河南省焦作市武陟县第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级十月份月考数学试卷 一、单选 1.B 2.A 3.B 4.D 5.D 6.C 7.D 8.A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.AC 10.ABD 11.ACD 三、填空题 1 12.2/-0.5 【详解】因为点C在平面PAB内，所以PA,PB,PC共面，且PA,PB不共线， 根据共面向量定理，存在实数七，y∈R,使得PC=xPA+yPB 将各向量坐标代入， 得(k,13)=x(1,2,0)+y(0,2,3)=(x,2x+2y,3y) 根据向量相等，对应坐标相等， 1 X=- 2 k=x y=1 2x+2y=1 得(3y-3 ,解得( 2 13.-2.5 14. √5+2 【解析】设底面的中心为O,则SO⊥面ABCD∴.SO⊥AC, 由正方形ABCD得AC⊥BD,SO∩BD=O:AC⊥面SBD, 取SC,CD的中点为G,F,易得面SBD∥面GEF,所以AC⊥面GEF,因此动点P的轨迹 为△GEF, 因为S0=1, BD-2B0SB-GE-OF- 2,EF=V2,因此动 点P的轨迹的周长为V3+V2】 D 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3 15.1的方程可化为’=4x+3 ,.1的斜率为4. 3 (1)1与l平行，.1'的斜率为4. 又1过点(1,3列 由点斜式知方程为 -3 ,即3x+4y-9=0 4 4 (2)1'与1垂直，1'的斜率为3，又1'过点(3)， 由点斜式可得方程 y-3=3+ ,即 4x-3y+13=0 16.1)证明：因为1：3x+4y-19+元(2x+y-6)=0 3x+4y-19=0 x=1 由(2x+y-6=0 解得D少=4则定点M的坐标为(，4)】 (2)因为直线在两坐标轴上的截距相等， 1s、19 当直线过原点时，-19-61=0，则6，此时直线1的方程为4x-y=0: 当直线不过原点时，直线方程化为(3+2)x+(4+)y-19-62=0 则3+2元=4+元，解得元=1，所求直线方程为x+y-5=0 综上，直线方程为4x-y=0或x+y-5=0」 x+y=1 (3)设4(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程可设为a6 又点线点M化)，则石+方 M4wg=@=0-a4(1-4)=a+46-17=-a+4o日君-17 4b,4a ≥2 4b 4a a b ≥8 Va b 当且仅当a=b=5时等号成立，此时直线I的方程为x+y-5=0. 17.(1)取PA的中点为E,连接EB,EN, EN=1AD 又N为PD的中点，则ENIAD且2 又正方形ABCD中，M为BC的中点，则BM∥AD且 B BM=1 所以ENIIBM且EN=BM,所以四边形ENMB为平行四边形， 故BEMN,又因为BEc平面PAB,MN￠平面PAB, 所以MN∥平面PAB: (2)取AB的中点为O,CD的中点为F,连接OF,OP, 因为PA=PB=V5,所以PO LAB, 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,POC平面PAB, 所以PO⊥平面ABCD,又OFC平面ABCD,所以PO⊥OF, 又四边形ABCD为正方形，所以OF⊥AB 以O为坐标原点，OB,OF,OP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， Av: O 因为PA=PB=V5,AB=2,所以 P=VPB2-o8=5}-1P=2 -20),M(.1.0)(o.0.2) 所覆-(210，-（2 DM=(2,-1,0) 设平面4MN的法向量为m=(:,,乙)】 m·AM=2x+y=0 则( m=-3 +名=0 令=2，得为=-4，名=3， 所以平面4MN的一个法向量为m=(2,-4,3)】 设平面DMN的法向量为i=(3,片，23)】 i·DM=2x2-y2=0 3 im=-2+3,=0 令=2，得=4，=3， 所以平面DMN的一个法向量为i=(24,3)】 cos(m.n- m 4-16+9 3 所以 m州元V4+16+9×4+16+929 8v13 设二面角A-MN-D的大小为0，则 n-vI-cos(m. 29. 813 所以二面角A-MN-D的正弦值为29· 18.(1)连接OB,OD,EF,因为DA=DC,所以OD⊥AC, 又因为平面ADC⊥平面ABC,平面ADC∩平面ABC=AC,ODC平面ADC,所以OD⊥平面 ABC, OA,OBC平面ABC,所以OD⊥OA,OD⊥OB,又因为BA=BC,OB⊥AC. 所以建立如图所示空间直角坐标系， 所以A(2,00）,D(0,0,2),C(-20,0）.B(02,0).E1,01).F(-11,0) 01=(2,0,0),0正=(1,0,1)，0F=(11,0),设平面0F的法向量为m=(化y2), OE.m=x+z=0 则有OF.m=-x+y=0,令x=1,则m=(,山，-)， 01m_2-25 所以点A到平面EOF的距离为 m3 3 又因为ABIIOF,AB￠平面EOF,OFC平面EOF,所以AB∥平面EOF,所以直线AB到平面 2V5 EOF的距离为3· (2)设存在点E,且DE=1DA,0≤1≤1，DA=(2,0,-2) 因为0正E=0D+ADA=(21,02-2) 0E·m=22x+(2-22)3=0 设平面E0F的法向量为m=(:,,),则有0F·m=-X+y=0 ,令x=九-1，则 m=（2-1,2-1,2) 又因为OD1平面4BC,所以平面ABC的一个法向量为OD=(0,02), cos( m.OD 2λ 1 所以 mo 2√2-1)+元 ,即322+21-1=0， 1 DE 1 入= 解得3或九=-1（舍），所以存在，且EA2 19.(1)在矩形ABCD中，连接BD与AC相交于点G, B 则GA=GB=GC=GD,在翻折后点G为AC中点，还是有GA=GB=GC=GD', 散被锋D-ABC分起站为G,卡含号4G-aBF6C下-1 所以外接球表面积S=42=4元. 1 1 Vo-woeSgoeh Vo-ae-3ach Vp-BoC= BOC (2)由题可 ,所以'，4cSc, 因为OA+20B+30C=0,则Soc:S4oc:S4oB=1:2:3, 因为SABc=Sg0c+SA0c+S4oB, SInC Saoc+Soc+SomSROCSAOC+SAOB=1+2+3=6 故Soc SBOC SBocSBocSBoc Yp-woc=Ssoc=1 所以'，-4 ABC SABC6 (3)过点D'作AC的垂线，与AC相交于点H,在平面ABC上，过点H做AC的垂线，与AB相交于 点M; D H M B 则二面角D'-AC-B为∠D'HM, 显然△AD'C∽△AHD',△ABC∽△AHM, AH D'H AD'AH MH AM 所以有AD'CD'AC,AB CB AC, 由题可知AB=CD'=V5,BC=AD=1,AC=2, AH-1 DH-5MH- 故 2 2 6 3， COS∠BAD'= DAF +AMF-IDME235IDMF 由余弦定理可知 2D'A AM 32 COS∠BAD'= DAF ABF-ID'BF2DBF 2D'A AB 36 所以 Du-oop os∠D'HM= HP+HM-D'M52D'MP 在△D'HM中，利用余弦定理得 2D'H HM DM-3 [V万0 又因为 DBBD的取值范围是L2,2】 所以有 www-}2pf-08,誓so8. 3 ≤cos∠D'HMs} 得 ≤∠D'HM 因为0≤∠D'HM≤π，所以3 2, 元π 即二面角D'-AC-B的取值范围是3'2]， 高二年级十月份月考数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知，，点在直线上，且．设，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在四面体中，是棱上靠近点的三等分点，，分别是，的中点．设，，，用，，表示，则（ ） A． B． C． D． 5．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点，点在平面内，且，，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．已知为坐标原点，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7.．设，是轴上的两点，点的横坐标为，且，若直线的方程为，则直线的方程是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知空间向量，，，则（ ） A． B．向量，，不是共面向量 C． D． 10．已知四边形为空间四边形，点，，分别在边，，上，且满足 ，点满足，则下列选项正确的是（ ） A． B．若，则点，，，四点共面 C．点，，，可能共线 D．，则 11．如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．当为中点时，直线平面 B．当为中点时，直线与所成的角为 C．若是棱上的动点，且，则平面平面 D．当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为 三、填空题 12．在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为            ． 13．已知点，，直线方程，若直线以向量为法向量，且点在直线上，则的值为            ． 14．已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，是的中点，动点在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为            ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知直线的方程为，求满足下列条件的直线的方程： （1）过点，且与平行； （2）过点，且与垂直． 16．设直线． （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）设直线与轴、轴的正半轴交于点，，求当（点为（1）中的定点）取得最小值时直线的方程． 17．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，点，分别为， 的中点． （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求二面角的正弦值． 18．如图，把边长为的正方形纸片沿对角线折成直二面角，是的中点， 是原正方形的中心，动点在线段（包含端点，）上． （1）若为的中点，求直线到平面的距离； （2）在线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在， 求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体． （1）求三棱锥外接球的表面积； （2）若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； （3）若的取值范围是，求二面角的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $