2.2 第3课时公式法与根的判别式-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第3课时公式法与根的判别式 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,若工=2士④4X3(是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是 () 2×3 A.3x2+2x-1=0 B.2x2+4x-1=0 C.-x2-2x+3=0D.3x2-2x-1=0 2.一题多解若关于x的一元二次方程x2十2x十a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（) A.3 B.2 C.1 D.0 3.方程2x(x一3)=7化成一般形式为 ,用公式法解此方程时，b2一4ac= x1= x2= 4国题[2025广元中考]若关于：的-元二次方程a-10x2+(a-1x一号0有两个相等的实 数根，则a= 5.*用公式法解下列方程： (1)3x2=2-5x. 3 (2)9y2-4y=1. (3)x(x+2√2)+2=0. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.若关于x的一元二次方程(a一1)x2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是 () A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 7.易错题若关于x的方程(k一1)2x2+(2k十1)x+1=0有实数根，则k的取值范围是 A.k>且≠1 B.k>4且k≠1 ck号 D.z 8.[2025张家口宣化期中]如图，在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,先以顶点B为圆心，以边AB 为半径作弧交对角线BD于点E,再以顶点D为圆心，以边AD为半径作弧交对角线BD于点 F,则方程x2+2a.x=b2的一个正根是 () A.线段BD的长 B.线段BF的长 C.线段DE的长 D.线段EF的长 y=kx+b (第8题) (第9题) 9.数形结合思想一次函数y=kx十b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2十bx一kb=0的 根的情况是 28 第二章一元二次方程 10.已知关于x的一元二次方程a.x2+bx十c=0,有下列结论：①若a+b十c=0,则b2-4ac≥0； ②若方程ax2十c=0有两个不相等的实数根，则方程a.x2+bx十c=0必有两个不相等的实数 根，③若c是方程ax2十bx十c=0的一个根，则一定有ac十b+1=0成立；④若x1是一元二次方 程a.x2+bx十c=0的一个根，则b2一4ac=(2ax1+b)2.其中，正确的有 (填序号)： 11.考向1新定义题定义：若关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0满足b=a十c,则称该方程为 “和谐方程” (1)有下列方程：①x2+2x+1=0;②x2-2x十1=0；③x2-x-2=0:④x2+x=0.其中，属 于“和谐方程”的是 (填序号) (2)求证：“和谐方程”总有实数根. 12.已知关于x的方程(m一1)x2-2mx+m+1=0. (1)求证：无论常数m取何值，方程总有实数根. (2)当整数m取何值时，方程有两个整数根？ 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 13.如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的 墙长为60m),其他的边用总长72m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个出口（出口的门也由 栅栏构成，当栅栏门合上时，栅栏门与垂直于墙的栅栏外围紧密连接)，不锈钢栅栏状如“山”字形. (1)若矩形车棚ABCD的面积为285m,试求出自行车车棚的边BC和AB的长 (2)为尽可能容纳更多的自行车，自行车车棚ABCD的面积能否拓展为450m?如果能，请你 给出设计方案；如果不能，请说明理由， 60m B (第13题) ●“答案与解析”见P19 29第3课时公式法与根的判别式 1.D由求根公式得a=3,b=一2，c=一1，.这个一元二 次方程可以是3x2一2x-1=0. 2.D解法一：根据题意得△=22-4a>0,解得a<1,∴.a 可以取0.解法二：把选项的数分别代入，再判断根的 情况 32x2-6r-7=0923+V233-V23 2 2 2x(x 3)=7,∴.2x2-6.x-7=0.∴.a=2,b=-6,c=-7. .△=b2-4ac=36-4×2×(-7)=92>0..x= 6±2西_3±，四3+，因 4 2 2 232 2 4.-1,关于x的一元二次方程(a-1)x2十(a一1)x 2=0有两个相等的实数根，.4=(a-1)2-4×(a Dx(-) =0,解得a1=1,a2=-1.a-1≠0，∴.a≠ 1..a=-1. 易错警示 忽略二次项系数不为0而致错 根据一元二次方程有实数根求字母的取值范围时， 若二次项系数中含有字母，则需要考虑两个限制条件： 一是二次项系数不为0，二是根的判别式大于或等于0. 否则会造成解答不全， 51)1=-2,2=} 3· (2)y1=4+22 3 ,y2= 4-√22 3 (3)x1=x2=-√2. 方法归纳 用公式法解一元二次方程的两个注意点 用公式法解一元二次方程是配方法的深入，是将配 方法一般化、模型化.用此方法需要注意：(1)必须先把 方程化为一般形式，以便准确确定α，b,c的值：(2)用公 式法解方程的条件是△=b一4ac≥0，其中当△=b2 4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根，注意一元二次方程若有 根，就有两个，不要把两个相等的根当成一个」 6.C根据题意，得△=22-4×(a-1)×1≥0，且a-1≠ 0,解得a≤2且a≠1. 7.D 思路导引 当k-1=0时 当k-1≠0时 一元一次方程 一元二次方程 方程有实数根 方程为3x+1=0 A≥0 方程有根 k子且 找出k的取值范围 当k一1=0，即k=1时，方程为3x十1=0，显然有解.当 k一1≠0，即k≠1时，此方程为一元二次方程.，关于x的 方程(k一1)2x2+(2k十1).x十1=0有实数根，∴.△=(2k+ 1D2-4Xk-1)×1=12k-3≥0，解得≥，综上所述， k的取值范围是≥子 易错警示 想当然地认为方程为一元二次方程导致漏解 解答根据整式方程有实数根求字母的取值范围的 题目时，若题目中未说明方程是一元二次方程，则要分 两种情况讨论：一是考虑方程为一次方程；二是考虑方 程为二次方程，以避免解答不全，导致错误」 8.C由条件可知CD=AB=a,BC=AD=b.在 Rt△BCD中，由勾股定理得，BD=√BC2+CD= √b+a,∴.DE=BD-BE=BD-AB=√b2+a- a.解方程x2+2ax=b2,得x=一2a±4a+46 2 -a士√b2+a2,∴.线段DE的长是方程.x2+2a.x=b2的 一个正根， 9.有两个不相等的实数根由所给一次函数的图象可知， k<0,b<0.,关于x的一元二次方程为x2+bx一b=0, .△=b2-4×1×(-kb)=b2+4b.k<0,b<0, .kb>0..△=b2十4kb>0..此方程有两个不相等的 实数根. 10.①②④①若a+b+c=0,则b=-(a十c).∴.b2 4ac=[-(a+c)]-4ac=(a-c)2≥0.故①正确. ②：方程ax2十c=0有两个不相等的实数根，∴.x2 9 -S>0..a,c异号..b2-4ac>0..方程ax2+br十 c=0必有两个不相等的实数根.故②正确.③，·c是方程 ax2+bx+c=0的一个根，∴.ac2十bc十c=0.当c≠0时， ac十b十1=0，故③不正确.④：x1是一元二次方程 ar2+hr十c=0的一个根，：.x=一b±公=4ac,即 2a ±√b2-4ac=2a.x1+b.∴.b2-4ac=(2a.x1+b)2.故④ 正确.故正确的有①②④. 11.(1)①③④.(2)：关于x的一元二次方程a.x2+ bx十c=0为“和谐方程”，.b=a十c..b2一4ac=(a十 c)2一4ac=(a一c)2≥0.∴.“和谐方程”总有实数根. 12.(1)当m一1=0，即m=1时，原方程为-2x+2=0,解 得x=1,∴.当m=1时，原方程有实数根.当m一1≠0，即 m≠1时，，△=(-2m)2-4×(m-1)(m十1)=4>0， ∴.当m≠1时，原方程有实数根.综上所述，无论常数m取 何值，方程总有实数根.(2)：方程有两个整数根，.该 方程为一元二次方程，则m≠1.用公式法解方程得x= 2m±4_m±1 2m=Dm=解得飞1,2号·原方程有 两个整数银知-1+吕为整数m-1=士打 或士2.∴.m=0,2,一1,3.∴当m为0,2，-1,3时，方程 有两个整数根。 13.(1)设AB=xm,则BC=(72-3.x)m.根据题意，得 x(72-3x)=285,整理得x2-24x十95=0，解得x1=5, x2=19.当x=5时，72-3x=72-3×5=57<60,符合题 意：当x=19时，72一3.x=72一3×19=15<60，符合题意， .自行车车棚的边BC的长为57m或15m,AB的长为 5m或19m.(2)不能拓展为450m2.理由：假设能拓展 为450m,设AB=ym,则BC=(72一3y)m.根据题意 得y(72一3y)=450,整理得y2一24y+150=0..△ (-24)2-4×1×150=一24<0，∴.原方程没有实数根. .假设不成立，即自行车车棚ABCD的面积不能拓展为 450m2. 第4课时因式分解法 1.C移项得x(x一1)一x=0,因式分解得x(x一2)=0， .x=0或x-2=0,解得x1=0,x2=2. 2.D原方程可化为x2一3x=0,因式分解得x(x一3) 0,解得x1=0,x2=3. 1 3.②x1=-4,x2=-2 题图中展示解方程的步骤，他 是在第②步开始出错的，错误的原因是等式的两边同时除 以(x+40,而(z+4)可能为0，故1=一4，x2三2· 4.2落回地面时10x一4.9x2=0,解得x1=0(不合题意 合去)。-g2物体经过的约2：落回地面。 5Dy=0=-子.2)4=3，=号 7 (3)解法一：两边开方，得2(2x一1)=士3(x十4)，即2(2x 1)=3(x十4)，2(2x-1)=-3(x十4)，解得x1=14,x2 10 一7.解法二：移项，得4(2x-1)2-9(x十4)2=0，因式 分解，得2(2x-1)+3(x+4)][2(2x一1)-3(x+4)] 0,即(7x+10)(x-14)=0,∴.7x+10=0或x-14=0,解 得1=14，=9.(4)1=2=-2 6.B根据题意知x2+px一6=(x十3)(x一2)，则x2十 px-6=x2+x-6,.p=1. 7.B(x-1)(x-2)=x-2,移项得(x-1)(x-2)一 (x-2)=0,分解因式得(x-2)(x-2)=0,解得x1=x2= 2:对于方程，当x一2≠0时，两边除以(x一2)，得x一1= 1,即x=2:当x一2=0时，x=2,方程成立 8.答案不唯一，如x2一x一2=0两个实数根分别为2和 一1的一元二次方程为a(x一2)(x十1)=0，∴.这个方程 可以是x2-x-2=0. 9.一2根据题意，得x2十2x一(3x十1)=5，整理得x2 x-6=0,(x-3)(x十2)=0，x-3=0或x十2=0， ∴.x1=3,x2=一2.当x=3时，3x十1=10>0，舍去..x 的值为一2 10.1或4x☒k=0,(x一k)2一k=0,.x=2是这个方 程的一个根，.(2一k)2一k=0.整理得k2一5k十4=0，解 得k1=1,k2=4. 11..x2-9x十20=0可化为(x-4)(x一5)=0，.∴.x一 4=0或x-5=0,解得x1=4,x2=5.当菱形边长是4时， :4十4=8，∴.不能组成三角形.∴.该菱形的边长是5.连 接AC,交BD于点O,在菱形ABCD中，：AC⊥BD, OD=2BD=4.0A=AD2-0D=V5-4=3.