第二章《一元二次方程》期中考点总结与练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 4｜因式分解法与解法选择——降次依据、分解路径、选择次序 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 4—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·因式分解·提公因式·公式法分解·解法选择·降次思想 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、中考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 4 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线因式分解法——右边化 0、左边分解为两个一次因式的积，令各因式为 0 得根，核心在移项与分解；二线解法选择——先观察结构：能直接开平方的优先，能因式分解的次优先，一般式用公式法，配方法用于二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的情形；三线易错与降次——两边同除含未知数的式子漏根、未移项就令因式为 0、高次方程通过因式分解逐次降次——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 4 保持一致） 考点范围：因式分解法解一元二次方程（右边化 0，左边通过提公因式、平方差公式、完全平方公式分解为两个一次因式的积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解之即得原方程的根）、解法选择（观察方程结构决定最优解法：左边是完全平方式或右边为非负常数→直接开平方法；左边易分解为整系数因式→因式分解法；二次项系数为 1 且一次项系数为偶数→配方法；一般式且不易分解→公式法）、易错警示（移项后才能分解；两边不能同除含未知数的式子；分解要彻底；高次方程可通过因式分解逐次降次求解）——与考点速览考点 4 一致。 一、因式分解法——降次思想的具体化 ◆ 理论依据：若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0。把一元二次方程右边化为 0，左边分解为两个一次因式的积，令每个因式为 0，得到两个一元一次方程，解这两个方程即得原方程的根。本质是把二次降为一次。 ◆ 操作三步：一移——把所有项移到左边，右边化为 0；二分——把左边分解为两个一次因式的积（提公因式、平方差公式、完全平方公式）；三解——令各因式分别为 0，解两个一元一次方程。 二、解法选择——先看结构再定方法 ◆ 四种解法的选择次序：①直接开平方法——形如 ＝n（n≥0）或左边已是完全平方式；②因式分解法——左边易分解为整系数一次因式（如 −5x＋6＝0→(x−2)(x−3)＝0）；③配方法——二次项系数为 1 且一次项系数为偶数，或题目明确要求配方；④公式法——一般式且不易分解的通用方法。选择原则：先特殊后一般，能分解就不套公式。 ◆ 典型错选：看到 ＝3x 就两边除以 x 得 x＝3——漏了 x＝0；看到 (x−1)(x−2)＝2 就直接令 x−1＝0 或 x−2＝0——右边不是 0 不能直接用；分解到 (−4)＝0 就停——还应继续分解为 (x＋2)(x−2)＝0。 三、提公因式法——移项后再提取 ◆ 提公因式要点：移项后观察左边是否有公因式（含单项式公因式与多项式公因式两种）。如 7x(5x＋2)＝6(5x＋2)，移项得 (5x＋2)(7x−6)＝0；如 x(x−2)＝x−2，移项得 (x−2)(x−1)＝0。注意：两边同除 (5x＋2) 会漏根 x＝−。 因式分解法·解法选择·降次思想速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 因式分解法 右边化 0，左边分解为两个一次因式的积；令各因式为 0 解一次方程 提公因式、公式法分解 未移项就分解、两边同除漏根 提公因式 移项后提取单项式或多项式公因式；注意整体思想 7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 型 两边同除含未知数的式子 公式法分解 平方差：−＝(a＋b)(a−b)；完全平方：±2ab＋＝(a±b −9＝0、−6x＋9＝0 分解不彻底 解法选择 直接开平方→因式分解→配方→公式法；先特殊后一般 选择最优解法 该分解却硬套公式 易错警示 移项后才能分解；两边不能同除含未知数的式子；分解到不能再分为止 ＝3x、(x−1)(x−2)＝2 漏根、错用因式 高次降次 右边化 0 后逐次因式分解，把高次降为低次 ＋−2x＝0 分解不彻底导致漏根 ◆ 多项式公因式：当公因式是多项式时，把它看成一个整体提取。如 (x＋1)(x−2)＝x＋1，移项得 (x＋1)(x−2−1)＝0，即 (x＋1)(x−3)＝0。提取后注意化简第二个因式。 四、公式法分解与降次——高次方程的处理 ◆ 系数含参先分类：讨论二次项系数为 0 与不为 0 两种情形——为 0 时方程是一次方程，按一次方程判断根；不为 0 时才是二次方程，算 判别式 对照条件取参数范围，最后把各情形的结果合并（如东营中考题 k≤－1 的合成）。 ◆ 平方差与完全平方：a−b＝(ax＋by)(ax−by) 在解方程中同样适用；a±2abx＋b＝(ax±by。如 −9＝0→(x＋3)(x−3)＝0；−6x＋9＝0→(x−3＝0。 ◆ 高次方程降次：一元三次或更高次方程，若右边为 0 且左边能因式分解，可逐次降次。如 ＋−2x＝0→x(＋x−2)＝0→x(x＋2)(x−1)＝0，得到三个一元一次方程。转化思想是把陌生的高次方程化为熟悉的一元二次或一次方程。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 因式分解法的核心是降次：把一元二次方程右边化为 0，左边分解为两个一次因式的积，令每个因式等于 0 得到两个一元一次方程——理论依据是“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”；操作关键是移项（右边必须为 0）与分解（提公因式、平方差、完全平方）； 解法选择是实战能力：拿到方程先观察结构——左边已是完全平方式或右边为非负常数→直接开平方法；左边易分解→因式分解法；二次项系数为 1 且一次项系数为偶数→配方法；一般式且不易分解→公式法。选择原则是先特殊后一般，能分解就不套公式； 易错点是区分度来源：两边同除含未知数的式子漏根（如 ＝3x 两边除以 x 漏 x＝0）、未移项到右边就令因式为 0（如 (x−1)(x−2)＝2 直接拆）、分解不彻底（如 −4＝0 分解到 (−4)＝0 就停）——本考点选择、填空、解答三种题型齐全； 高次方程的降次思想是因式分解法的延伸：一元三次方程 ＋−2x＝0 通过提公因式→十字相乘（或公式法）逐次降为一次方程，体现转化思想——本考点与考点速览考点 4 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·移项化 0：把所有项移到方程左边，右边严格化为 0——这是因式分解法的前提，右边不为 0 不能直接令因式为 0； 第二步·分解因式：观察左边结构，优先提公因式（单项式公因式或多项式公因式），再用平方差公式或完全平方公式继续分解，直到每个因式都是一次式； 第三步·令因式为 0：令每个一次因式分别等于 0，得到若干一元一次方程，分别求解，最后写出原方程的所有根。 注意事项（易错警示） 移项后才能分解：方程 (x−1)(x−2)＝2 必须先展开移项化为 −3x＝0 再分解为 x(x−3)＝0，不能直接令 x−1＝0 或 x−2＝0； 两边不能同除含未知数的式子：＝3x 移项得 −3x＝0→x(x−3)＝0，若两边除以 x 会漏根 x＝0；7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 移项提公因式 (5x＋2)，不能两边除以 (5x＋2)； 分解要彻底：−＝0 先提 得 (−1)＝0，还要继续分解为 (x＋1)(x−1)＝0，不能停在 −1； 解法选择看结构：−5x＋6＝0 用因式分解最简便；−4x＋1＝0 不易分解，用公式法；＝9 用直接开平方法——先观察再动笔，避免硬套公式。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 因式分解解方程 移项、提公因式或公式法分解 方程的根是、解为 ★☆ 解法选择 根据方程结构选择最优解法 最简便的方法是、最适合 ★★☆ 易错辨析 两边同除、未移项等错误识别 开始出现错误的步骤是 ★★☆ 已知根选方程 由根反推因式再得方程 则该方程是 ★★☆ 含参与综合 含参因式分解、三角形边长 取值范围是、周长为 ★★★ 高次降次 通过因式分解把高次降为低次 方程的解是 ★★★ 命题边界：本考点考因式分解法与解法选择（因式分解法解一元二次方程、提公因式与公式法分解、解法选择的次序与理由、易错辨析、已知根反推方程、含参因式分解、高次方程降次）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章一元二次方程及之前所学内容（提公因式、平方差公式、完全平方公式、等式性质），个别题用到三角形三边关系（七年级下册），未使用根的判别式、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：用因式分解法解方程选根（选择）→ 解方程填空（填空）→ 等腰三角形边长与方程综合（选择）→ 移项后提公因式解方程（选择）→ 解法选择判断最简便方法（选择）→ 用因式分解法解方程（解答）。变式覆盖：已知根选方程（选择）→ 直接写根（填空）→ 解方程（填空）→ 易错辨析（填空）→ 易错辨析（填空）→ 移项后提多项式公因式（填空）→ 解方程（填空）→ 解方程（填空）→ 用指定方法解方程（解答）→ 展开移项后分解（填空）。拔高覆盖：移项提多项式公因式（选择）→ 直接写根（选择）→ 解含分数系数方程（选择）→ 移项提多项式公因式（选择）→ 含参因式分解与范围（选择）→ 高次方程降次（填空嵌空）→ 新定义阅读材料（解答）→ 方程组代入与因式分解（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教基础因式分解：−4x＋3＝0→(x−1)(x−3)＝0→x₁＝1，x₂＝3——先移项（右边为 0），再观察左边能否分解； ◆ 例 2 教提公因式：＋4x＋3＝0→(x＋1)(x＋3)＝0——常数项 3＝1×3，一次项 4＝1＋3，配对分解； ◆ 例 3 教方程与几何综合：−10x＋21＝0 的两根为 3 和 7，等腰三角形两边为 3 和 7 时，3＋3＜7 舍去，只能取 7、7、3，周长 17——解完方程后必须检验三角形三边关系； ◆ 例 4 教移项后提多项式公因式：7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 移项得 (5x＋2)(7x−6)＝0——把 (5x＋2) 看成整体，切勿两边同除； ◆ 例 5 教解法选择：−4x−5＝0 中 −5＝−5×1，−4＝−5＋1，容易分解，故因式分解法最简便——先观察结构再定方法； ◆ 例 6 教规范解答格式：−2x＝3 先移项为 −2x−3＝0，再分解为 (x＋1)(x−3)＝0，解得 x₁＝−1，x₂＝3——解答题要写“解：”、移项、分解、令因式为 0、解一次方程、作答六步。 例 1　选择题 （2024·青海·中考）一元二次方程 −4x＋3＝0 的根为（　　） A．x₁＝1，x₂＝3　　B．x₁＝−1，x₂＝−3　　C．x₁＝1，x₂＝−3　　D．x₁＝−1，x₂＝3 例 2　填空题 （2022·天津·中考）方程 ＋4x＋3＝0 的解为 ________________________。 例 3　选择题 （2024·赤峰·中考）等腰三角形的两边长分别是方程 −10x＋21＝0 的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17 或 13　　B．13 或 21　　C．17　　D．13 例 4　选择题 （2025·河南平顶山·期中）方程 7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 的解为（　　） A．x₁＝−，x₂＝　　B．x₁＝，x₂＝　　C．x₁＝−，x₂＝−　　D．x₁＝，x₂＝− 例 5　选择题 （2024·河北·中考模拟）解一元二次方程 −4x−5＝0 时，下列四种解法中最简便的是（　　） A．直接开平方法　　B．配方法　　C．公式法　　D．因式分解法 例 6　解答题 （2024·安徽·中考）解方程：−2x＝3。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1 练已知根选方程：一根为 x＝3，则方程必含因式 (x−3)，结合另一根定方程——因式分解的逆向运用； ◆ 变 2~变 4、变 7~变 8 练基础分解：直接写出 (x−1)(x＋3)＝0、−7x＋12＝0、＝x、＝3x、−4x＝0、＝5x 的根——注意 ＝kx 型必有一根为 0，不能两边除以 x； ◆ 变 5~变 6 练易错辨析与多项式公因式：x(x−2)＝x−2 移项提 (x−2) 得 (x−2)(x−1)＝0； ◆ 变 9 练指定方法解答：−5x＋6＝0 用因式分解法，写清移项（已满足）、分解、令因式为 0、求解四步； ◆ 变 10 练展开移项：(x＋2)(x−3)＝6 展开得 −x−6＝6，移项为 −x−12＝0，再分解为 (x−4)(x＋3)＝0； ◆ 限时建议：变式组 20 分钟内独立完成，重点练移项化 0 与分解彻底两个关口。 变式 1　选择题 （2025·天津南开·期中）已知关于 x 的一元二次方程的一个根为 x＝3，则该方程可能是（　　） A．−5x＋6＝0　　B．＋5x＋6＝0　　C．−5x−6＝0　　D．＋5x−6＝0 变式 2　填空题 （2025·广西防城港·期中）方程 (x−1)(x＋3)＝0 的根为 ________________________。 变式 3　填空题 （2025·齐齐哈尔·期末）方程 −7x＋12＝0 的根为 ________________________。 变式 4　填空题 （2024秋·阜宁县·期中）方程 ＝x 的根为 ________________________。 变式 5　填空题 （2024秋·南山区校级·开学）方程 ＝3x 的根为 ________________________。 变式 6　填空题 （2024秋·泉州·期末）方程 x(x−2)＝x−2 的根为 ________________________。 变式 7　填空题 （2024·滨州·中考）方程 −4x＝0 的根为 ________________________。 变式 8　填空题 （2024·永州·期中）方程 ＝5x 的根为 ________________________。 变式 9　解答题 （2025·河南郑州·期中）用因式分解法解方程：−5x＋6＝0。 变式 10　填空题 （2024秋·南京·期中）方程 (x＋2)(x−3)＝6 的根为 ________________________。 PART 05 拔高巩固（8 题） 因式分解法与解法选择——降次依据、分解路径、选择次序 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 练多项式公因式：(x＋1)(x−2)＝x＋1 移项得 (x＋1)(x−3)＝0——把 (x＋1) 看成整体提取； ◆ 拔高 2 练直接写根：x(x＋1)＝0 的两根为 x₁＝0，x₂＝−1——基础但易与 x(x＋1)＝1 混淆； ◆ 拔高 3 练含分数系数：(3x−1)(2x＋4)＝0 中令 3x−1＝0 或 2x＋4＝0，解得 x₁＝，x₂＝−2——分数结果用分数线表示； ◆ 拔高 4 练移项提公因式：(x−3)(x＋1)＝x−3 移项得 (x−3)(x＋1−1)＝0，即 (x−3)x＝0——提取后第二个因式要化简； ◆ 拔高 5 练含参因式分解：＋2(a＋1)x＋2a＋1＝0 分解为 (x＋1)(x＋2a＋1)＝0，根为 −1 与 −2a−1，由“小于 1 的正数根”定 0＜−2a−1＜1，得 −1＜a＜−； ◆ 拔高 6 练高次降次：＋−2x＝0→x(＋x−2)＝0→x(x＋2)(x−1)＝0，解为 x₁＝0，x₂＝−2，x₃＝1——逐次分解，每次只降一次； ◆ 拔高 7 练新定义阅读材料：“隔根方程”定义→验证→求参，因式分解得 (x＋m)(x−1)＝0，根为 −m 与 1，由隔根条件 |−m−1|＝2 或 |1−(−m)|＝2 得 m＝−3 或 1； ◆ 拔高 8 练因式分解与几何相关问题：(x-2)(x−4)＝0，解为x₁＝2，x₂＝4。再利用三角形三边关系求解。 拔高 1　选择题 （2024·长沙·期末）方程 (x＋1)(x−2)＝x＋1 的根为（　　） A．x₁＝−1，x₂＝2　　B．x₁＝−1，x₂＝3　　C．x₁＝1，x₂＝2　　D．x₁＝1，x₂＝3 拔高 2　选择题 （2023·镇江·中考）方程 x(x＋1)＝0 的根为（　　） A．x₁＝0，x₂＝1　　B．x₁＝0，x₂＝−1　　C．x₁＝1，x₂＝−1　　D．x₁＝0，x₂＝2 拔高 3　选择题 （2025·湖南娄底娄星区·期中）方程 (3x−1)(2x＋4)＝0 的根为（　　） A．x₁＝，x₂＝−2　　B．x₁＝−，x₂＝2　　C．x₁＝，x₂＝2　　D．x₁＝−，x₂＝−2 拔高 4　选择题 （2025·重庆梁平区·期中）方程 (x−3)(x＋1)＝x−3 的根为（　　） A．x₁＝0，x₂＝3　　B．x₁＝1，x₂＝3　　C．x₁＝0，x₂＝−1　　D．x₁＝−1，x₂＝3 拔高 5　选择题 （2025·四川绵阳东辰国际学校·自主招生改编）若关于 x 的方程 ＋2(a＋1)x＋2a＋1＝0 有一个小于 1 的正数根，则实数 a 的取值范围是（　　） A．−1＜a＜−　　B．a＜−1　　C．a＞−　　D．−＜a＜0 拔高 6　填空题（嵌空） （2025·江苏常州北郊中学·期中）阅读材料：我们知道，解一元二次方程可以把它转化为两个一元一次方程来解。其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程 ＋−2x＝0，可以通过因式分解把它转化为 x(＋x−2)＝0，再分解为 x(x＋2)(x−1)＝0，从而求解。 (1) 方程 ＋−2x＝0 的解是 x₁＝0，x₂＝__-2__，x₃＝____； (2) 用“转化”的思想求方程 (x＋1)(x＋2)(x−1)＝0 的解。 拔高 7　解答题 （2024·湖北武汉·期中改编）阅读下列材料并解答问题。 定义：如果关于 x 的一元二次方程 ＋bx＋c＝0 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 2，那么称这样的方程为“隔根方程”。例如，方程 ＋2x＝0 的两个根是 x₁＝0，x₂＝−2，则方程 ＋2x＝0 是“隔根方程”。 (1) 方程 −x−20＝0 是“隔根方程”吗？判断并说明理由； (2) 若关于 x 的方程 ＋(m−1)x−m＝0 是“隔根方程”，求 m 的值。 拔高 8　解答题 （26-27·四川月考）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 基础因式分解 例 2 基础因式分解 例 3 方程与几何综合 例 4 移项提公因式 例 5 解法选择 例 6 因式分解解方程 变式 1 已知根选方程 变式 2 直接写根 变式 3 解方程 变式 4 ＝x 易错 变式 5 ＝3x 易错 变式 6 多项式公因式 变式 7 提公因式 变式 8 提公因式 变式 9 用因式分解法 变式 10 展开移项后分解 拔高 1 多项式公因式 拔高 2 直接写根 拔高 3 分数系数 拔高 4 移项提公因式 拔高 5 含参因式分解 拔高 6 高次降次 拔高 7 新定义阅读 拔高 8 方程与几何综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式、认清系数，再算判别式定符号；“有实根”带等号、“两不等”严格大于；二次项系数含参先看是否为零。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版九上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 九年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 4｜因式分解法与解法选择——降次依据、分解路径、选择次序 ——第 2 章〈一元二次方程〉考点 4—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考·因式分解·提公因式·公式法分解·解法选择·降次思想 知识点总结 → 考点分析 → 例题 6 · 变式 10 · 拔高 8 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料共 24 题，选自 2024—2026 年（近两年）各级各类考试（期中、期末、月考、中考、二模等）的网络试卷原题，每题均在题干开头标注年份与出处；本考点为代数内容，全卷题目均不依赖图形，题面数值与设问未作改动； 每题按【答案】【解析】【详解】三段式编排，【详解】按学生卷面解题格式逐行分步书写，便于对照板书、模仿格式； 填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，学生自测时可先遮住红色部分再核对； 建议用法：例题教师精讲、学生模仿方法；变式学生限时独立完成；拔高供学有余力者挑战，也可作考前第二轮素材。 本考点与考点速览考点 4 对齐（★☆~★★★），三条主线：一线因式分解法——右边化 0、左边分解为两个一次因式的积，令各因式为 0 得根，核心在移项与分解；二线解法选择——先观察结构：能直接开平方的优先，能因式分解的次优先，一般式用公式法，配方法用于二次项系数为 1 且一次项系数为偶数的情形；三线易错与降次——两边同除含未知数的式子漏根、未移项就令因式为 0、高次方程通过因式分解逐次降次——例题学方法，变式练同法，拔高串综合。 PART 01 本考点知识点总结（与考点速览考点 4 保持一致） 考点范围：因式分解法解一元二次方程（右边化 0，左边通过提公因式、平方差公式、完全平方公式分解为两个一次因式的积，令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解之即得原方程的根）、解法选择（观察方程结构决定最优解法：左边是完全平方式或右边为非负常数→直接开平方法；左边易分解为整系数因式→因式分解法；二次项系数为 1 且一次项系数为偶数→配方法；一般式且不易分解→公式法）、易错警示（移项后才能分解；两边不能同除含未知数的式子；分解要彻底；高次方程可通过因式分解逐次降次求解）——与考点速览考点 4 一致。 一、因式分解法——降次思想的具体化 ◆ 理论依据：若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0。把一元二次方程右边化为 0，左边分解为两个一次因式的积，令每个因式为 0，得到两个一元一次方程，解这两个方程即得原方程的根。本质是把二次降为一次。 ◆ 操作三步：一移——把所有项移到左边，右边化为 0；二分——把左边分解为两个一次因式的积（提公因式、平方差公式、完全平方公式）；三解——令各因式分别为 0，解两个一元一次方程。 二、解法选择——先看结构再定方法 ◆ 四种解法的选择次序：①直接开平方法——形如 ＝n（n≥0）或左边已是完全平方式；②因式分解法——左边易分解为整系数一次因式（如 −5x＋6＝0→(x−2)(x−3)＝0）；③配方法——二次项系数为 1 且一次项系数为偶数，或题目明确要求配方；④公式法——一般式且不易分解的通用方法。选择原则：先特殊后一般，能分解就不套公式。 ◆ 典型错选：看到 ＝3x 就两边除以 x 得 x＝3——漏了 x＝0；看到 (x−1)(x−2)＝2 就直接令 x−1＝0 或 x−2＝0——右边不是 0 不能直接用；分解到 (−4)＝0 就停——还应继续分解为 (x＋2)(x−2)＝0。 三、提公因式法——移项后再提取 ◆ 提公因式要点：移项后观察左边是否有公因式（含单项式公因式与多项式公因式两种）。如 7x(5x＋2)＝6(5x＋2)，移项得 (5x＋2)(7x−6)＝0；如 x(x−2)＝x−2，移项得 (x−2)(x−1)＝0。注意：两边同除 (5x＋2) 会漏根 x＝−。 因式分解法·解法选择·降次思想速记表 主线 核心内容 典型应用 易错点 因式分解法 右边化 0，左边分解为两个一次因式的积；令各因式为 0 解一次方程 提公因式、公式法分解 未移项就分解、两边同除漏根 提公因式 移项后提取单项式或多项式公因式；注意整体思想 7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 型 两边同除含未知数的式子 公式法分解 平方差：−＝(a＋b)(a−b)；完全平方：±2ab＋＝(a±b −9＝0、−6x＋9＝0 分解不彻底 解法选择 直接开平方→因式分解→配方→公式法；先特殊后一般 选择最优解法 该分解却硬套公式 易错警示 移项后才能分解；两边不能同除含未知数的式子；分解到不能再分为止 ＝3x、(x−1)(x−2)＝2 漏根、错用因式 高次降次 右边化 0 后逐次因式分解，把高次降为低次 ＋−2x＝0 分解不彻底导致漏根 ◆ 多项式公因式：当公因式是多项式时，把它看成一个整体提取。如 (x＋1)(x−2)＝x＋1，移项得 (x＋1)(x−2−1)＝0，即 (x＋1)(x−3)＝0。提取后注意化简第二个因式。 四、公式法分解与降次——高次方程的处理 ◆ 系数含参先分类：讨论二次项系数为 0 与不为 0 两种情形——为 0 时方程是一次方程，按一次方程判断根；不为 0 时才是二次方程，算 判别式 对照条件取参数范围，最后把各情形的结果合并（如东营中考题 k≤－1 的合成）。 ◆ 平方差与完全平方：a−b＝(ax＋by)(ax−by) 在解方程中同样适用；a±2abx＋b＝(ax±by。如 −9＝0→(x＋3)(x−3)＝0；−6x＋9＝0→(x−3＝0。 ◆ 高次方程降次：一元三次或更高次方程，若右边为 0 且左边能因式分解，可逐次降次。如 ＋−2x＝0→x(＋x−2)＝0→x(x＋2)(x−1)＝0，得到三个一元一次方程。转化思想是把陌生的高次方程化为熟悉的一元二次或一次方程。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 因式分解法的核心是降次：把一元二次方程右边化为 0，左边分解为两个一次因式的积，令每个因式等于 0 得到两个一元一次方程——理论依据是“若 ab＝0，则 a＝0 或 b＝0”；操作关键是移项（右边必须为 0）与分解（提公因式、平方差、完全平方）； 解法选择是实战能力：拿到方程先观察结构——左边已是完全平方式或右边为非负常数→直接开平方法；左边易分解→因式分解法；二次项系数为 1 且一次项系数为偶数→配方法；一般式且不易分解→公式法。选择原则是先特殊后一般，能分解就不套公式； 易错点是区分度来源：两边同除含未知数的式子漏根（如 ＝3x 两边除以 x 漏 x＝0）、未移项到右边就令因式为 0（如 (x−1)(x−2)＝2 直接拆）、分解不彻底（如 −4＝0 分解到 (−4)＝0 就停）——本考点选择、填空、解答三种题型齐全； 高次方程的降次思想是因式分解法的延伸：一元三次方程 ＋−2x＝0 通过提公因式→十字相乘（或公式法）逐次降为一次方程，体现转化思想——本考点与考点速览考点 4 对齐（★☆~★★★）。 答题方法（三步法） 第一步·移项化 0：把所有项移到方程左边，右边严格化为 0——这是因式分解法的前提，右边不为 0 不能直接令因式为 0； 第二步·分解因式：观察左边结构，优先提公因式（单项式公因式或多项式公因式），再用平方差公式或完全平方公式继续分解，直到每个因式都是一次式； 第三步·令因式为 0：令每个一次因式分别等于 0，得到若干一元一次方程，分别求解，最后写出原方程的所有根。 注意事项（易错警示） 移项后才能分解：方程 (x−1)(x−2)＝2 必须先展开移项化为 −3x＝0 再分解为 x(x−3)＝0，不能直接令 x−1＝0 或 x−2＝0； 两边不能同除含未知数的式子：＝3x 移项得 −3x＝0→x(x−3)＝0，若两边除以 x 会漏根 x＝0；7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 移项提公因式 (5x＋2)，不能两边除以 (5x＋2)； 分解要彻底：−＝0 先提 得 (−1)＝0，还要继续分解为 (x＋1)(x−1)＝0，不能停在 −1； 解法选择看结构：−5x＋6＝0 用因式分解最简便；−4x＋1＝0 不易分解，用公式法；＝9 用直接开平方法——先观察再动笔，避免硬套公式。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 因式分解解方程 移项、提公因式或公式法分解 方程的根是、解为 ★☆ 解法选择 根据方程结构选择最优解法 最简便的方法是、最适合 ★★☆ 易错辨析 两边同除、未移项等错误识别 开始出现错误的步骤是 ★★☆ 已知根选方程 由根反推因式再得方程 则该方程是 ★★☆ 含参与综合 含参因式分解、三角形边长 取值范围是、周长为 ★★★ 高次降次 通过因式分解把高次降为低次 方程的解是 ★★★ 命题边界：本考点考因式分解法与解法选择（因式分解法解一元二次方程、提公因式与公式法分解、解法选择的次序与理由、易错辨析、已知根反推方程、含参因式分解、高次方程降次）；素材选自 2024—2026 年各级各类考试的网络试卷原题，题干均已标注年份与出处；解题工具均为九年级上册第二章一元二次方程及之前所学内容（提公因式、平方差公式、完全平方公式、等式性质），个别题用到三角形三边关系（七年级下册），未使用根的判别式、根与系数的关系、函数图象等后续内容。 PART 03 例题精讲（6 题） 例题覆盖：用因式分解法解方程选根（选择）→ 解方程填空（填空）→ 等腰三角形边长与方程综合（选择）→ 移项后提公因式解方程（选择）→ 解法选择判断最简便方法（选择）→ 用因式分解法解方程（解答）。变式覆盖：已知根选方程（选择）→ 直接写根（填空）→ 解方程（填空）→ 易错辨析（填空）→ 易错辨析（填空）→ 移项后提多项式公因式（填空）→ 解方程（填空）→ 解方程（填空）→ 用指定方法解方程（解答）→ 展开移项后分解（填空）。拔高覆盖：移项提多项式公因式（选择）→ 直接写根（选择）→ 解含分数系数方程（选择）→ 移项提多项式公因式（选择）→ 含参因式分解与范围（选择）→ 高次方程降次（填空嵌空）→ 新定义阅读材料（解答）→ 方程组代入与因式分解（解答）。 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1 教基础因式分解：−4x＋3＝0→(x−1)(x−3)＝0→x₁＝1，x₂＝3——先移项（右边为 0），再观察左边能否分解； ◆ 例 2 教提公因式：＋4x＋3＝0→(x＋1)(x＋3)＝0——常数项 3＝1×3，一次项 4＝1＋3，配对分解； ◆ 例 3 教方程与几何综合：−10x＋21＝0 的两根为 3 和 7，等腰三角形两边为 3 和 7 时，3＋3＜7 舍去，只能取 7、7、3，周长 17——解完方程后必须检验三角形三边关系； ◆ 例 4 教移项后提多项式公因式：7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 移项得 (5x＋2)(7x−6)＝0——把 (5x＋2) 看成整体，切勿两边同除； ◆ 例 5 教解法选择：−4x−5＝0 中 −5＝−5×1，−4＝−5＋1，容易分解，故因式分解法最简便——先观察结构再定方法； ◆ 例 6 教规范解答格式：−2x＝3 先移项为 −2x−3＝0，再分解为 (x＋1)(x−3)＝0，解得 x₁＝−1，x₂＝3——解答题要写“解：”、移项、分解、令因式为 0、解一次方程、作答六步。 例 1　选择题 （2024·青海·中考）一元二次方程 −4x＋3＝0 的根为（　　） A．x₁＝1，x₂＝3　　B．x₁＝−1，x₂＝−3　　C．x₁＝1，x₂＝−3　　D．x₁＝−1，x₂＝3 【答案】A 【解析】方程右边已为 0，左边 −4x＋3 可分解为 (x−1)(x−3)，令各因式为 0 得 x₁＝1，x₂＝3。故选 A。 【详解】 ∵−4x＋3＝0， ∴(x−1)(x−3)＝0， ∴x−1＝0 或 x−3＝0， ∴x₁＝1，x₂＝3。 故选 A。 例 2　填空题 （2022·天津·中考）方程 ＋4x＋3＝0 的解为 ______x₁＝−1，x₂＝−3_______。 【答案】x₁＝−1，x₂＝−3 【解析】右边化 0 后左边分解：3＝1×3，4＝1＋3，故 ＋4x＋3＝(x＋1)(x＋3)＝0。 【详解】 ∵＋4x＋3＝0， ∴(x＋1)(x＋3)＝0， ∴x＋1＝0 或 x＋3＝0， ∴x₁＝−1，x₂＝−3。 例 3　选择题 （2024·赤峰·中考）等腰三角形的两边长分别是方程 −10x＋21＝0 的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．17 或 13　　B．13 或 21　　C．17　　D．13 【答案】C 【解析】先因式分解得两根为 3 和 7。等腰三角形两边为 3、7 时，腰只能是 7（3＋3＜7 舍去），故周长为 7＋7＋3＝17。 【详解】 ∵−10x＋21＝0， ∴(x−3)(x−7)＝0， ∴x₁＝3，x₂＝7。 当等腰三角形的边长为 3，3，7 时，3＋3＜7，不符合三角形三边关系，舍去； 当等腰三角形的边长为 7，7，3 时，7＋7＞3，符合三角形三边关系， ∴周长为 7＋7＋3＝17。 故选 C。 例 4　选择题 （2025·河南平顶山·期中）方程 7x(5x＋2)＝6(5x＋2) 的解为（　　） A．x₁＝−，x₂＝　　B．x₁＝，x₂＝　　C．x₁＝−，x₂＝−　　D．x₁＝，x₂＝− 【答案】A 【解析】移项后提公因式 (5x＋2)，得 (5x＋2)(7x−6)＝0。注意不能两边同除以 (5x＋2)，否则会漏根 x＝−。 【详解】 ∵7x(5x＋2)＝6(5x＋2)， ∴7x(5x＋2)−6(5x＋2)＝0， ∴(5x＋2)(7x−6)＝0， ∴5x＋2＝0 或 7x−6＝0， ∴x₁＝−，x₂＝。 故选 A。 例 5　选择题 （2024·河北·中考模拟）解一元二次方程 −4x−5＝0 时，下列四种解法中最简便的是（　　） A．直接开平方法　　B．配方法　　C．公式法　　D．因式分解法 【答案】D 【解析】方程左边 −4x−5 中，−5＝(−5)×1，−4＝(−5)＋1，容易分解为 (x−5)(x＋1)，故因式分解法最简便。 【详解】 ∵−4x−5＝0 中，常数项 −5＝(−5)×1，一次项系数 −4＝(−5)＋1， ∴左边可分解为 (x−5)(x＋1)＝0， ∴因式分解法最简便。 故选 D。 例 6　解答题 （2024·安徽·中考）解方程：−2x＝3。 【答案】x₁＝−1，x₂＝3 【解析】移项得 −2x−3＝0，左边分解为 (x＋1)(x−3)＝0，令各因式为 0 求解。 【详解】 解：移项，得 −2x−3＝0， 分解因式，得 (x＋1)(x−3)＝0， ∴x＋1＝0 或 x−3＝0， ∴x₁＝−1，x₂＝3。 PART 04 变式练习（10 题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1 练已知根选方程：一根为 x＝3，则方程必含因式 (x−3)，结合另一根定方程——因式分解的逆向运用； ◆ 变 2~变 4、变 7~变 8 练基础分解：直接写出 (x−1)(x＋3)＝0、−7x＋12＝0、＝x、＝3x、−4x＝0、＝5x 的根——注意 ＝kx 型必有一根为 0，不能两边除以 x； ◆ 变 5~变 6 练易错辨析与多项式公因式：x(x−2)＝x−2 移项提 (x−2) 得 (x−2)(x−1)＝0； ◆ 变 9 练指定方法解答：−5x＋6＝0 用因式分解法，写清移项（已满足）、分解、令因式为 0、求解四步； ◆ 变 10 练展开移项：(x＋2)(x−3)＝6 展开得 −x−6＝6，移项为 −x−12＝0，再分解为 (x−4)(x＋3)＝0； ◆ 限时建议：变式组 20 分钟内独立完成，重点练移项化 0 与分解彻底两个关口。 变式 1　选择题 （2025·天津南开·期中）已知关于 x 的一元二次方程的一个根为 x＝3，则该方程可能是（　　） A．−5x＋6＝0　　B．＋5x＋6＝0　　C．−5x−6＝0　　D．＋5x−6＝0 【答案】A 【解析】若方程一根为 x＝3，则左边必含因式 (x−3)。A 选项 −5x＋6＝(x−2)(x−3)＝0，含因式 (x−3)，x＝3 是根。 【详解】 A．−5x＋6＝0→(x−2)(x−3)＝0→x₁＝2，x₂＝3，符合； B．＋5x＋6＝0→(x＋2)(x＋3)＝0→x₁＝−2，x₂＝−3，不符合； C．−5x−6＝0→(x−6)(x＋1)＝0→x₁＝6，x₂＝−1，不符合； D．＋5x−6＝0→(x＋6)(x−1)＝0→x₁＝−6，x₂＝1，不符合。 故选 A。 变式 2　填空题 （2025·广西防城港·期中）方程 (x−1)(x＋3)＝0 的根为 ________________________。 【答案】x₁＝1，x₂＝−3 【解析】左边已分解为两个一次因式的积，右边为 0，直接令各因式为 0 即可。 【详解】 ∵(x−1)(x＋3)＝0， ∴x−1＝0 或 x＋3＝0， ∴x₁＝1，x₂＝−3。 变式 3　填空题 （2025·齐齐哈尔·期末）方程 −7x＋12＝0 的根为 _______x₁＝3，x₂＝4_________。 【答案】x₁＝3，x₂＝4 【解析】12＝3×4，−7＝(−3)＋(−4)，故左边分解为 (x−3)(x−4)＝0。 【详解】 ∵−7x＋12＝0， ∴(x−3)(x−4)＝0， ∴x−3＝0 或 x−4＝0， ∴x₁＝3，x₂＝4。 变式 4　填空题 （2024秋·阜宁县·期中）方程 ＝x 的根为 ______x₁＝0，x₂＝1________。 【答案】x₁＝0，x₂＝1 【解析】移项得 −x＝0，提公因式 x 得 x(x−1)＝0。注意：不能两边同除以 x，否则会漏根 x＝0。 【详解】 ∵＝x， ∴−x＝0， ∴x(x−1)＝0， ∴x＝0 或 x−1＝0， ∴x₁＝0，x₂＝1。 变式 5　填空题 （2024秋·南山区校级·开学）方程 ＝3x 的根为 ______x₁＝0，x₂＝3___________。 【答案】x₁＝0，x₂＝3 【解析】移项得 −3x＝0，提公因式 x 得 x(x−3)＝0。不能两边同除以 x。 【详解】 ∵＝3x， ∴−3x＝0， ∴x(x−3)＝0， ∴x＝0 或 x−3＝0， ∴x₁＝0，x₂＝3。 变式 6　填空题 （2024秋·泉州·期末）方程 x(x−2)＝x−2 的根为 _____x₁＝1，x₂＝2________。 【答案】x₁＝1，x₂＝2 【解析】移项后提多项式公因式 (x−2)：x(x−2)−(x−2)＝0→(x−2)(x−1)＝0。 【详解】 ∵x(x−2)＝x−2， ∴x(x−2)−(x−2)＝0， ∴(x−2)(x−1)＝0， ∴x−2＝0 或 x−1＝0， ∴x₁＝2，x₂＝1。 变式 7　填空题 （2024·滨州·中考）方程 −4x＝0 的根为 _____x₁＝0，x₂＝4____________。 【答案】x₁＝0，x₂＝4 【解析】提公因式 x 得 x(x−4)＝0。 【详解】 ∵−4x＝0， ∴x(x−4)＝0， ∴x＝0 或 x−4＝0， ∴x₁＝0，x₂＝4。 变式 8　填空题 （2024·永州·期中）方程 ＝5x 的根为 ________x₁＝0，x₂＝5________。 【答案】x₁＝0，x₂＝5 【解析】移项提公因式 x 得 x(x−5)＝0。 【详解】 ∵＝5x， ∴−5x＝0， ∴x(x−5)＝0， ∴x＝0 或 x−5＝0， ∴x₁＝0，x₂＝5。 变式 9　解答题 （2025·河南郑州·期中）用因式分解法解方程：−5x＋6＝0。 【答案】x₁＝2，x₂＝3 【解析】左边 −5x＋6 中 6＝(−2)×(−3)，−5＝(−2)＋(−3)，分解为 (x−2)(x−3)＝0。 【详解】 解：∵−5x＋6＝0， ∴(x−2)(x−3)＝0， ∴x−2＝0 或 x−3＝0， ∴x₁＝2，x₂＝3。 变式 10　填空题 （2024秋·南京·期中）方程 (x＋2)(x−3)＝6 的根为 _____x₁＝4，x₂＝−3________。 【答案】x₁＝4，x₂＝−3 【解析】右边不是 0，需先展开移项：−x−6＝6→−x−12＝0，再分解为 (x−4)(x＋3)＝0。 【详解】 ∵(x＋2)(x−3)＝6， ∴−x−6＝6， ∴−x−12＝0， ∴(x−4)(x＋3)＝0， ∴x−4＝0 或 x＋3＝0， ∴x₁＝4，x₂＝−3。 PART 05 拔高巩固（8 题） 因式分解法与解法选择——降次依据、分解路径、选择次序 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 练多项式公因式：(x＋1)(x−2)＝x＋1 移项得 (x＋1)(x−3)＝0——把 (x＋1) 看成整体提取； ◆ 拔高 2 练直接写根：x(x＋1)＝0 的两根为 x₁＝0，x₂＝−1——基础但易与 x(x＋1)＝1 混淆； ◆ 拔高 3 练含分数系数：(3x−1)(2x＋4)＝0 中令 3x−1＝0 或 2x＋4＝0，解得 x₁＝，x₂＝−2——分数结果用分数线表示； ◆ 拔高 4 练移项提公因式：(x−3)(x＋1)＝x−3 移项得 (x−3)(x＋1−1)＝0，即 (x−3)x＝0——提取后第二个因式要化简； ◆ 拔高 5 练含参因式分解：＋2(a＋1)x＋2a＋1＝0 分解为 (x＋1)(x＋2a＋1)＝0，根为 −1 与 −2a−1，由“小于 1 的正数根”定 0＜−2a−1＜1，得 −1＜a＜−； ◆ 拔高 6 练高次降次：＋−2x＝0→x(＋x−2)＝0→x(x＋2)(x−1)＝0，解为 x₁＝0，x₂＝−2，x₃＝1——逐次分解，每次只降一次； ◆ 拔高 7 练新定义阅读材料：“隔根方程”定义→验证→求参，因式分解得 (x＋m)(x−1)＝0，根为 −m 与 1，由隔根条件 |−m−1|＝2 或 |1−(−m)|＝2 得 m＝−3 或 1； ◆ 拔高 8 练因式分解与几何相关问题：(x-2)(x−4)＝0，解为x₁＝2，x₂＝4。再利用三角形三边关系求解。 拔高 1　选择题 （2024·长沙·期末）方程 (x＋1)(x−2)＝x＋1 的根为（　　） A．x₁＝−1，x₂＝2　　B．x₁＝−1，x₂＝3　　C．x₁＝1，x₂＝2　　D．x₁＝1，x₂＝3 【答案】B 【解析】移项后提多项式公因式 (x＋1)：(x＋1)(x−2)−(x＋1)＝0→(x＋1)(x−3)＝0。 【详解】 ∵(x＋1)(x−2)＝x＋1， ∴(x＋1)(x−2)−(x＋1)＝0， ∴(x＋1)(x−2−1)＝0， ∴(x＋1)(x−3)＝0， ∴x＋1＝0 或 x−3＝0， ∴x₁＝−1，x₂＝3。 故选 B。 拔高 2　选择题 （2023·镇江·中考）方程 x(x＋1)＝0 的根为（　　） A．x₁＝0，x₂＝1　　B．x₁＝0，x₂＝−1　　C．x₁＝1，x₂＝−1　　D．x₁＝0，x₂＝2 【答案】B 【解析】左边已分解为 x 与 (x＋1) 的积，右边为 0，直接令各因式为 0。 【详解】 ∵x(x＋1)＝0， ∴x＝0 或 x＋1＝0， ∴x₁＝0，x₂＝−1。 故选 B。 拔高 3　选择题 （2025·湖南娄底娄星区·期中）方程 (3x−1)(2x＋4)＝0 的根为（　　） A．x₁＝，x₂＝−2　　B．x₁＝−，x₂＝2　　C．x₁＝，x₂＝2　　D．x₁＝−，x₂＝−2 【答案】A 【解析】左边已分解，令 3x−1＝0 或 2x＋4＝0，注意分数结果用分数线表示。 【详解】 ∵(3x−1)(2x＋4)＝0， ∴3x−1＝0 或 2x＋4＝0， ∴x₁＝，x₂＝−2。 故选 A。 拔高 4　选择题 （2025·重庆梁平区·期中）方程 (x−3)(x＋1)＝x−3 的根为（　　） A．x₁＝0，x₂＝3　　B．x₁＝1，x₂＝3　　C．x₁＝0，x₂＝−1　　D．x₁＝−1，x₂＝3 【答案】A 【解析】移项提公因式 (x−3)：(x−3)(x＋1)−(x−3)＝0→(x−3)(x＋1−1)＝0→(x−3)x＝0。 【详解】 ∵(x−3)(x＋1)＝x−3， ∴(x−3)(x＋1)−(x−3)＝0， ∴(x−3)(x＋1−1)＝0， ∴(x−3)x＝0， ∴x−3＝0 或 x＝0， ∴x₁＝3，x₂＝0。 故选 A。 拔高 5　选择题 （2025·四川绵阳东辰国际学校·自主招生改编）若关于 x 的方程 ＋2(a＋1)x＋2a＋1＝0 有一个小于 1 的正数根，则实数 a 的取值范围是（　　） A．−1＜a＜−　　B．a＜−1　　C．a＞−　　D．−＜a＜0 【答案】A 【解析】左边分解为 (x＋1)(x＋2a＋1)＝0，根为 x₁＝−1，x₂＝−2a−1。−1 不是正数，故正数根只能是 −2a−1，由 0＜−2a−1＜1 解得 −1＜a＜−。 【详解】 ∵＋2(a＋1)x＋2a＋1＝0， ∴(x＋1)(x＋2a＋1)＝0， ∴x₁＝−1，x₂＝−2a−1。 ∵方程有一个小于 1 的正数根，而 x₁＝−1＜0 不符合， ∴正数根只能是 x₂＝−2a−1。 由题意得 0＜−2a−1＜1， 解得 −1＜a＜−。 故选 A。 拔高 6　填空题（嵌空） （2025·江苏常州北郊中学·期中）阅读材料：我们知道，解一元二次方程可以把它转化为两个一元一次方程来解。其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程 ＋−2x＝0，可以通过因式分解把它转化为 x(＋x−2)＝0，再分解为 x(x＋2)(x−1)＝0，从而求解。 (1) 方程 ＋−2x＝0 的解是 x₁＝0，x₂＝__-2__，x₃=__1__； (2) 用“转化”的思想求方程 (x＋1)(x＋2)(x−1)＝0 的解。 【答案】(1) x₂＝−2，x₃＝1；(2) x₁＝−1，x₂＝−2，x₃＝1 【解析】(1) 逐次分解降次：＋−2x＝x(＋x−2)＝x(x＋2)(x−1)＝0；(2) 左边已是三个一次因式的积，直接令各因式为 0。 【详解】 (1) ∵＋−2x＝0， ∴x(＋x−2)＝0， ∴x(x＋2)(x−1)＝0， ∴x＝0 或 x＋2＝0 或 x−1＝0， ∴x₁＝0，x₂＝−2，x₃＝1。 (2) ∵(x＋1)(x＋2)(x−1)＝0， ∴x＋1＝0 或 x＋2＝0 或 x−1＝0， ∴x₁＝−1，x₂＝−2，x₃＝1。 拔高 7　解答题 （2024·湖北武汉·期中改编）阅读下列材料并解答问题。 定义：如果关于 x 的一元二次方程 ＋bx＋c＝0 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 2，那么称这样的方程为“隔根方程”。例如，方程 ＋2x＝0 的两个根是 x₁＝0，x₂＝−2，则方程 ＋2x＝0 是“隔根方程”。 (1) 方程 −x−20＝0 是“隔根方程”吗？判断并说明理由； (2) 若关于 x 的方程 ＋(m−1)x−m＝0 是“隔根方程”，求 m 的值。 【答案】(1) 不是，理由见详解；(2) m＝−3 或 m＝1 【解析】(1) 因式分解得 (x−5)(x＋4)＝0，根为 5 和 −4，差为 9≠2，不是隔根方程；(2) 因式分解得 (x＋m)(x−1)＝0，根为 −m 和 1，由隔根条件列方程求解。 【详解】 (1) ∵−x−20＝0， ∴(x−5)(x＋4)＝0， ∴x₁＝5，x₂＝−4。 ∵5−(−4)＝9≠2， ∴方程 −x−20＝0 不是“隔根方程”。 (2) ∵＋(m−1)x−m＝0， ∴(x＋m)(x−1)＝0， ∴x₁＝−m，x₂＝1。 ∵方程是“隔根方程”， ∴|−m−1|＝2 或 |1−(−m)|＝2。 当 −m−1＝2 时，m＝−3； 当 −m−1＝−2 时，m＝1； 当 1＋m＝2 时，m＝1； 当 1＋m＝−2 时，m＝−3。 综上所述，m 的值为 −3 或 1。 拔高 8　解答题 （26-27·四川月考）一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长． 【答案】 16 【解析】 先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可. 【解答】 解：解方程，得. 设第三边长为x， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为4. 所以三角形的周长为. 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，写出错因 订正完成 例 1 基础因式分解 例 2 基础因式分解 例 3 方程与几何综合 例 4 移项提公因式 例 5 解法选择 例 6 因式分解解方程 变式 1 已知根选方程 变式 2 直接写根 变式 3 解方程 变式 4 ＝x 易错 变式 5 ＝3x 易错 变式 6 多项式公因式 变式 7 提公因式 变式 8 提公因式 变式 9 用因式分解法 变式 10 展开移项后分解 拔高 1 多项式公因式 拔高 2 直接写根 拔高 3 分数系数 拔高 4 移项提公因式 拔高 5 含参因式分解 拔高 6 高次降次 拔高 7 新定义阅读 拔高 8 方程与几何综合 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。本考点口诀：先化一般式、认清系数，再算判别式定符号；“有实根”带等号、“两不等”严格大于；二次项系数含参先看是否为零。填空题横线为黑色印刷线，横线上的红色文字即为该空答案，自测时先遮住再核对。 1 学科网（北京）股份有限公司 $