河南湘豫名校2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

姓 名 准考证号 绝密★启用前 10月高二数学（人教A版） 注意事项： 1.本试卷共6页。时间120分钟，满分150分。答题前，考生先将自已的姓名、准考证 号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然 后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案 写在答题卡上对应的答题区域内。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 伙道大是（位一S因.A 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 游久.攻安具)八亚与 1.样本数据2,4,5,11,13的平均数是 A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知直线1经过点A(0,1),B(-√3,2)两点，则直线l的倾斜角为 A晋 B 2x c号 D晋 3.已知平面向量a=(2,1),b=(1,m),若a⊥(a-b),则m= A.-1 B.1 C.2 D.3 4.已知直线4：ax十y十3=0,2：(b-2)x十3y十3=0，若4与l2关于直线x- y=0对称，则 Aa=-3,b=1B.a=3,b=3 C.a=3,b=-1 D.a=3,b=-3 数学试题（人教A版）第1页（共6页） 5.已知圆锥SO,O为底面圆圆心，AB是底面圆直径，且SA=2,点A沿圆锥侧 面到点B的最短距离为2√2，则圆锥的体积为 A晋 B 3 C.3r 3 D.√3π 6.如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面 ABCD是边长为2的正方形，PA=2,点E在PC上，且 P克=2E武，则点E到平面PBD的距离为 E A23 B® ⊙ 9 9 C.1 D.√5 7.已知sin(2a-)十2 sinn=2 s,a≠+年，k∈Z,且B是第-象 限角，则tan(2a一)的最大值为 A R C.3 D.23 8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x<0时，f(x)=e一e, 设a=f1og2),6=f(1og时0.2)，c=f(3)°)，则a,b,c的大小关系为 A.a<c<6 B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分. 9,设则 A.z=1-2i B.z=1-2i C.1z2|=5 D柒为纯虚数 数学试题（人教A版）第2页（共6页） 10.已知函数f(x)=sin(2x十p)(0<p<π)，将f(x)的图象向左平移石个单位 长度后，得到的函数图象关于直线x=无对称，则 Ap-晋 B.f(z)的图象关于点(，0)对称 C.f(x)在区间一平，军上单调递增 D.方程f(x)=2在区间[0，]上恰有2个不同的实数根 11.已知圆C:(x一2)2+(y十1)2=4，直线1：y=kx一2，动点P在圆C上，点 A(2,3),则下列说法正确的是 A.若直线1与圆C相切，则=一 4 B.直线1恒过的定点在圆C外 C.存在k,使直线l交圆C于点M,N,且AM·AN=0 D.|PA|+2PO(O为坐标原点)的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知A,B互为对立事件，P(A)=0.2,则P(B)= 13.过点P(4,2)作圆C:x2+(y一2)2=4的两条切线，切点分别为M,N,则直 线MN的方程为 14.如图，△HJL与△GIK都是边长为3的等边三 角形，A,B,C,D,E,F分别是各边上的三等分 点，沿AB,BC,CD,DE,EF,FA分别将△GAB, △HBC,△ICD,△JDE,△KEF,△LAF折起， 使得点G,H,I,J,K,L共面，依次连接各点且满 足GH=HI=IJ=JK=KL=LG=1,由此得 到一个多面体，则该多面体的高为 ,该多面体的外接球的表面积 为 数学试题（人教A版）第3页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.(本小题满分13分) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线1过点A(1,2),且与两坐标轴交于不 同的两点M,N. (1)若直线1的斜率小于0，求△OMN的面积的最小值以及此时对应的直 线l的方程； (2)若直线1被圆x2十y2=4截得的弦长为23，求直线1的方程. 16.（本小题满分15分) 已知函数f)+云 (1)判断函数f(x)的奇偶性并证明； (2)解不等式f(2m2一1)+f(m-2)<0. 数学试题（人教A版）第4页（共6页） 17.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足csin2A十2 asin Acos C= 2√3 acos E. (1)求角B的大小； (2)若△ABC的周长为18，其外接圆的半径为？ 3 ,求△ABC的面积 18.（本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2,∠ABC=120°，AA1=4, D是棱A1C1的中点，M是棱BB1(不含端点)上一点 (1)证明：BD⊥AC; (2)若M是BB1的中点，求平面ADM与平面CDM夹角的余弦值； (3)若三棱锥M-ABC的内切球的半径为号，求BM的长。 C B B 数学试题（人教A版）第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2一2ax十2a一1(a∈R),记函数g(x)=|f(x)l. (1)当a=2时，求函数g(x)在[0,4]上的最大值和最小值； (2)若不等式g(x)≤2a对任意x∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围； (3)若关于x的方程g(x)=1在[0,3]上恰有三个不同的实数根，求实数a 的取值范围 数学试题（人教A版）第6页（共6页）26.10高二数学（人教A版)评分细则（补充部分） 说明：如无补充的题目按参考答案给分 第17题： 第(1)(2)问补充其他解法： 7.补克 )由esinA+asnAcosC:忑aos3, 得c5mA-明+asAs(5a0oB 由射3里：bc5A十acsC, 得b月桃B 由已程得in B sinA贩m明唱 Ae(,2),sinA70. 司得53~g,即B邓 oB以，八B=7 71 (E 显2识，bpaB:x要✉7.·· ?ab8,六att187W.·、、一 由年2好：0礼，btlaccosB (ayy1ac→b+aL 六3au(a*jb7'm is aiivp. 、、、13 4:柴=65…s 第1页共3页 第18题： 第(1)(2)问补充其他解法： 充T8 0ò=(-1,0,4)，=(o,2D,) )Bò，e:1心+2奶+480 （Bd12即6D上4C 建系2.弟w化-桥另 2)及6长Dw.过A2A州1bH 由为度坐8ADWJ9,Am2E,DM=厅 以 记AMD=0oAwD中电R里 3+5-49 承年o22n-习 小语 2列州2：景 DM 雅可和CH1DM.又AH,cH为uh内隔杂极范呀 DH上年AcH庄DHMN品CDM <AmP白w球，z2A o4c中湿ow1是1分司 丙咖w方军cw0a的动T. 25 第2页共3页 第19题： 第(2)（3)问补充其他解法： 1.补充新 2)当x[,]时 乐x刘≤2a 叫a20. 聊-2≤X-2ax+2Q1≤2A 一4 今盛危 {2a≥-大 ，Yeo,2小…0 ..-5 M≥5装，366y0 -元取最大顶圣a之27 3 3对行0戈、当为=2附。 对9式.令t2x, 例x:2t.且t6o, 小：-t+急》+4≤4-哪当且当形. -9 、a≥2-5 由0.©恒成王.的a2产 xe[o且种 )园2，泌方怯、多变子多上a=无 2： -12 个t1x.风列-t且te2,中°. 可诗24你：-t+子实2a2:-t+),t小，0.-4 的=引伦有三不问沉宾数极 令2<2a-2≤多 一.一16 4诗<a是.-7 第3页共3页 10月高二数学参考答案（人教A版） 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C A D B A D ACD BD ABD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， L.C【试题立意】本题考查样本的数字特征，重点考查数学运算、数据分析等学科核心素养. 【解析】因为2十4+5+11+13=7，所以样本教据的平均数为7，故选C 5 2.A【试题立意】本题考查直线的倾斜角，考查数学运算、直观想象等学科核心素养 【解析】由题可得直线1的斜率6-2-号，所以直线1的领针角为票故造A -3 3.D【试题立意】本题考查平面向量的运算，考查逻辑推理、数学运算等学科核心素养. 【解析】a-b=(1,1一m),因为a⊥(a一b),所以a·(a-b)=0,即2+1一m=0,解得m=3.故选D 4,B【试题立意】本题考查直线与直线的位置关系以及直线的对称问题，考查直观想象和数学运算等学科核心 素养 【解析】直线：a.x十y十3=0关于直线x一y=0对称的直线方程为x十ay十3=0.依题意得a=3,b-2=1, 所以a=3,b=3.故选B. 5.C【试题立意】本题考查空间几何体的结构，具体考查圆锥的侧面B'(B) 展开图以及体积计算，重点考查空间想象能力、运算求解能力、推理 A'(A) 论证能力以及数形结合思想，考查了逻辑推理、数学运算和直观想 象等学科核心素养. 【解析】如图，将圆锥的侧面沿母线SB展开，因为点A沿圆锥侧面到 点B的最短距离为22，又SA=SB=2,所以∠A'SB=交.所以圆 锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为元.设圆锥底面圆半径为r,则 2xr=2π，所以r=1,所以圆锥的高h=SO=√SB一严=√5，所以圆 维S0的体积为V=吾×1X厅=4，故选C 6.B【试题立意】本题考查空间向量的坐标运算以及点到平面的距离，重点考查空间想象、推理分析能力，考查 直观想象、数学运算等学科核心素养. 【解析】如图，以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、之 轴，建立空间直角坐标系，则P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0), 所以Bd=(-2,2,0),=(-2,0,2).设E(x,y,z),平面PBD的法向量为 n=(a,b,c),则 ·=0所以厂a+0 令a=1,得n=(1,1,1).又 n…Bd=0,-2a+2c=0. 数学参考答案（人教A版）第1页（共8页） P范=2武，所以(，y,之-2)=(4-2x,4-2y,-2),解得x=4 寺=号即（告号）则P (告，专，-专)，所以点E到平面PBD的距离为n座 1x告+1x+1x(-) 4 .故 √/1+1+1 9 选B. 7.A【试题立意】本题考查三角恒等变换以及基本不等式，重点考查运算求解、数据分析、推理分析能力，考查 数学运算、数据分析和逻辑推理等学科核心素养. 【解析】由sin(2a-B)+2 sin2asin B=2cos2 asin B,得sin(2a-)=2(cos2a-sina)sinB,即sin2 acos B= 3cos2 asin因为a≠经+平，k∈乙，且日是第一象限角，所以tan2a=3tamB,且tanD0.所以tan(2a)= tan 2a-tan B 2tan B 2 四9m8条双2安m有欧 选A. 8.D【试题立意】本题考查函数的性质以及指数、对数运算，重点考查学生推理分析、运算求解能力，考查函数 与方程思想、建模意识，考查数学建模、逻辑推理和数学运算等学科核心素养. 【解析】当x<0时，f(x)=e一er,易得f(x)在（一∞，0）上单调递增.又f(x)是定义在R上的偶函数，所以 f(x)在(0，十∞)上单调递减.由题知a=f(1og7）=f-lbg2)=f(log2),b=f(og0.2)=f(l0g5).又 1og5>l0g3=1,0<1og2<1og3=1,(号）<（号）°-1，所以1og5最大，即6最小因为2<32，所以 1g2<og3,即1g2<号周为[(3)门”=子，（号）”<（号）'=<子，所以[(3）门> (号)”>log2n,即(3）>log2.综上可知，log5>(）>bg2,所以6<a.故选D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.ACD【试题立意】本题考查复数的四则运算，重点考查运算求解能力，考查了数学运算等学科核心素养. 【解折]时于A:=-经没品-1B-1一东A正痛：对千B=1十么B特送：对于C 13 1E到=：P=5,C正确：对于D-片-i为纯虚数，D正确故选AD 10.BD【试题立意】本题考查三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质，重点考查了数据分析、逻辑推 理和数学运算等学科核心素养 【解析】函数f代)的图象向左平移否个单位长度后，得到的图象对应的函数设为g()=sim(2x十苓十9.由 g)的图象关于直线x=对称，得++9=km十受，k∈Z,即9一km一，k∈Z.因为0<g<,所以9 等A错说.f)=sim(2x+）,令2x十-，kCZ:得-经-吾k∈乙.当=1时，)的图象关于 数学参考答案（人教A版）第2页（共8页） 点（悟，0）对称，B正确.令2x-受<2x十≤26x+晋kE乙，解得红登≤<k红竞k∈乙，所以） 在[-子，无]上并非整体单调递增，C错误.令f)=号，即sm(2x+）=司，则2x+牙=2x+吾或 2x+红=2kx十要，k∈Z,解得x=k如一吾或x=kx十否，k∈Z当0<≤元时x取受，3平，方程恰有2个不 3 同的实数根，D正确.故选BD, 11.ABD【试题立意】本题考查直线与圆的位置关系以及隐形圆，考查函数与方程思想，考查逻辑推理和数学 运算等学科核心素养， 【解析】对于A,由题知圆C的圆心为(2，一1)，半径为2.若直线1与圆C相切，则21=2，解得 √+1 是A正确对于B,由y=r一2，得y十2=(x十0.所以直线1恒过定点(0，一2)，且(0-2十 |y=kx-2, (一2+1)2=5>4，所以定点在圆C外，B正确.对于C,联立 消去y,得(k2+1)x2一 1(x-2)2+(y+1)2=4, (2k+4)x+1=0.所以△=(2k+42-4(+1D>0,解得>-是.设直线1与圆C的交点为M(y), N别十特由立.=0，得a一2)(g-2)十(0-3》(0-3) (m-2)(m-2)+(km-5)(k2-5)=(k+1).mn-(2+56(m+)+29=30-2+526+型=0， k2+1 即10k2-12k+11=0.因为△2=144一4400，所以满足条件的k不存在，C错误.对于D,取B(2,0),设点 P(x,y),且|PA=2PB1,则W√(x-2)2+(y-3)=2/(x-2)2+y,整理得(x-2)2+(y+1)2=4,所以 1PA+2|PO引=2|PB|+21PO≥2|OB=4,当且仅当O,P,B在一条直线上，且P(2-√3,0)时，等号成 立，所以|PA十2PO的最小值为4，D正确.故选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0.8【试题立意】本题考查事件的概率关系，重点考查对立事件的概率公式，考查运算求解、数据分析能力， 考查数学运算、数据分析等学科核心素养 【解析】因为A,B互为对立事件，且P(A)=0.2,所以P(B)=1一P(A)=0.8. 13.x=1【试题立意】本题考查直线与圆的位置关系，重点考查圆的切线和相交弦问题，考查直观想象、数学运 算、逻辑推理等学科核心素养. 【解析】方法一：由题知圆C的圆心为C(0,2),半径为2，又P(4,2),则|CP|=4.易知点M,N关于直线CP 对称，且直线MN垂直于x轴，所以|PM=1PN=-2=2B,1MN=2X2=5,所以 M=xv=V√22-(W3)2=1,即直线MN的方程为x=1. 方法二：由题知圆心C(0,2),以CP为直径的圆的方程为(x一2)2十(y一2)2=4，又已知圆C的方程为x2十 (y一2)2=4，两圆方程相减得x=1,所以直线MN的方程为x=1. 14.√/W5-1(2分)》 (3+√5)x(3分) 【试题立意】本题以平面图形翻折问题为背景，考查多面体的结构特征、外接球问题，考查直观想象和数学运 算等学科核心素养. 数学参考答案（人教A版）第3页（共8页） 【解析】如图1，该多面体是上、下底面互相平行且边长为1的正六边形，侧面是12个边长为1的等边三角 形.设上、下底面的中心分别为O1,O,M是GH的中点，连接BM,MO,O1O,OB,易知四边形BMOO是直 角梯彩.知图2，BM=MO,=,BO=1,过点M作MN⊥BO,垂足为N,则OO=MN= ()-(1-)=√厅.设该多面你的外接球球心为Q,则球心Q是0,0的中点，连接BQ则 BQ为孩多面体的外换球的半径，于是半径R=B0V√B0+宁O,0=√P+厅-D=中迈，所 2 以外接球的表面积为4πR=(3十√3)元. K 0 M 0. 分 B B 图1 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【试题立意】本题考查直线方程以及直线与圆的位置关系问题，考查数形结合、推理分析以及数学运算能力， 考查直观想象和数学运算等学科核心素养 【解析】(1)方法一：依题意，设直线l的方程为y一2=k(x一1)(k<0).…1分 令y=0,解得x=1-是合=0，解得y=2-6。 不坊令M(1-是，0）N(0,2-k,…2分 则Saox=210M·ON=号(1-是)(2-)=号(4-专-k)k<0. …3分 因为k<0,所以4-冬-6>4+2√(-专)-)=8，当且仅当k=-2时，等号成立.…4分 所以△OMN的面积的最小值为4，此时直线l的方程为2x十y一4=0.…6分 方法二：由题直线l过点A(1,2),且斜率小于0，得直线l与两坐标轴的正半轴交于M,N两点. 设直线1的方程为后+片-1a>0,6>0, 1分 又直线1过点A(1,2),所以1十2=1(a>0,60. a十b 所以b十2a=ab≥2/2ab,解得ab8,当且仅当b=2a,即a=2,b=4时，等号成立.…4分 所以Sa=子ab≥4，即△OMN的面积的最小值为4. 数学参考答案（人教A版）第4页（共8页） 此时直线1的方程为受十￥=1，即2x十y-4=0, …6分 (2)由题知圆的圆心为(0,0)，半径为2. 依题意，圆心到直线1的距离d=/2-(√)2=1. 8分 由题意设直线l的斜率为k,由y2=k(x一1)，得kx一y十2一k=0.…9分 所以2是=1，解得=子 …1们分 √2+1 所以直线1的方程为3x一4y十5=0. ………… 13分 16.【试题立意】本题考查函数的奇偶性、单调性以及含参不等式求解，培养函数与方程思想，考查逻辑推理和数 学运算等学科核心素养 【解析】(1)函数f(x)为奇函数，证明如下： 函数f(x)的定义域为R, …1分 又-0+)多号+（一+号+--++=0…5分 即f(一x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.…6分 (②令)多下西证明g在(-0，十四)止单调道增： V西∈R,且<，则g()-g(m)=332-1 2(35-32) 3+132+1(31+1)(32+1) 因为x1<x2,所以3<32,3-32<0. 又(31+1)(32+1)>0，所以g(x1)-g(x2)0,即g(x)<g(2). 所以g(x)在（一∞，十∞）上单调递增. 又y=x3在（一∞，十∞）上单调递增， 所以f(x)在（一∞，十∞）上单调递增. 9分 (∫(x)的单调性用其他形式作出说明也可得3分，不作任何说明则扣3分.) 由(1)知f(2m2-1)+f(m-2)<0→f(2m2-1)<-f(m-2)=f(2-m),…10分 所以2m2-1<2-m,即2m2+m-3<0,解得-号<m<1. 故原不等式的解条为m-多<m<1。 …15分 17.【试题立意】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角恒等变换，利用正弦定理、余弦定理求三角形的 面积，考查逻辑推理、数学运算等学科核心素养. 【解析】(1)由csin2A+2 asin Acos C=2/3 acos B, 得csin Acos A十asin Acos C-=√3 acos E. 1分 由正弦定理，得sinA(sin Ccos A十cos Csin A)=√5 sin Acos B.…3分 sin Ccos A+cos Csin A=sin(A++C)=sin B, 数学参考答案（人教A版）第5页（共8页） 且sinA>0,所以sinB=√3cosB,即tanB=√/3.…5分 又0B<π，所以B写，…7 (2y由正孩定理，知b=2 Rsin B=2×25×5=7.(R为△ABC外接国的半径)9分 3 又a十b+c=18,所以a十c=11.… …10分 由余弦定理，得62=a2+c2-2 ac cos B,即62=(a十c)2-3ac→49=121-3a(→ac=24.…13分 故5a=7 sin B=-子×24×9=6/5. ……15分 18.【试题立意】本题以三棱柱为背景，考查线线垂直的判定，具体考查线 线垂直、平面与平面夹角的计算，考查逻辑推理、直观想象、数学运算 D 等学科核心素养」 【解析】(1)如图，取AC的中点E,连接BE,DE. 因为AB=BC,E是AC的中，点，所以BE⊥AC.…2分 M 因为几何体ABC一ABC是直三棱柱，所以四边形ACCA是矩形. 又D是棱AC的中点，所以DE⊥AC.…3分 又BE∩DE=E,BEC平面BDE,DEC平面BDE,所以AC⊥平面BDE. 又BDC平面BDE,所以BD⊥AC.…5分 基X (2)以E为原，点，EB,EC,ED所在直线分别为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系. 若M是BB1的中，点，则A(0,一√3,0)，B(1,0,0),C(0,W3,0),D(0,0,4),M(1,0,2), 所以Md=(-1,0,2),AD=(0,√5,4)，D=(0,-√5,4) …7分 设平面ADM的法向量为m=(,y,之1)，平面CDM的法向量为n=(x2,y2,2). m·Md=0,-+2∞=0， 由 得 m.Ad=0,5y+4=0. 令1=√5，得1=23，y1=-4. 所以平面ADM的一个法向量为m=(25,一4，W5), 同理可求得平面CDM的一个法向量为n=(25,4,√5)，…10分 所以刘osma=-品 所以平面ADM与平面CDM夹角的余弦值为 …12分 8)设BM=h0i<),则V:rr=号×号X2×2X9Xh-号， 3 3 …13分 三棱锥M-ABC的表面积为S表=2h十√3十√3·√+1. …14分 利月体积相学关系有日·S·=VWr,即2+5十厅。V可=动，…15分 解得h=√5，所以BM=√. …17分 数学参考答案（人教A版）第6页（共8页） 19.【试题立意】本题以二次函数为背景，考查函数的最值、不等式恒成立与函数的零点问题，考查转化与化归思 想、函数与方程思想，考查推理分析和数学运算能力，考查逻辑推理和数学运算等学科核心素养 【解析】(1)当a=2时，f(x)=x2-4x十3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3),x<1或x>3, 所以g(x)=|(x-1)(x-3)|=< -(x-1)(x-3),1≤x3. 易得g(x)在[0,1)上单调递减，在[1,2)上单调递增，在[2,3]上单调递减，在(3,4]上单调递增. 因为g(2)=1,g(1)=g(3)=0,g(0)=g(4)=3, 所以g(x)在x=1或x=3时，取得最小值0：在x=0或x=4时，取得最大值3. 故g(x)在[0,4]上的最大值为3，最小值为0.…3分 (2)因为g(x)=|f(x)|≥0，所以a≥0. 由g(x)≤2a对任意x∈[0,2]恒成立，得-2a≤f(x)≤2a.…4分 先考虑f(x)≤2a,即x2-2a.x-1≤0，x∈[0,2]， x2-2a.x-1≤0台2a.x≥x2-1, 当x=0时，不等式恒成立； 当xe(0,2]时，2ax-1,即2a>(z-）-号， 所以≥是。 6分 再考虑f(x)≥-2a,即x2-2a.x+4a-1≥0， 令q(x)=x2一2ax+4a一1，此抛物线开口向上，所以只需q(x)在[0,2]上的最小值非负即可. 易得q(x)的图象的对称轴为直线x=a, 当0a2时， 最小值g(a)=一a2+4a-1≥0，即a2-4a十1≤0，解得2-√3≤a≤2+√3. 结合0≤a≤2，得2-√3≤a≤2.… …8分 当a>2时，g(x)在[0,2]上单调递减，所以q(x)在[0,2]上的最小值q(2)=3≥0恒成立， 所以≥2√5.…9分 综上所速，实教a的取值范国为[是，十∞）。 …10分 (3)方法-：fx)=z2-2a.x+2a-1=(x-a)2-(a-1)2. 由g()=1在[0,3]上恰有3个不同的实数根，得f(x)=土1在[0,3]上恰有3个不同的实数根.…11分 f(x)的图象的对称轴为直线x=a,当a≤0或a≥3时，f(x)在[0,3]上单调，方程不可能有3个不同的实数根. 所以0a<3,f(x）mn=f(a)=-(a-1)2.…12分 ①若f(x)=一1恰有1个实数根，则f(x)=1恰有两个实数根， 则-(a-1)2=-1,解得a=2或a=0(舍去)，此时f(x)=x2-4x十3. 数学参考答案（人教A版）第7页（共8页） 经检验，令f(x)=1,解得x=2-√2或x=2十√2（舍去），不符合题意.…14分 ②若f(x)=1恰有1个实数根，则f(x)=一1恰有两个实数根， 则-(a-1)2<-1,解得a>2或a<0(舍去)，此时f(0)=2a-1>3>1. 只需f3)=8-4a-1且f3)=8-4a<1成立，解得子<a≤是. 9 …16分 综上所速，实数a的取值范国为(2，是] …17分 方法二：f(x)=x2-2ax+2a-1=(x-a)2-a2+2a-1=(x-a)2-(a-1)2. 令t=x-a,c=(a-1)2,由x∈[0,3]，得x-a∈[-a,3-a]. 则f(x)=(xa)2-(a-1)2=t2-c, 所以方程g(x)=1,即2-c=1,可得2=c十1或2=c-1..…12分 下面对c的取值进行分类讨论： 若c<1,即0<a<2,则t2=c-1<0无解， 只有2=c十1的两个根，不可能有三个根 13分 若c=1,即a=0或a=2,此时方程|t2一c=1的根为t=0或t=士√2. 当a=0时，t∈[0,3]，只含0或√2，仅有两个根： 当a=2时，t∈[-2,1]，只含0或一√2，仅有两个根，均不合题意. 若c>1,即a<0或a>2,四个根为-√c+I,-√-I,√-I,√c+I, 且大小关系为-+1<-√-1<0<-1<+1，区间I=[-a,3-a].…14分 当Q<0时，区间全为正，负根不存在，此时最多两个正根，不可能有三个根： 当a>2时，区间左端点一a0,右端3一a可能为正也可能为负，可验证： 对于任意a>2,两个负根一√+I和一/-I都落在区间I内， 因此方程已有两个根，欲使根的总数为三个，当且仅当恰好有一个正根在区间内，正根为√c一I,√+工，且 Vc-1<vc+1, 所以需满足√一I≤3-Q<√C十I.… …15分 同时由于正根要存在，需要3-a≥0，即a≤3.又a>2,所以2<a≤3. 代入c=(a-1)2,得a(a-2)≤3-a<Ja-2a+2, 左边不等式：a(a-2)≤(3-a)2白a2-2a≤a2-6a+9; 右边不等式：3-a<√/a2-2a十2白9-6a十a2<a2-2a+2. 结合2<a<3,知2<a≤是 当a=号时，=3-a,正根恰在区间右端点，此时依然符合“拾有三个根”， 所以实数a的取值范国为(2，是] …17分 数学参考答案（人教A版）第8页（共8页）