，完成课本课后概念辨析习题，梳理概念笔记。 2.解方程计算失分（配方、公式法符号出错）：限时8分钟完成5道解方程专项小练习，重点训练配方法、符号识别。 3.实际应用题失分（不会列方程、不检验实际根）：补充2道呼和浩特本土情境应用题，强化“列方程-求解-检验-取舍” 完整流程。 4.含参、新定义题型失分：开展拓展探究小任务，1道同类新定义、1道简单判别式含参练习，引导学生梳理分类讨论的前提条件。 六、具体作业内容【严格 18 道，对标内蒙中考试卷格式】 试卷说明：满分 100 分，考试时间 90 分钟；不得使用计算器 注意事项： 1. 答题前，请将姓名、班级填写在答题卡指定位置； 2. 全部答案均需写在答题卡，试卷上作答无效。 第Ⅰ卷 选择题（共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。每小题只有一个正确选项） 1. 下列等式属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项依次为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A.B. C. D. 4. 一元二次方程根的情况是（ ） A.两个不相等实数根 B.两个相等实数根 C.没有实数根 D.无法判定 5. 解方程，最简便的解法是（ ） A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 6. 用配方法把化成形式，则的值为（ ） A. B. C.D. 7. 已知是一元二次方程的一个根，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一元二次方程两根为，则的值为（ ） A. B.C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题 3 分，共12分） 9. 一元二次方程的解为 。 10. 已知是方程的一个根，则 。 11. 那达慕活动短视频传播，一人发布短视频，经过两轮转发之后，共有 144 人看到这条视频，设每轮平均一人转发个人，可列方程： （不需要求解）。 12. 已知关于方程有两个相等实数根，则 。 三、解答题（本题共 6 小题，共 64 分。解答应写出文字说明、演算步骤） 13.（本题10分）选用合适的方法解下列一元二次方程 (1)(2) (3)(4) 14.（本题10分）已知代数式 (1) 用配方法将代数式写成的形式； (2) 直接写出当取何值时代数式取得最小值，并写出最小值。 15.（本题10分）已知关于一元二次方程：。 (1) 求证：无论取任何实数，方程总有实数根； (2) 若方程其中一个根是，求的值以及方程另外一个根。 16.（本题10分）呼和浩特和林格尔县燕麦种植基地，2024年燕麦总产量40吨，经过两年增产，2026 年产量达到48.4吨。 (1)求这两年燕麦产量的年平均增长率； (2)按照该增长率，预估2027年基地燕麦总产量。 17.（本题12分，新定义阅读） 定义：若一元二次方程与方程，满足，则称两个方程互为共生方程。 (1) 判断：方程与方程是否互为共生方程，直接写出结论； (2) 已知方程与方程互为共生方程，且方程有一个根为，求的值。 18.（本题12分）已知一元二次方程。 (1) 直接解这个关于的方程（用含代数式表示两根）； (2) 若方程两根满足，求的值； (3) 是否存在实数，使得方程一个根大于 3，另一个根小于 1？若存在，求出取值范围并书写简要推理；若不存在，请说明理由。 七、参考答案 一、选择题（每题3分，共24分） 第 1 题 【答案】C 【分析】 考查一元二次方程的定义。一元二次方程需要同时满足：是整式方程，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，二次项系数不为 0。 【详解】 A 选项是一元一次方程； B 选项是分式方程； C 选项满足一元二次方程的全部条件； D 选项没有说明二次项系数不为 0，因此不一定是一元二次方程。 故选：C。 第 2 题 【答案】B 【分析】 考查一元二次方程的一般形式。应先将方程化为一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项。 【详解】 将方程移项整理，得：3x²+5x‑2=0 所以二次项系数为 3，一次项系数为 5，常数项为‑2。 故选：B。 第 3 题 【答案】B 【分析】 考查直接开平方法解一元二次方程。 【详解】 (x‑3)²=16 两边开平方，得：x‑3=±4 所以：x₁=7，x₂=‑1 故选：B。 第 4 题 【答案】C 【分析】 考查根的判别式。当判别式大于 0 时，方程有两个不相等的实数根；等于 0 时，有两个相等的实数根；小于 0 时，没有实数根。 【详解】 a=1，b=‑2，c=3 Δ=b²‑4ac = (-2)²‑4×1×3 =4‑12 =‑8 < 0 所以方程没有实数根。 故选：C。 第 5 题 【答案】D 【分析】 考查根据方程结构选择合适的解法。方程中两项都含有公因式，适合使用因式分解法。 【详解】 x²‑4x=0 提取公因式，得：x (x‑4)=0 因此因式分解法最简便。 故选：D。 第 6 题 【答案】B 【分析】 考查配方法。配方时，先移项，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 【详解】 x²‑6x‑2=0 移项，得：x²‑6x=2 两边同时加上 9，得：x²‑6x+9 = 11 即：(x‑3)²=11 所以：m=‑3，n=11 故选：B。 第 7 题 【答案】A 【分析】 考查方程根的定义。将已知根代入原方程，可以求出参数的值。 【详解】 把 x=1 代入方程： 2×1² + m×1 ‑5 =0 即：2+m‑5=0 解得：m=3 故选：A。 第 8 题 【答案】B 【分析】 考查根与系数的关系。 【详解】 a=2，b=‑4 所以两根之和为：x₁+x₂ = ‑b/a = -(-4)/2 =2 故选：B。 二、填空题（每题3分，共12分） 第 9 题 【答案】x₁=2，x₂=‑4 【分析】 考查因式分解法解一元二次方程。 【详解】 (x‑2)(x+4)=0 所以：x‑2=0 或 x+4=0 解得：x₁=2，x₂=‑4 第 10 题 【答案】3 【分析】 考查方程根的定义。 【详解】 把 x=2 代入方程： 2²‑2k+2=0 即：4‑2k+2=0 解得：k=3 第 11 题 【答案】(1+x)²=144 【分析】 考查传播问题中的一元二次方程模型。 【详解】 设每轮平均一人转发 x 个人。 第一轮后共有：1+x 第二轮后共有：(1+x)² 根据题意，得：(1+x)²=144 第 12 题 【答案】k=8 或 k=‑4 【分析】 考查根的判别式。方程有两个相等的实数根，说明判别式等于 0。 【详解】 a=1，b=‑(k-2)，c=9 Δ = [-(k‑2)]²‑4×1×9 =0 (k‑2)² = 36 所以：k-2 = ±6 解得：k=8 或 k=‑4 三、解答题（共 64 分） 13.(10 分) 【分析】 考查一元二次方程的解法。应根据方程的结构特征，灵活选择直接开平方法、因式分解法或公式法。 【解题思路】 第 1 小题适合使用直接开平方法； 第 2 小题适合使用因式分解法； 第 3 小题不能直接因式分解，适合使用公式法； 第 4 小题应先移项，再提取公因式，不能直接两边除以相同因式，避免丢根。 【答案】 (1)， ， (2)， ， (3)， ， (4)， ， 14.(10 分) 【分析】 考查配方法及利用完全平方的非负性求代数式的最小值。 【解题思路】 先提出二次项系数，再对括号内进行配方；配方后根据完全平方大于等于 0，判断代数式的最小值。 【答案】 (1) (2)，当，代数式取得最小值。 15.(10 分) 【分析】 考查根的判别式及一元二次方程根与参数的关系。 【解题思路】 第 1 小题通过计算判别式，说明判别式恒大于等于 0； 第 2 小题将已知根代入方程，先求参数，再求另一个根。 【答案】 (1) 证明： 恒成立， 无论取何实数，方程总有实数根。 (2) 把代入方程，， 解得。 原方程变为， 解得； 另一根。 16.(10 分) 【分析】 考查一元二次方程在增长率问题中的应用。 【解题思路】 设年平均增长率为 x，根据两年增长后的产量列方程；解出增长率后，再计算下一年的产量。 【答案】 (1) 设年平均增长率为， ，，，， 答：年平均增长率。 (2)（吨） 答：预估 2027 年产量 53.24 吨。 17.(12 分) 【分析】 考查新定义问题。解题关键是准确理解 “共生方程” 的定义，并将其转化为代数条件。 【解题思路】 第 1 小题分别计算两个方程二次项系数与常数项的和，再比较是否相等； 第 2 小题先根据 “共生方程” 的条件求出一个参数，再利用方程根的定义求出另一个参数。 【答案】 (1)：，；：，；，不是共生方程。 (2)，； 与共生，故，解得。 又是的根，代入，，得。 综上。 18.(12 分) 【分析】 考查含参数一元二次方程的综合应用，包括解方程、根与系数的关系以及根的分布问题。 【解题思路】 第 1 小题先将方程化为完全平方形式，再直接开平方； 第 2 小题利用根与系数的关系，将两根平方和转化为关于参数的方程； 第 3 小题先判断两根的大小关系，再根据题意列出不等式组。 【答案】 (1)，，，。 (2) ，，或。 (3) 存在。 推理：两根，，显然； 要求大根，小根； ， 解得。 的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $