湖南省长沙市长郡中学2026-2027学年高一上学期10月练习数学试题

高一数学10月练习 时量：120分钟　满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的．） 1．（★）设命题p：，，则为 A．， B．， C．， D．， 2．若集合，，则 A． B． C． D． 3．若，则下列不等式正确的是 A． B． C． D． 4．（★）设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是 A． B． C． D． 5．已知，，，则的最小值为 A．5 B．8 C．9 D．10 6．若成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 7．（★）设，则三个数，， A．都大于 B．都小于 C．至少有一个不大于 D．至少有一个不小于 8．已知关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是 A． B． C． D．或 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．（★）下列四个选项中，是的充分必要条件的是 A． B． C． D． 10．设集合，，则 A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 11．下列说法正确的是 A．函数的最小值是2 B．若，，则 C．若，则 D．设，，且，则的最小值是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．（★）设全集，且，若，则________． 13．若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是________． 14．若，，为正实数，，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（★）（本小题满分13分） 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 实数，满足，． （1）分别求实数，的取值范围； （2）求的取值范围． 17．（本小题满分15分） 已知命题p：，为假命题． （1）求实数a的取值集合A； （2）设集合，若，求实数的取值集合． 18．（★）（本小题满分17分） 某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰梯形和两个全等的直角三角形，且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻的三角形和梯形间在水平方向上的留空宽度也都是），设． （1）当时，求海报纸（矩形）的周长； （2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 19．（本小题满分17分） 设正整数可以表示成个正整数，，…，（）之和，且，用所有满足上述条件的数组，，…，组成集合．对于，记（），集合中元素的最大值为． （1）直接写出中的所有元素； （2）对于． （ⅰ）若（），求证：； （ⅱ）直接写出，； （3）求，并写出中相应的所有元素． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学10月练习参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的．） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C B C A D A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 题号 9 10 11 答案 ABC ACD BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．4 13． 14．3 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【解析】（1）当时，， 则． （6分） （2）由知解得， 即实数的取值范围为． （13分） 16．【解析】（1）因为，由，，得， 所以，即， 即实数的取值范围为． （4分） 因为，由，得，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． （8分） （2）设， 则解得 （12分） ， ，， （13分） ，， （14分） ， 即的取值范围为． （15分） 17．【解析】（1）命题，为假命题， 当时，方程为，解得，此时命题为真命题，不符合题意； （3分） 当时，，为假命题等价于一元二次方程无实根， 所以，解得． 故实数的取值集合． （7分） （2）由，得，即． （9分） 因为，所以． （10分） 当时，，解得； （12分） 当时，解得． （14分） 综上所述，实数的取值集合为或． （15分） 18．【解析】（1）设阴影部分直角三角形的高为， 阴影部分的面积，， 又，， （3分） 由图可知，，， （6分） 海报纸的周长为． （8分） （2）由（1）知，，， 则， （14分） 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，， （16分） 故选择长、宽分别为，的矩形海报纸，可使用纸量最少． （17分） 19．【解析】（1）中的所有元素有，． 理由：因为或或或，又要满足，即各项数字乘积大于2， 则中满足的所有元素有，． （3分） （2）（ⅰ）证明：因为，均为正整数，且，所以． 又， 所以． （5分） （ⅱ）由上述不等式可知：固定数组的项数，若其中两个数相差至少2，把较小的数增加1、较大的数减少1，则各项之和不变，而乘积增大．反复调整可知：固定时，乘积最大当且仅当各项之差不超过1． 对于，分别比较不同项数下的最大乘积： 2 3 4 5 对应数值依次为，，，， 当时，， 因此取得最大值的数组为，． （7分） 对于，同理有： 2 3 4 5 6 对应数值依次为，，，，， 当时，最优数组中的各项只能为1或2，故． 因此，取得最大值的数组为和． （9分） （3）设（且），当时， ①，事实上，若存在不大于的正整数，使得，则， 此时， 令， 设，则，这与矛盾，所以； （10分） ②（，，…，），事实上，若存在不大于的正整数，使得， 令（），因为， 所以， 令，， 则，这与矛盾，所以（，，…，）； （12分） ③，，…，中2与4不同时出现．事实上，若2与4同时出现， 设，，， 则，因为，所以将，都换成3得到的更大， 所以，，…，中2与4不同时出现； （14分） ④，，…，中最多有一个4，事实上，，而， 所以，，…，中最多有一个4； （15分） ⑤，，…，中最多有两个2，事实上，，而， 所以，，…，中最多有两个2． （16分） 所以当时，，，或，，或，， 而， 所以， 中相应的元素为，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $