湖南长沙麓山国际实验学校2026-2027学年高一上学期第一次适应性检测数学试题

2026-2027-1高一第一次适应性检测 高一数学试卷 命题人：何嘉宇 审题人：李建华 总分：150分.时量：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：回 答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章《集合》与第二章《不等式》。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分) 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设N为自然数集，集合M={x∈NVx<2,则() A.0eM B.eM C.ReM D.4eM 2.已知集合A={x1<x<},B={x0≤x≤2，则AUB=（) A.{x-1<x<2}B.{x|-1<x≤2} C.{x10≤x<1}D.{x|0≤x≤2} 3.命题“3x∈R,x2-3x+3<0”的否定是() A.x∈R,x2-3x+3>0 B.x∈R,x2-3x+3≥0 G3x∈R,x2-3x+3>0 D.3xeR,x2-3x+3≥0 4.已知f()=x+45+4(x>-)在x=a处取得最小值，则a的值为（) A.-4 B.-3 C.1 D.5 5.若不等式x+1≤a成立的一个充分不必要条件是-3≤x≤4，则整数a的最小值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 数学第1页共4页 6.已知不等式am2+bx+1<0的解集为{xx>1或x<-3},则a+b=（) 41 B.-1 c、3 D.-9 7.已知实数x,y满足4≤x-y≤-1，-1≤4x-ys5,则9x-y的取值范围是() A.[-7,26] B.[-1,20] C.[4,15] D.[,15] 8.为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、 技术培训3类拓展课程.高三某班学生共有32人报名参加拓展课程，其中有10人报名参 加劳动实践，有18人报名参加研学参观，有14人报名参加A1技术培训，同时报名参加劳 动实践和研学参观的有4人，同时报名参加研学参观和AI技术培训的有5人，只参加AI 技术培训的人数为（) A.5 B.6 C.8 D.10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分) 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分， 有选错的得0分。 9.对任意实数abc,给出下列命题，其中真命题是（ A.“a≤b”是“a≤b2的充分条件八 B.“a<1”是“a<0”的必要条件 C.“a=b”是“ac=bc”的充要条件人 D.“a∈Q”是“a+l∈Q”的充要条件 10.下列说法确的是() A.若a<b<0,则a2>ab>b2 B.若a>b>0,则a+上>b+ a b C.若a>b>c,且a+b+c=0,则ab>ac D.若a>b>c>0,则，a>b b+cc+a 数学第2页共4页 11.若正实数x,y满足6x+y=y,则(1 A.y>6 B.有序数对(x,yx,yEN)有4个 C.x+y的最大值为7+2W6 D.的最小值为24 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若2e{1,a2+1,a+1},则a=一 13.已知全集U={x∈N1≤x≤6，集合A={3,4,5,6},B={2,3},则A∩CyB的真子集 个数为· 14.若关于x的不等式2x2+(2a-7)x-6a<0的解集中恰好有两个整数，则实数a的取值 范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本、据市场调查，杂志的单价每 提高1元，销售量就减少0.2万本，假定杂志的成本是每本10元（不计其他成本）. (1)当杂志以每本30元定价销售时，求销售该杂志所获利润： (2)在每本25元的价格的基础上提高定价，试确定杂志的定价在什么范围内可使得销售利 润不低于140万元. 16.已知集合A={x|x≤-3或x≥-1}，B=x2m<x<m-1}, (1)若m=-5,求AnRB; (2)若AUB=A,求m的取值范围 数学第3页共4页 17.己知a∈R,命题p:方程x2-2x+a=0无实根：命题9对任意x∈R,不等式 m2-m+1>0恒成立. (1)若P为真命题，求a的取值范围： (2)若P9中有且只有一个为真命题，求a的取值范围， 18.已知f(x)=x2+(a-1)x-a. (1)若f)<0的解集为Q,2),求关于x的不等式+≤0的解集： (2)解关于x的不等式f(x)≥0. 19.对于由n个正整数组成的集合A,记S(A为集合A中厮有元素的和 定义：若对任意不大于S(A)的正整数飞，都存在A的子集A',满足S(A)=飞，则称集合 A为“完全集合”. (1)判断{1,2,4}，{1,3,5}和{1,2,3,6是否为完全集合（无需证明)： (2)若A是完全集合，且S(A)=100,求A中的元素个数的最小值： (3)设所有满足(M)=100的完全集合M的个数为N,证明：N≤29 数学第4页共4页 ■ 方N内用无 2026-2027-1高一第一次适应性检测 15.(13分) 16.(15分) 数学答题卡 姓名： 班缓： 考场/座位号： 注意事项 1答圈情情将姓名。出我。考场、准专证号填写清楚 上客观愿荐远。多须使用泊后笔角途，设时用使皮 贴条形码区 南干清 1主观烟菩题。必领使用黑色签字笔书写 4华须在近号对应的答圆区城内作答，趣图答题区蛙书 写无教 点保持答卷清语。完整 正填■缺考标☐ 一、单选题（每题5分，共40分） 1 aa可6▣a可 2a▣可7▣a) 3包aD8a▣a可 4四m▣ 5▣可a 二、多选思（每题6分，共18分） 9四a) 10四四a 11▣a回 三、填空题（每题5分，共15分） 14 通在高的苏区成内由添，电生典年雨边型安以道的作式片 请在各■中的养碧风城内作若，更面里色影有山量度城的首重上进 ▣▣▣■ ▣▣▣■ ▣▣▣■ ■ ■ ■ 南C内K上豆 N在春和精超K内，用四n初无我 R6同c丙aaa 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 萌春齐养区硅片n格，中口k比M后无日 位新工方（功州桥，电用物特室毛数 ◆ 00■0 口口■口 ▣▣■口2026-2027-1麓山国际实验学校高一第一次适应性检测 高 一 数学答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 0 B B 0 0 BD ACD 题号 11 答案 ABD 1.D 【分析】利用元素与集合的关系，遂个判断各个选项： 【详解】A选项，0∈N且V0<2,所以0∈M,A选项错误： B选项， EN,所以 2 3EM,B选项错误： C选项，π生N,所以π生M,C选项错误： D选项，4∈N且√4<2不成立，所以4M,D选项正确， 2.B 【详解】由集合A={x-1<x<,B={x0≤x≤2}，则AUB={x-1<x≤2}： 3.B 【分析】改量词，否结论，直接写出命题的不定即可。 【详解】命题“3x∈R,x2-3x+3<0”的不定是“Vx∈R,x2-3x+3≥0”. 4.B 【解1=x45+52+41=3e列 当且仅当x+5= 中5时等号成立， 4 因为x>-5, 所以解得x=-3时等号成立，取最小值，即a=-3. 5.D -1-a≤-3 【分析】解|x+1a,得-1-a≤x≤-1+a,由题意可得 -1+a之4，求解后再验证即可。 【详解】若a<0,则不等式x+≤a无解，不符合题意； 若a≥0，由x+1≤a,得-1-a≤x≤-1+a, 因为不等式x+≤a成立的一个允分不必要条件是-3≤x≤4， 答案第1页（共8页） -1-a≤-3 所以 +上4，等号不同时成之，解得0≥5， 当a=5时，由x+1≤5，得-6≤x≤4， 因为{x-3≤x≤4}为{x6≤x≤4}的真了集， 则-3≤x≤4是不等式x+1≤5成立的允分不必要条件，符合题意，所以a≥5， 故整数a的最小值为5. 6.B 【详解】由不等式ax2+bx+1<0的解集为{xx>1或x<-3, 则a<0,且方程x2+bx+1=0的两根为1和-3. 1+(-3)=-6 a=- 则由韦达定理有 a 3 ,解得 1 2 1×(-3)= b=- a 3 12 所以a+b= =-1 33 7.B 【分析】根据题意设9x-y=m(x-y)+n(4x-y)求得m,n的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【详解】设9x-y=m(x-y)+n(4x-y)=(m+4n)x-(m+n)y, 5 m+4n=9 m=- m+n=1’解得 3 则 n-8,所以9g-=c-功+4x- n=- 3 又-4≤x-y≤-1，-1≤4x-y≤5， 所以3s-36x-)s20,-8≤8（4x-)s 3 3 333 3 所以9g-y=高c-+4-功eL20 故选：B. 8.C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参州的人数为x、只参加芳动实战 和AI培训的人数为y,根据总人数列方程化简得y=1,再结合A1培训的总人数，算出只参加AI培训的人 数。 【详解】设3类课程全参加的有x人，同时只参加劳动实践和A1技术培训的有y人， 列出韦恩图，则(6-y)+(4-x)+x+y+(9+x)+(5-x)+(9-y)=32, 答案第2页（共8页） 劳动实践4-研学参观 6-y x 、9+x 5-x AI技术培训 9-y 可得y=1,则只参加A1技术培训的人数为9-y=8人. 9.BD 【详解】当a=-3,b=2时，满足a≤b,但a2>b2,所以由“a≤b”推不出“a2≤b2”, 则“a≤b不是“a2≤b2”的充分条件，枚A错误： 若“a<0”,则一定有“a<1”, 所以“a<I”是“a<0”的必要条件，故B正确； 当a=1,b=-1,c=0时，满足ac=bc,但a≠b, 所以“a=b”不是“aC=bc”的充要条件，故C错误： a∈Q台a+1∈Q,所以“a∈Q”是“a+1∈Q“的允要条件，故D正确. 10.ACD 【分析】利用作差法，和不等式的性质即可判断选项. 【详解】A.,a<b<0,.不等式同乘以a可得a>ab, 不等式同乘以b可得ab>b2,即a2>ab>b2，A正确. B取a-号办~写时，此时a+。b+日B错说 C.:a>b>c,且a+b+c=0,∴.a>0,即ab>ac,CF确. Dcte-%8s6ses0 ∴.a-b>0,b+c>0,a+c>0,a+b+c>0, i.a>b b+cc+a ，D正确 11.ABD 【分析】A选顶，利用x>0,6=1-<1即可：B选项，利用x=上=1+6 yx y-6二6及xy∈N即可写出企 6.1 部有序数对(x,y)x,y∈N):C选项，利用x+y=(x+y)口+一即可计算x+y的最小值：D选项利用 v x 6x+y≥2√6xy即可计算y的最小值. 答案第3页（共8页） 【详解】由正实数x,y满足6x+y=”,得+=1 对于选项A,由x>0,得>0，期1-<1，所以=1-<1，所以y>6,故A正确： 对丁选项B,由。+=1得x= 61 y x 61+6 y-6 引+y-6,因为xyeN,所以y-6是6的正约数.因为6的正约数为 1,2,3,6,所以y的值对应为7,8,9,12.所以有序数对为(7,7)，(4,8)，(3,9)，(2,12)共4个，故B正确： 6 对打选项,+y=(+7+g+7+2是7+26，当且仅当 yx即 6,1 +-=1 时等号成立，故C错误： 6x=y 「x=2 对于选项D,因为6x+y≥2√6y,当且仅当 6+-1即-12 等号成立，所以y≥26，得xy≥24， y x 故D正确. 12.-1 【分析】由已知可得a2+1=2或a+1=2,求出a值并验证4异性. 【详解】因为2∈1，a2+l,a+1},所以a2+1=2或a+1=2. 若a2+1=2,则a=1或a=-1, 当a=1时，a2+1=a+1=2,不满足集合中元素的互异性： 当a=-1时，a2+1=2,a+1=0,此时2∈1，a2+l,a+l={1,2,0},符合题意： 若a+1=2,则a=1,由上可知，不满足互异性， 综上可知，a=-1. 故答案为：-1 13.7 【详解】集合U={x∈N1≤x≤6={1,2,3,4,5,6， 集合B={2,3}, CB={1,4,5,6}, A={3,4,5,6}, AnC,B={4,5,6},里面有3个元素， 集合有n个元素，真子集个数公式：2”-1， 代入n=3,得23-1=7. 答案第4页（共8页） 4【2 【分析】构造二次函数f(x)=2x2+(2a-7)x-6a,由f(3)<0分类确定不等式的另一个整数解，结合二次 函数性质列出不等式组求解， 【详解】令函数f(x)=2x2+(2a-7)x-6a,二次函数f(x)图象开口向上， 由f(3)=-3<0,得3是不等式f(x)<0的·个整数解， [f0)≥0[f2)20 又不等式f(x)<0的解集巾恰好有两个整数，则{f(2)<0或{f(4)<0, f(4)20f(5)20 [-5-4a20 -6-2a≥0 即 6-2a<0或 4+2a<0,解得-2≤a≤- 4 5≤a≤-3， 或 4+2a≥0 15+4a≥0 所以实数a的取值能用为-？，3U-2-寻 放答案为：宁，-Ur2-身 15.(1)140万元 (2)每本不低于30元且不高于45元 【分析】(1)根据题意直接求解即可： (2)设杂志的定价为每木x元，由题意得8-(x-25)×0.2×(x-10)≥140，进而解不等式即可. 【详解】(1)当杂志以30元定价销售时， 销售该杂志所获利润为：「8-(30-25)×0.2]×(30-10)=140万元. （2)设杂志的定价为每本x元， 由题意，得8-(x-25)×0.2×(x-10)≥140，解得30≤x≤45， 所以杂志的定价在每本不低于30元且不高于45元的范围内，可使得销售利润不低于140万元. 16.(1)(-0,-10U[-6,-3U[-1,+∞) (2)(-0,-2]U[-1,+∞) 【分析】(I)代入m=-5求出集合B,先求B在全集R下的补集，再与集合A取交集得到结果： (2)由AUB=A转化为B≤A,分B=⑦和B≠⑦两类讨论，列出对应不等式组求解m的取值范围. 【详解】(1)当m=-5时，B={x|-10<x<6},CB={x|x≤-10或x之6例 AnB={xx≤-10或-6≤x≤-3或x≥-)（也可写为(-o,-10]小U[-6,-3]小U[-1,+∞）) 答案第5页（共8页） (2)因为AUB=A,所以BSA, 当B=☑时，2m≥m-1,解得m≥-1： 2m<m-12m<m-1 当B≠☑时， 、或 解得m≤-2或m∈☑ m-1≤-3 2m≥-1 所以实数m的范围是(-o,-2小[-1，+∞) 17.(1)a>1 (2)[0,1]U[4,+∞) 【分析】(1)直接根据一元二次方程无实根的条件即可求解： (2)首先根据一元二次不等式恒成立的条件计算出分当9为真命题时，a的范围，然后为P真9假和P假 9真两种情况，最后根据集合的运算即可求解. 【详解】(1)由题意可知△=4-4a<0→a>1. （2)当9为真命题时，即2-+1>0对于任意x∈R恒成立. 当a=0,不等式即为1>0，满足题意： a>0 当a≠0时，则有 a2-4a<0'解得0<a<4 综上所述，当9为真命题时，0≤a<4,则当9为假命题时a≥4或a<0: 由第(1)可知，当P为真命题时，a>1,则当P为假命题时a≤I: 若P、9有且只有个真命题，则P真9假或P假9真 当p真9假时，a的范闹是{aa>}n{da≥4或a<0}={aa24}: 当p假g真时，a的范围是{da≤1}n{a0≤a<4}={d0≤as 所以若p、9有且只有一个真命题，a的范闹是{a0≤a≤U{da≥4}=[0，小U[4,+∞) 18.0 (2) 当a>-1时，xe(-o,-a]U[l,+o): 当a=-1时，xeR 当a<-1时，xe(-o,U儿-a,+o). 【分析】(1)根据·元二次不等式解集与一元二次方程的根的关系求出，代入求解分式不等式即可得答 案 (2)不等式可化为f(x)=(x-I(x+a,分为-a<1,-a=1和-a>1三种情况，分别求解即可. 答案第6页（共8页） 【详解】(1)己知f(x)=x2+(a-1)x-a<0的解集为(1,2)，说明1和2是方程x2+(a-)x-a=0的根. 由韦达定理：x:=C→1x2=0=-a,可得a=-2, 1 将a-2不式0.得2s0-23。s0. x-1 x-1≠0 所以x<1或x 3 因此，不等式的解集为（一®小心昼+）】 (2)先对f(x)=x2+(a-1)x-a进行因式分解： f(x)=x2+(a-I)x-a=x2+ax-x-a=x(x+a)-(x+a)=(x-I)(x+a) 即解(x-I)(x+a)≥0，需要根据a的取值分类讨论： (1)当-a<1,即a>-1时，不等式的解为x≤-a或x≥1： (2)当-a=1,即a=-1时，不等式变为(x-)2≥0，解集为全体实数R: (3)当-a>1,即a<-1时，不等式的解为x≤1或x2-a 综上所述：当a>-1时，xe(-o,-aUl,+o):当a=-1时，xeR:当a<-1时，x∈(-o,U儿-a,too). 19.(1){L,2,4}和{1,2,3,6是完全集合，{1,3,5}不是完全集合 (2)A中的元茶个数的最小值为7. (3)对于任意满足S(M)=I00的完全集合M:完全集合必然包含元素1，不则无法表示正整数1： 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于{2,3，，99}，该集合共有98 个元素： 则构造49个两两不交二元组： P={日，100-，i=1,2,3,,49,所以49个两两不交元组为1,99}，{2,98}，…，{49,51}， 定义映射a将每个满足条件的完全集合M映射为集合1={1≤i≤49，P⌒M≠⑦，1是集合{L,2,3,,49} 的一个子集， 每个完全集合M最多从每个二元组P中选取1个元素，因此满足条件的M的总个数不超过每个二元组选或不 选1个元素的总情况数29：N={完全集合M}≤2”，即N≤29. 【分析】(1)根据集合新定义，集合L,3,5}无法表示出正整数2，集合L,2,4}和{1,2,3,6}均可表示所有不 大于自身元素和的正整数，属于完全集合： (2)首先推导元素和的上界，再计算当n=6时和当n=7时是否满足最小元素个数： 答案第7页（共8页） (3)首先推导完全集合的元紫特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【详解】(1)集合{1,2,4}的元素和为1+2+4=7，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义： 同理，集合{L,3,5}的元素和为1+3+5=9，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义：集合{儿，2,3,6}的 元素和为1+2+3+6=12，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. (2)设完全集合A的元茶从小到大依次为a<42<…<an,由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足4=1，此时可表示的最大连续和为1： 为了能连续表示，枚前m个元素的和Sm之am1-l,因此an≤2m-, 当n=6时，S6≤1+2+4+8+16+32=63<100，不符合要求： 当n=7时，取A={1,2,4,8,16,32,37},S(A)=100,且满足完全集合定义，所以A中的元素个数的最小值 为7. (3)略 答案第8页（共8页）