精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

2026-2027学年度上学期月考考试 高二年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数满足（为虚数单位），则（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法运算结合复数模概念可得答案. 【详解】，则. 2. 下表记录了某地区一年之内的月平均降水量． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则的分位数为（ ） A. 5.1 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6 【答案】B 【解析】 【详解】把这组数据由小到大的顺序排列，得：4.6，4.8，5.1，5.3，5.3，5.6，5.6，5.6，5.8，6.4，6.6，7.1， 因为3，所以分位数为． 3. 已知向量，满足，，．则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设与的夹角为，， 由 得 ， 因为，，所以， 因此，所以 ， 又，所以. 4. 已知，，若，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知,, 则, 又,则， 得，得. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【详解】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，且，故为的中位线， 所以，同理可得， 因为四边形是边长为的正方形，故， 所以是边长为的等边三角形， 设，由正四棱锥的结构可知：平面，且， 故正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 6. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为. 因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为， 所以展开图弧长等于底面周长，即. 又圆锥的侧面积为. 解得. 圆锥的高为. 故圆锥的体积为. 7. 已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设外接圆的圆心为，三棱锥外接球的球心为，连接， 则平面. 因为平面，所以， 作，连接，又， 所以四边形是矩形，所以，又， 则，即. 设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为. 因为，所以是正三角形， 由正弦定理得，可得， 所以， 则外接球的表面积为. 8. 已知数列满足，，则数列的前2026项和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】A 【解析】 【分析】写出数列的前几项，发现规律，利用数列的周期性求解问题. 【详解】，可以发现数列是周期为3的周期数列， 可以发现数列是周期为3的周期数列， 因为 所以数列的前2026项和为. 二、多选题 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，若，则或直线与直线互为异面直线，故A错误； 选项B，若，根据线面垂直的性质与线面平行的性质可得，故B正确， 选项C，若，且，则或平面与平面相交，故C错误； 选项D，若，根据面面垂直的性质定理，线面垂直的性质定理可得，故D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则总体中个体被抽到的概率为0.03 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】CD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，从该总体中抽取一个容量为5的样本， 则指定的某个个体被抽到的概率为，故A错误； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以，解得， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30，又， 故这组数据的第70百分位数为第6个数，即23，故C正确； 对于D，依题意，，则数据的方差为， 故数据的标准差为，故D正确. 故选：CD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（ ） A. 若P为BC的中点，则PE∥平面 B. 过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 C. 若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为 D. 若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，连接，先证得∥，再利用线面平行的判定定理证明PE∥平面；对于B，结合正方体的特点及图形举例即可判断；对于C，由三棱锥的体积公式结合题设可得到平面的距离为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，可得平面AEP截正方体所得截面为梯形，进而求解判断即可. 【详解】对于A，连接，由正方体得∥， 由E、P分别为棱CD、BC的中点得∥， 所以∥， 又平面，平面，所以PE∥平面，故A正确； 对于B，如图，点M、N、Q分别为上的点，且,此时过点E、P、M、N、Q的平面为五边形，故B正确； 对于C，由于， 则， 所以， 则， 设到平面的距离为， 由，则， 以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 则，即， 所以点P的轨迹为线段，而， 则动点P的轨迹长度为，故C错误； 对于D，连接并延长交的延长线于点，连接， 而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点， 即， 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形， 而，则梯形的高为， 所以梯形的面积为，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由知为异面直线和所成的角． 在Rt中，，则， 即异面直线和所成角的大小是. 13. 已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】 ，当 时， . 又 且 ， ，得 ，因为，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，故答案为 . 14. 如图，正方体的棱长为4，N为的中点，若过的平面平面，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取BC的中点E，的中点F，先利用面面平行判定定理证明平面平面，得出四边形为平面截正方体所得截面图形，易得四边形是菱形，求得该菱形的边长即可求得面积. 【详解】如图，取BC的中点E，的中点F，连接DE，，，FD， 因为E，F分别为BC，的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又，，平面，所以平面平面， 即四边形为平面截正方体所得截面图形. 由正方体的棱长为，易得四边形是边长为的菱形， 对角线即为正方体的体对角线， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又， 所求截面的面积. 四、解答题 15. 已知的内角所对的边分别为． （1）求； （2）设，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角得到等式，结合角范围及已知条件求出 （2）先由求出，再用余弦定理结合与关系求出，最后根据三角形面积公式求出面积. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 而， 所以，又，所以， 因为，得， 又，所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 由余弦定理， 又，所以，即，且，解得． 所以． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， （1）求证:平面; （2）求证:; （3）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：在中，，分别为，的中点， 于是， 由直三棱柱可得：， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）证明：在中，为的中点且， 可得， 由直三棱柱可得，平面， 又平面，， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以． （3）当，且，D，E分别为的中点， 所以是边长为1的正三角形， 由直三棱柱可得，平面，即为三棱锥的高 则 【解析】 【分析】（1）依题且即可得从而得证； （2）由直三棱柱性质得到，再由即可得到平面从而得证； （3）求出的面积，然后利用锥体的等体积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 17. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证，平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小 【答案】（1）因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 因为，为中点，则， 且，平面，所以平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，则， 又因为底面是正方形，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以平面平面. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可证平面，即可得，根据三线合一可得，即可得线面垂直； （2）根据题意可得，，可得平面，即可得面面垂直； （3）分析可知直线与平面所成角为，结合题意运算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为平面，平面，则， 可知直线与平面所成角为， 由题意可知：，， 则，可得， 所以直线与平面所成角的大小为. 18. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式及前n项和； （2）求数列的前20项和. 【答案】（1）， （2）106 【解析】 【分析】（1）由题设可得等差数列的首项和公差，据此可得答案； （2）由题可得数列是递增数列，当时，；当时，；当时，，从而，据此可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 设等差数列的公差为d，则， 从而，故， . 【小问2详解】 因为公差，所以数列是递增数列，令，解得， 所以当时，；当时，；当时，， 由（1）知，， 所以， 因为，所以. 19. 已知数列的各项为正数，其前项和满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）=；（3）. 【解析】 【详解】（1）当时，. 当时，，化简得， 所以. （2）由（1）知，. 则， 所以 . （3） ， ∴单调递增， ∴. ∵， ∴， 要使得恒成立，则只需，解之得. ∴实数的取值范围是. 【思路点拨】（1）由前项和满足，可以再写一项作差，即 ，整理得到通项. （2）由（1）知，.则，裂项求和即可； （3）由第二问得到=，将该式子作差和零比，即 ，研究该式子的单调性，求最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期月考考试 高二年级数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 已知复数满足（为虚数单位），则（     ） A. B. C. D. 2. 下表记录了某地区一年之内的月平均降水量． 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月平均降水量/cm 5.8 4.8 5.3 4.6 5.6 5.6 5.1 7.1 5.6 5.3 6.4 6.6 则的分位数为（ ） A. 5.1 B. 5.2 C. 5.3 D. 5.6 3. 已知向量，满足，，．则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若，则的值是（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥中，若平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，，则数列的前2026项和为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 二、多选题 9. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，且，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则总体中个体被抽到的概率为0.03 B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（ ） A. 若P为BC的中点，则PE∥平面 B. 过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 C. 若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为 D. 若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 在长方体中，，则异面直线和所成角的大小是___________． 13. 已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是__________． 14. 如图，正方体的棱长为4，N为的中点，若过的平面平面，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______． 四、解答题 15. 已知的内角所对的边分别为． （1）求； （2）设，求的面积． 16. 如图，在直三棱柱中，D，E分别为的中点， （1）求证:平面; （2）求证:; （3）若，求三棱锥的体积． 17. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证，平面平面； （3）求直线与平面所成角的大小 18. 已知等差数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式及前n项和； （2）求数列的前20项和. 19. 已知数列的各项为正数，其前项和满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）在（2）条件下，若对一切恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $