浙江省嘉兴市北京师范大学南湖附属学校2026-2027学年八年级数学上学期阶段性当堂练练习卷

《2026年八上北师大第一次月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B A 0 11·如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 12.AD=CE或∠ACD=∠B 13.15m2 2 14.8或6 15.36/36度 16.20°，27.5°或35° 17.(1) 证明：BE⊥CD于点E, ∴.∠DEA=∠BEC=90° '在Rt△BCEC与Rt△DAE中 乙 '.Rt△BCE≌Rt△DAE(HL) (2) 垂直关系，理由如下！ BE⊥CD于点E, ∴.∠DEA=∠BEC=90°， ·:Rt△BCE≌Rt△DAE(HL), .∴.∠B=∠D ·:∠D+∠EAD=90°，∠EAD=∠FAB ∴.∠B+∠FAB=90° DF⊥BC. 18 ①如图，CE即为所求： ②如图，AF即为所求： 答案第1页（共4页） 8 9 10 D A B 19.见解析 20.(1)50: (2)AB=AC,AD⊥BC于点D, ∴.∠BAD=∠CAD :EF∥AC ∴.∠F=∠CAD, .∠BAD=∠F ..AE=FE. 21.(1) 证明：△ABC是等边三角形，E是AB的中点， ∴.∠ACB=∠ABC=60°，CE平分∠ACB,AE=BE ∴.∠ECB=30°， .EC=ED ∴.∠D=∠ECB=30 .∠BED=∠ABC-∠D=60°-30°=30° ∴.∠BED=∠D=30, .BD=BE=AE; (2) 解：BD=AE,理由如下： 过E作EF‖BC交AC于F, 答案第2页（共4页） B D .∠AFE=∠ACB :△ABC为等边三角形 ∴.∠A=∠ACB=∠ABC=60°，AC=AB ∴.∠A=∠AFE=60° ∴△AEF为等边三角形 ∴.AF=AE=EF ∴.CF=BE EC=ED ∴.∠ECB=∠D ∴.∠FCE=∠ACB-∠ECB=60°-∠ECB;∠BED=∠ABC ∴.∠FCE=∠BED 在△CFE和△EBD中， G ∴.△CFE≌△EBD ∴.EF=BD .EF=AE ∴.BD=AE 22.(1)10°. ②∠0号(4043) 证明：AE平分∠BAC ∠BAE=1(180°-∠B-∠C)=90°-1（∠C+∠B), ∠AEC为△ABE的外角 LAEc=∠B+90-(2c∠)=03（∠B-∠C), FD⊥BC, .∴.∠FDE=90° 答案第3页（共4页） ∠D=60°-∠D ∠EFD=90.80-3(∠B-∠c). ∠EFD=(LC-∠B); (3)∠EFD=(∠C-∠B) 23.(1)见解析 (2)见解析 (3)5 答案第4页（共4页）八年级（数学)阶段性当堂练练习卷 一、单选题 1.现有长度为2cm和4cm的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是() A.1cm B.2cm C.4cm D.6cm 2.能说明命题对于任何实数a,|a=a”,是假命题的一个反例可以是（) A.a=-2026 B.a=0 C.a=V2026 D.a=2026 3.下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是() B E A B. E B C D. 4.下列关于全等三角形的说法不正确的是( ) A.能完全重合的两个三角形是全等三角形 B.全等三角形的对应角相等 C.两个全等三角形的周长相等 D.两个等边三角形一定是全等三角形 5.将一块含45°角的直角三角尺和直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为() A.1659 B.166° C.139° D.121° 6.如图，在△ABC和△DEC中，己知CB=CE,还需添加两个条件才能使△ABC兰△DEC,不能添加的一 组条件是() 试卷第1页（共5页） B A.AC=DC,AB=DE B.∠ACD=∠BCE,∠B=∠E C.AB=DE,∠B=∠E D.AC=DC,∠A=∠D 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是() A.70 B.110° C.70°或110° D.20°或160° 8.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D,垂足为E,M为DE上任意一点，BA=3,AC=4,BC= 6.则△AMC周长的最小值为() E D A.7 B.6 C.9 D.10 9.如图，在△ABC中，S△ABC=21,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E为AD的中点.连接BE,点F为BE上 一点，且BF=2EF.若S△DEF=2,则AB:AC=() A.手 B. c. D.月 10.如图，在△ABC中，LABC和LACB的平分线相交于点G,过点G作EFIBC交AB于E,交AC于F,过 点G作GD1AC于D,下列五个结论：其中一定正确的结论有()个. ①EF=BE+CF:②BG=CG;③LBGC=90°+∠A;④点G到△ABC各边的距离相等；⑤设GD=m, AE+AF=n,则S△AEF=mn, 试卷第2页（共5页） A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 11.将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果...…那么..的形式为 12.如图，C是AB的中点，CD=BE,请添加一个条件 ,使△ACD兰△CBE. B E 13.如图，点P是∠BAC的角平分线上一点，PH1AC于H,且PH=3cm,AB=5cm,则△APB的面积是 B H 14.已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和12cm两部分，则这个等腰三角形 的腰长为 cm. 15.如图，若AB=AC,BG=BH,AK=KG,则∠BAC= B 16.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=110°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC 的角平分线交BC边于点G,连接FG.LBAD=O,当0的值等于时，△DFG为等腰三角形. A B D G 三、解答题 试卷第3页（共5页） 17.己知：如图，BELCD于点E,BE=DE,BC=DA. B A E (I)求证：△BCE≌△DAE; (2)判断DF与BC的位置关系，并说明理由. 18.如图所示，己知△ABC,用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①LC的角平分线CE: ②BC边上的中线AF. B 19.在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分LABC,且分别交CD,AC于点F,E.求证： CE=CF E F A D 20.如图，在△ABC中，AB=AC,ADLBC于点D. (1)若∠C=40°，求LBAD的度数； (2)若点E在边AB上，EF刚AC交AD的延长线于点F,求证：AE=FE. A E 21.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A,B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED 试卷第4页（共5页） B B D 图1 图2 (1)如图1，若点E是AB的中点，求证：BD=AE, (2)如图2，若E不是AB的中点，(1)中的结论“BD=AE能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数 量关系，若成立，请说明理由， 22.在△ABC中，∠C>∠B,AE平分∠BAC,F为射线AE上一点（不与点E重合），且FDLBC于D: (1)如果点F与点A重合，且LC=50°，∠B=30°，如图1，求LEFD的度数： (2)如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠BFD与∠C-∠B有怎样的数量关系？并说明 理由. (3)如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与LC-∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由. A(F) E D C B ED E 图1 图2 图3 23.问题：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD1BC于点D,可知∠BAD=∠C(不需要证明)： M M B B 图① 图② 图③ 图④ (1)探究：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB=AC, CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明：△ABD兰△CAF; (2)证明：如图③，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在LMAN内部的射线AD上，∠1、L2分别是△ABE、 △CAF的外角.己知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证：△ABE兰△CAF; (3)应用：如图④，在△ABC中，AB=AC,AB>BC,点D在边BC上，CD=2BD,点E、F在线段AD上， ∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 试卷第5页（共5页） 八年级（数学）阶段性当堂练练习卷 一、单选题 1．现有长度为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．能说明命题“对于任何实数，”，是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 3．下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（    ） A． B． C． D． 4．下列关于全等三角形的说法不正确的是（　　　） A．能完全重合的两个三角形是全等三角形 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的周长相等 D．两个等边三角形一定是全等三角形 5．将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 8．如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为为上任意一点，，．则周长的最小值为（    ） A．7 B．6 C．9 D．10 9．如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（     ）个． ①；②；③；④点G到各边的距离相等；⑤设，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 12．如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 13．如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 14．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，则这个等腰三角形的腰长为__________． 15．如图，若，，，则________    16．如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于______时，为等腰三角形． 三、解答题 17．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE＝DE，BC＝DA． (1)求证：△BCE≌△DAE； (2)判断DF与BC的位置关系，并说明理由． 18．如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线．    19．在中，，为边上的高，平分，且分别交，于点F，E．求证：． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE．                               21．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D； （1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 23．问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 试卷第2页（共5页） 试卷第3页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（数学）阶段性当堂练练习卷 一、单选题 1．现有长度为和的两根小棒，在下列长度的小棒中，能与这两根小棒首尾相连构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，比较两较短的小棒的长度之和与较长小棒的长度的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，符合题意； D、，不能构成三角形，不符合题意； 故选C 2．能说明命题“对于任何实数，”，是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得出答案． 【详解】解：∵，即此时不满足， ∴能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是， 故选：D． 3．下面四个图形中，线段BE能表示三角形ABC的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的高的定义(从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和它对边垂足之 间的线段称为三角形这条边上的高)即可得。 【详解】由三角形的高的定义可知，只有选项B中的线段BE能表示三角形ABC的高 故选：B． 4．下列关于全等三角形的说法不正确的是（　　　） A．能完全重合的两个三角形是全等三角形 B．全等三角形的对应角相等 C．两个全等三角形的周长相等 D．两个等边三角形一定是全等三角形 【答案】D 【详解】A正确，全等三角形的定义； B正确，“全等三角形的对应角相等”这是全等三角形的基本性质； C正确，“两个全等三角形的周长相等”全等三角形对应边相等，因此周长相等； D错误，“两个等边三角形一定是全等三角形。”等边三角形的三个角都是60度，但边长可能不同，因此不一定全等，例如边长为2厘米和3厘米的等边三角形不全等，因此此说法不正确。． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形，解题的关键是掌握全等三角形的定义和性质． 5．将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质；由平行线的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质，三角形外角的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得：， ， ， ， ， 故选：A． 6．如图，在和中，已知，还需添加两个条件才能使，不能添加的一组条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的全等判定，关键在熟练掌握各判定定理的条件和方法．依据三角形全等判定的定理（、、、），即可． 【详解】解： ，， ，故A不符合题意； ， ， ， ，， ，故B不符合题意； ，， ，故C不符合题意； 根据，，不能使得，故D符合题意； 故选：D． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角． 【详解】解：（1）当顶角是锐角时，如图， ∵是的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是锐角时，顶角的度数是；    （2）当顶角是钝角时，如图， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是钝角时，顶角的度数是， 综上所述，等腰三角形的顶角为或． 故选：C．    8．如图，在中，的垂直平分线交于点D，垂足为为上任意一点，，．则周长的最小值为（    ） A．7 B．6 C．9 D．10 【答案】D 【分析】连接，根据垂直平分线的性质可得，根据周长为即可求解 【详解】连接，如图， 是的垂直平分线 周长为 当与点重合时候，周长取得最小值，最小值为的长 周长的最小值为 故选D 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，根据轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． 9．如图，在中，的平分线交于点，点为的中点．连接，点为上一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是正确地作出辅助线． 根据三角形等高模型及，，求出，同样根据点为的中点，求出，过作于，于，根据的角平分线交于点D，将转化为三角形的面积的比即可求解． 【详解】解：，， ， 点为的中点， ， ， ， 过作于，于， 是的角平分线， ， ， 故选A 10．如图，在中，和的平分线相交于点G，过点G作交于E，交于F，过点G作于D，下列五个结论：其中一定正确的结论有（     ）个． ①；②；③；④点G到各边的距离相等；⑤设，，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤错误． 故选：B． 二、填空题 11．将命题“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_____________________. 【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论． 【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行 【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 12．如图，C是的中点，，请添加一个条件________，使． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，是解决问题的关键． 要使，已知，，则可以添加一对边，从而利用来判定其全等，或添加一对夹角，从而利用来判定其全等（填一个即可，答案不唯一）． 【详解】解：∵C是的中点， ∴， ∵， ∴添加或， 可分别根据判定（填一个即可，答案不唯一）． 故答案为：或． 13．如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，且，， ∴， ∴， ∴的面积是． 14．已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，则这个等腰三角形的腰长为__________． 【答案】8或6 【分析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，列方程解得即可． 【详解】解：设腰长为xcm，底为ycm， 根据题意可知：x-y=12-9=3（cm）或y-x=12-9=2（cm）， ∵周长为21，即x+x+y=21， 当腰长大于底边时，即x-y=3，可解得：x=8，y=5， 此时三角形的三边为8，8，5，满足三角形的三边关系； 当腰长小于底边时，即y-x=3，可解得：x=6，y=9， 此时三角形的三边为6，6，9，满足三角形的三边关系； 综上可知，三角形的腰长为8或6cm， 故答案为：8或6. 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 15．如图，若，，，则________    【答案】/36度 【分析】设，根据等腰三角形的性质得出，，得出，求出x的值即可． 【详解】解：设， ， ∴， ， ∴， 在中，， ∴， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，解题的关键是根据列出关于x的方程． 16．如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接．，当的值等于______时，为等腰三角形． 【答案】，或 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理， 先根据轴对称得，进而得，再证明，即可得，然后求出，接下来分三种情况讨论解答即可：当时，可求，再根据，可得答案；当时，可求，根据三角形内角和定理得出答案；当时，可求，再根据三角形内角和定理得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∴. ∵平分， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 当时， ∴. ∵， ∴， 解得； 当时， ∴. ∵， ∴， ∴， 解得； 当时， ∴， ∴， ∴， 解得. 当，或，为等腰三角形. 故答案为：，或. 三、解答题 17．已知：如图，BE⊥CD于点E，BE＝DE，BC＝DA． (1)求证：△BCE≌△DAE； (2)判断DF与BC的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵BE⊥CD于点E， ∴， ∵在Rt△BCE C与Rt△DAE中， ， ∴Rt△BCE≌Rt△DAE（HL）， (2) 垂直关系，理由如下： ∵BE⊥CD于点E， ∴， ∵Rt△BCE≌Rt△DAE（HL）， ∴∠B=∠D， ∵∠D+∠EAD=90°，∠EAD=∠FAB， ∴∠B+∠FAB=90°， ∴DF⊥BC． 【分析】（1）利用HL证明Rt△BCE与Rt△DAE全等； （2）由△BCE≌△DAE可得∠B=∠D，进而由∠D+∠EAD=90°可得∠B+∠FAB=90°，从而得出DF⊥BC． 【详解】（1）略． （2）解：略． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全等是解题的关键． 18．如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线．    【答案】 ①如图，即为所求： ②如图，即为所求：    【分析】①以点C为圆心，任意长为半径画弧交、于点M、N，分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点E，则线段即为所求； ②作的中垂线，交于点F，连接，即为所求 【详解】略 【点睛】本题考查作图－复杂作图，熟练掌握角平分线，线段的垂直平分线的尺规作图方法是解题的关键． 19．在中，，为边上的高，平分，且分别交，于点F，E．求证：． 【答案】见解析 【分析】先判断出，再判断出，进而得出，再用三角形的外角即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的高的意义，三角形的外角的性质，判断出是解本题的关键． 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D． （1）若∠C＝40°，求∠BAD的度数； （2）若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F，求证：AE=FE．                               【答案】（1）50°； （2）∵AB=AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD， ∵EF∥AC， ∴∠F=∠CAD， ∴∠BAD=∠F， ∴AE=FE． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD，根据三角形的内角和即可得到∠BAD=∠CAD=90°-40°=50°； （2）根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠CAD根据平行线的性质得到∠F=∠CAD，等量代换得到∠BAD=∠F，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC于点D， ∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°， 又∠C=40°， ∴∠BAD=∠CAD=90°-40°=50°； （2）略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 21．在等边中，点E是上的动点，点E与点A，B不重合，点D在的延长线上，且． (1)如图1，若点E是的中点，求证：． (2)如图2，若 E不是的中点，（1）中的结论“”能否成立？若不成立，请直接写出与的数量关系，若成立，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形，E是的中点， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 解：，理由如下： 过E作交于F， ∴ ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用等边三角形的性质得，平分，，结合等边对等角得，则，即； （2）过E作交于F，结合为等边三角形，证明为等边三角形，则，再整理得，证明，得，故，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点（不与点E重合），且FD⊥BC于D； （1）如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=30°，如图1，求∠EFD的度数； （2）如果点F在线段AE上（不与点A重合），如图2，问∠EFD与∠C﹣∠B有怎样的数量关系？并说明理由． （3）如果点F在△ABC外部，如图3，此时∠EFD与∠C﹣∠B的数量关系是否会发生变化？请说明理由． 【答案】（1）10°． （2）∠EFD=（∠C﹣∠B）， 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）=90°﹣（∠C+∠B）， ∵∠AEC为△ABE的外角， ∴∠AEC=∠B+90°﹣（∠C+∠B）=90°+（∠B﹣∠C）， ∵FD⊥BC， ∴∠FDE=90°， ∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C）， ∴∠EFD=（∠C﹣∠B）； （3）∠EFD=（∠C﹣∠B） 【分析】（1）由三角形内角和定理先求出∠BAC=100°，再根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=50°，根据三角形的外角性质可得∠AEC=80°，再根据直角三角形两锐角互余即可求得∠EFD的度数； （2）根据三角形的外角的性质可以得到∠FEC=∠B+∠BAE，然后根据三角形内角和定理以及角平分线的定义得到∠BAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-（∠B+∠C），求得∠FEC，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠EFD的度数； （3）根据（2）可以得到∠AEC=90°+（∠B-∠C），根据对顶角相等即可求得∠DEF，然后利用直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】（1）∵∠C=50°，∠B=30°， ∴∠BAC=180°﹣50°﹣30°=100°． ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=50°， ∴∠AEC=∠B+∠BAE=80°， 在Rt△ADE中，∠EFD=90°﹣80°=10°； （2）略 （3）∠EFD=（∠C﹣∠B），理由如下： 如图， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=（180°-∠B-∠C）， ∵∠DEF为△ABE的外角， ∴∠DEF=∠B+（180°-∠B-∠C）=90°+（∠B﹣∠C）， ∵FD⊥BC， ∴∠FDE=90°， ∴∠EFD=90°﹣90°﹣（∠B﹣∠C） ∴∠EFD=（∠C﹣∠B）． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键. 23．问题：如图①，在直角三角形中，，于点，可知（不需要证明）； (1)探究：如图②，，射线在这个角的内部，点、在的边、上，且，于点，于点．证明：； (2)证明：如图③，点、在的边、上，点、在内部的射线上，、分别是、的外角．已知，．求证：； (3)应用：如图④，在中，，．点在边上，，点、在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出相等的角，再利用证明三角形全等即可； （2）利用证明三角形全等即可； （3）利用（2）的结论得出全等三角形，然后利用三角形的面积与底边的关系求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； （2）证明：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴； （3）解：同（2）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积之和为5． 试卷第10页（共20页） 试卷第11页（共20页） 学科网（北京）股份有限公司 $