专题特训5 一元二次方程的其他应用&综合与实践2 制定芯片生产线的扩充方案-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 专题特训五 一元二次方程的其他应用 类型一数字问题 1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小1，若交换两个数位上的数字，所得的两位 数比原两位数小9，求这个两位数 2.如图所示为某月的月历，用虚线方框任意圈出四个数.请解答问题： (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数 (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不 能，请说明理由. 三 四五六 3 45 6 78 910111213 141516例17181920 21222324252627 28293031 类型二传播问题 (第2题) 3.张老师自编了一套健美操，他先教会一些同学，然后让学会健美操的同学每人教会相同的人数， 每人每轮教会的人数相同，经过两轮，共有57人能做这套健美操，请问：每轮中每人必须教会几人？ 4.随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到信息 的人中有？会将其转发给其他没有收到此信息的人，如果经过两轮转发后，共有31人收到此信息 (1)平均每人每轮转发给几个人？ (2)若要使收到信息的人数超过3万，则需要经过几轮转发？ 40 第二章一元二次方程 类型三单（双）循环问题 5.毕业之际，某校九年级数学兴趣小组的同学相约到同一家礼品店购买礼品，每两名同学都相互赠 送一件礼品，礼品店共售出礼品30件，则该兴趣小组的人数为多少？ 6.某旅游团旅游结束时，其中一位游客建议大家互相握手道别，细心的小明发现，每两位游客互握 一次手，共握了45次手，该旅游团共有多少位游客？ 7.某市组织了一次篮球联赛，共有若干支球队参赛.第一阶段为小组赛，第二阶段为淘汰赛.在小组 赛阶段，所有参赛球队将被分成8个小组（每组参赛球队数量相同），分别进行单循环赛（两支球 队之间只赛一场)，根据规则，小组前2名的球队顺利出线，进入淘汰赛.已知本次篮球联赛共有 48场比赛，请问：共有多少支队伍参加比赛？ 类型四说理问题 8.某校在校园开辟了一块劳动教育基地，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15），用长为 30m的篱笆，围成矩形养殖园如图①所示，已知矩形的边CD靠墙，AD和BC与墙垂直. (1)当围成的矩形养殖园面积为108m2时，求BC的长， (2)如图②，该校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离 网，并与墙垂直，请问：此时养殖园的面积能否达到100？若能，请求出AB的长；若不能，请 说明理由 ③ (第8题) ●“答案与解析”见P25 41 拔尖特训· 数学（北师版）九年级上 综合与实践2制定芯片生产线的扩充方案 根据以下素材，完成探索任务 情景 制定芯片生产线的扩充方案 2025年储存芯片成为全球稀缺商品.某芯片公司引进了一条储存芯片生产线.开工第一季度生产 素材一 200万颗，第三季度生产288万颗. 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万颗/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最 素材二 大产能将减少20万颗/季度. 问题 问题解决 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增 任务一 长率 根据素材二，为满足2026年的储存芯片生产要求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储 任务二 存芯片最大总产能达到1200万颗，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投人成 本越大)，请你为该公司决定应该增加多少条生产线。 42 “答案与解析”见P26155)元，即(45一x)元：每天销售量为(20+2x)件.根据每 天盈利1500元，得(45-x)(20+2x)=1500,整理得， 900+70x-2x2=1500,即-2x2+70x-600=0,x2 35.x十300=0，(x-15)(x-20)=0,解得x=15或x=20. 为尽快减少库存，取x=20,折扣率为200一20× 200 100%=90%. 7.设年利率为x.根据题意，得10000(1+x)2 10000(1+2.x)=100,整理得100x2=1,解得x1=0.1= 10%,x2=一0.1（不符合题意，舍去）..年利率为10% 8.(1)设这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月 平均增长率为m.由题意，得250(1十m)2=360,解得m1= 0.2=20%,2=一2.2（不符合题意，舍去）.∴.这种跳绳 和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率为 20%.(2)设该套装的月销量y(套)与每套的售价x(元) 之间的一次函数关系式为y=kx十b.由题意得 129k+b=360, k=-20, 解得《 .y=-20x+2940.由 139k+b=160, b=2940. 题意得(x-100)(-20x+2940)=10800,整理得x2 247x+15240=0,解得x1=120,x2=127.:尽可能让学 生得到实惠，.x=120.∴.129-120=9（元）.∴这种跳绳 和排球套装每套应降价9元 9.(1)设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x.由题 意，得32(1十x)2=50,解得x1=0.25=25%,x2=-2.25 (不合题意，舍去).∴·该市参加健身运动人数的年平均增 长率为25%.(2)设购买的这种健身器材的套数为. :240000÷1600=150(套)，.m>100.由题意，得 m(1600-m,00×40=240000,整理，得m2一500m2十 60000=0,解得m1=200,m2=300.:最低售价不得少于 1000元，.1600-m100×40≥1000，解得m≤250. 10 ∴.m=200.∴.购买的这种健身器材的套数为200. 专题特训五一元二次方程的其他应用 1.设这个数的个位数字为x,则十位数字为(x2一1).依题 意有10(x2-1)十x一(10x十x2-1)=9,解得x1=2, x2=-1(负值舍去)，则10(x2-1)十x=10×(4-1)十2= 32..这个两位数是32， 2.(1)设最小数是x,则最大数是x十8.根据题意，得 x(x+8)=180,整理，得x2+8.x-180=0,解得x1=10, x2=一18（不合题意，舍去）..最小数是10.(2)虚线方 框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124. 理由：假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和 能为124，设最小数为y,则另外三个数分别是y十1，y十7， y十8.根据题意，得y(y+8)+y+(y十1)+(y+7)+ (y+8)=124,整理，得y2+12y-108=0,解得y1=6, y2=一18（不合题意，舍去）.·y=6在最后一列，∴.假设 不成立，即虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数 的和不能为124. 3.设每轮中每人必须教会x人.由题意，得1十x十x2= 57,解得x1=7,x2=一8（不合题意，舍去）.∴.每轮中每人 必须教会7人 4.(1)设平均每人每轮转发给x个人.根据题意，得1十x十 1·3x=331,解得x1=30,x2=-33(舍)..平均每人 每轮转发给30个人.(2)由(1)知，平均每人每轮转发30 人，经3轮转发后收到信息的人数为1+30+号×30+ 号×30=331<3000：经4轮转发后收到信息的人数为 1+30+日×30+号 」1×30+27×304=33331>30000， 故若要使收到信息的人数超过3万，需要经过4轮转发. 5.设该兴趣小组的人数为x,则每名同学需送出(x一1)件 礼品.依题意，得x(x-1)=30,解得x1=6,x2=-5(不合 题意，舍去)..该兴趣小组的人数为6 6设该旅游团共有x位游客，依题意，得女一D=45, 解得x1=一9（不合题意，舍去），x2=10..该旅游团共有 10位游客， 7.设共有x支队伍参加比赛，则在小组赛阶段，每个小组 1 ,1、11 有8x支队伍.根据题意，得8×2×8x(8x-1)=48, 整理得x2-8x-768=0,解得x1=32,x2=一24（不符合 题意，舍去).∴.共有32支队伍参加比赛」 8.(1)设AB的长为xm.,篱笆的总长为30m,∴.BC 的长为02m根据题意，得x·02=108,整理，得 2 x2-30x十216=0，解得x1=12,x2=18(不合题意，舍 去).30,2=30业=9.·BC的长为9m.(2)养 2 殖园的面积不能达到100m.理由：假设养殖园的面积能 达到100m.设AB的长为ym,则BC的长为30m根 据题意，得y.30义=10.整理，得y2-30y十400=0. ,·△=（一30）2一4×1×400=一700<0，..原方程没有实 数根..假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m. 综合与实践2制定芯片生产线的扩充方案 任务一：设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为 r.根据题意，得200(1十r)=288,解得r1=0.2=20%, r2=一2.2（不符合题意，舍去），.第一季度到第三季度生 产量的每季度增长率为20%.任务二：设增加x条生产 线，则每条生产线产能为(300一20x)万颗/季度.根据题 意，得(1+x)(300-20x)=1200,整理得x2-14x+45= 0,即(x一5)(x一9)=0，解得x=5或x=9.:在增加产 能同时要节省投人成本，.x=5.∴.应增加5条生产线. 第二章拔尖自主测评 1.B由题意得，“口”中必须含有x2项，只有选项B符合 题意。 2.C由题意，得a2一2a=1,配方得(a一1)2=2，即a 1=士2，∴.a1=2+1,a2=一√2十1.a是正数，∴.a的值 为2+1. 3.Cm-2n=3,∴.△=(-m)2-4(-n2+mm+1) m2+4n2-4m-4=(m-2n)2-4=32-4=9-4=5>0. .原方程有两个不相等的实数根 4.D依题意，得1十x十x2=91,整理得x2+x一90=0， 解得x1=9,x2=一10（不合题意，舍去），即x的值为9. 5.A由题意，得m十m2=56,整理得m2+m-56=0,解 得m1=7,m2=一8（不符合题意，舍去），即m的值是7. 6.C,a,b是一元二次方程2.x2+3.x一1=0的两个实 2ab=1 数根，2a2+3a-1=0,a+b=-3 2.2a+ .原式=ab+26+2a+3=ab+2(a+b)+3= 31 -2+2x(-)+3=-2 7.C设每天“遗忘”的百分比为x.由题意，得(1一x) 合解得1= 2-√2 2,x2= 2+2(不合题意，舍去)， 2一2≈0.293.每天“遗忘”的百分比约为29.3%. 2 2 8.C由题意，得a+b=-2m-3,ab=m2,(2m+3)2- 4m2、0.m之-六：a十b=-1,·a十b =-1. 4 ab .a十b=-ab..-2m-3=-m2,解得m=-1(不合题 意，舍去)或m=3..m的值为3. 9.3由条件可知k2一3k+1=1,解得k=0或k=3.,·k≠ 0,.k=3. 10.0或一0.5由条件可知x⊕(x十1)=x(x十1)+x2, .x(x+1)+x2=0..2x2+x=0.∴x(2x+1)=0. .x=0或x=-0.5. 11.1.5或5.5解方程x2一2x=0,得x=0或x=2. ,关于x的一元二次方程x2-2x=0与x2+2x-2m十 3=0为“友好方程”，，.-2m十3=0或4十4一2m+3=0. .m=1.5或m=5.5.,方程x2+2x-2m+3=0有实 数根，.22-4(-2m十3)≥0，解得m≥1.∴.m=1.5或 m=5.5. 12.36÷1=6(s),8÷2=4(s),.0≤1≤4..点D 始终在边AC上.∴.CD=tcm,BE=2tcm..AD=AC CD=(6-t)cm,CE=BC-BE=(8-2t)cm.根据题意，得 号AD·CE=日×3Ac·BC,即26-08-2) 1 gX2×6×8,整理，得2-101+21=0，解得4=3,2 7(不合题意，舍去).∴.t=3. 13.70设将这批水果存放x天后一次性出售.由题意，得 (10十0.1x)(5000-10x)-5000×10-200x=9100,整理 得x2-200.x+9100=0,解得x1=70,x2=130>120(舍 去).∴.存放70天后一次性出售所得利润为9100元. 14(1)x1=2,x2=4.(2),=3+3, 2，x2= 3-√13 2· (3)无实数根. 15.(1).x=一1是一元二次方程b(x2-1)十2a.x十 c(x2+1)=0的根，.-2a十2c=0..a=c..△ABC 为等腰三角形.(2)：b(x2-1)十2a.x十c(x2+1)=0, ∴.(b十c)x2十2a.x+(c-b)=0.:方程有两个相等的实 数根，.△=4a2十4(b十c)(b-c)=0..a2十b2=c2. .△ABC为直角三角形 16.(1)是.由题意，：x2+14x+33=0,.(x+3)(x+ 11)=0.x1=-11,x2=-3,且x1<x2<0.又9=