湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期数学第一次月考自编模拟试卷

湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编模拟试卷 数学试题 （范围：人教A版必修1第一章-第二章+3.1） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.集合的元素个数为（） A.2 B.3 C.6 D.18 【答案】B 【解析】由，得，解得，即. 又，故的取值为，分别代入，得对应元素. 因此集合，故的元素个数为. 故选：B. 2.设，若，求实数组成的集合的子集个数有（） A.2 B.3 C.4 D.8 【答案】D 【解析】解方程，得. 由得， 因此或或. 当时，得， 当时， 代入得， 解得， 当时， 代入得， 解得. 实数组成的集合为，该集合共含个元素， 故子集个数为. 故选：D. 3.设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当， 即，此时，满足，符合题意. 当， 即，此时， 由得或. 解得或，合并两种情况得实数的取值范围为. 故选：D. 4.已知，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以. 又因为，所以. 即的取值范围为. 故选：A. 5.“”是“”的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由可得. 取，，满足，但，不满足. 由此可知，“”无法推出“”. 取，， 此时，但， 即. 这说明“”无法推出“”. 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6.命题为真命题的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】命题为真，得对任意恒成立. 令，在上单调递增， 故， 由此可得. 原命题为真的充分不必要条件，对应集合是的真子集，结合选项可知只有符合要求. 故选：B. 7.若，，，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由基本不等式得， 当且仅当时取等号， 故选项A错误. 由幂均值不等式得， 整理得， 故选项B错误. ，结合基本不等式得， 因为， 故选项C错误. 由幂均值不等式得， 代入，平方整理得， 当且仅当时取等号， 故选项D正确. 故选：D. 8.设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若p为真命题，则令，可知函数的图象开口向上，对称轴为，在上，单调递减， 故 因为对任意，不等式恒成立， 所以，即，解得 若q为真命题，令，函数单调递增， 所以， 因为存在，使得不等式成立， 所以，即，解得. 若p，q都是真命题，则，解得； 所以，若命题p，q中至少有一个是假命题，则或，即. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】为整数集，不是整数， 故， 因此A正确；为实数集，为实数， 故， 因此B错误. 为有理数集， 化简得，为无理数， 故， 因此C错误；为自然数集， 故， 因此D正确. 故选：AD. 10.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】因为””为假命题,所以. 因为””为真命题, 所以.故. 故选:AB. 11.已知为正实数，，则下列说法正确的是（） A. B.的最小值为 C.的最小值为 D.的最小值为 【答案】ABD 【解析】由得. 对于选项A： 令,则,且,故.函数在上单调递减,在上单调递增,且,故,从而,所以A正确. 对于选项B： 由得,故.当时,取得最小值,所以B正确. 对于选项C：,且,故,从而,当且仅当且,即,对应时等号成立,故的最小值为,所以C不正确. 对于选项D： 由,故.当且仅当,即,结合得,对应时等号成立,故的最小值为,所以D正确. 答案为ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是                   ． 【答案】 【解析】由对任意恒成立， 因为， 故对任意恒成立， 整理得对任意恒成立. 令， 由函数开口向下，对称轴为，得在上单调递减. 由此可得， 故， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 13.已知集合，且，则实数的取值范围是                   . 【答案】 【解析】，得， 化简得. 故答案为：. 14.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是                   . 【答案】或 【解析】原不等式变形为，令， 解得或. 当， 即，不等式的解集为， 由不等式恰有两个整数解得， 化简得. 当， 即，不等式无实解，不满足恰有两个整数解的要求， 故舍去. 当， 即，不等式的解集为， 由不等式恰有两个整数解得， 化简得. 综上，的取值范围是或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(1)试比较与的大小； (2)已知，，求，的取值范围. 【答案】解：(1)作差得， 故. (2)由得，结合，同向相加得. 由得，结合，得. 16.已知集合，集合. (1) 当时，求； (2) 若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) 解：当时，. . 结合， 故. (2) 解：由是的充分条件，得. . 解，得. 解，得. 故的取值范围为. 17.已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】解：(1)即，因式分解为. 当时，不等式解为. 当时，，无解，解集为. 当时，不等式解为. 综上，时，解集；时，解集；时，解集. (2)在恒成立，即在恒成立. 变形为，因为，，所以在恒成立. 令，则，. 由均值不等式，，当且仅当即时等号成立. 所以最小值为，则. 18.以某些整数为元素的集合具有以下两个性质： ①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则． (1)若，求证：； (2)求证：； (3)判断集合是有限集还是无限集？请说明理由． 【答案】(1) 解：由性质②得， 若，则，结合，， 故. (2)证明：由性质①，存在，满足，，个相加得，个相加得， 由性质②得. (3)解：集合为无限集. 假设集合为有限集，则中存在最大值，且最大值为正整数， 设最大值为， 由性质②得，，与是的最大值矛盾， 故假设不成立，集合为无限集. 19.已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式． 【答案】解：(1)不等式的解集为， 得和是方程的两个根，且. 由根与系数的关系得，解得，故. (2)不等式对任意恒成立， 整理得对任意恒成立. 令，得，解得， 故实数的取值范围为. (3)由得，分解因式得. 当时，不等式化为， 解得，解集为. 当时，，不等式化为， 解得或，解集为. 当时，，解得，解集为. 当时，不等式化为，解集为. 当时，， 解得，解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高一上学期第一次月考自编模拟试卷 数学试题 （范围：人教A版必修1第一章-第二章+3.1） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.集合的元素个数为（） A.2 B.3 C.6 D.18 2.设，若，求实数组成的集合的子集个数有（） A.2 B.3 C.4 D.8 3.设集合，集合，若，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4.已知，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 5.“”是“”的（） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.命题为真命题的一个充分不必要条件是（） A. B. C. D. 7.若，，，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 8.设命题p：对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立，若p，q中至少有一个是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 10.若“”为真命题，“”为假命题，则集合可以是（） A. B. C. D. 11.已知为正实数，，则下列说法正确的是（） A. B.的最小值为 C.的最小值为 D.的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是                   ． 13.已知集合，且，则实数的取值范围是                   . 14.若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是                   . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(1)试比较与的大小； (2)已知，，求，的取值范围. 16.已知集合，集合. (1) 当时，求； (2) 若是的充分条件，求的取值范围. 17.已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 18.以某些整数为元素的集合具有以下两个性质： ①中的元素有正整数，也有负整数；②若，则． (1)若，求证：； (2)求证：； (3)判断集合是有限集还是无限集？请说明理由． 19.已知函数． (1)若不等式的解集为，求的表达式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $