精品解析：福建厦门市松柏中学2026-2027学年高三上学期10月阶段性练习数学试题

2026-2027学年高三年上学期数学10月阶段性练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（     ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知集合，有个元素，则有个子集. 2. 不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由奇函数的性质可知，解得. 4. “函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】函数在区间上单调递增的充要条件为， 即， 因为， 所以“函数在区间上单调递增”是“”的必要不充分条件 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】由图易得在上单调递减，在区间上单调递增，在上单调递减，进而判断各选项即可. 【详解】由图可知，当时，，所以在上单调递减，故AC错误； 而在区间上单调递增，在上单调递减，故B错误， 所以在处取得极大值，故D正确. 故选：D 6. 已知为第二象限角，且，则（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以. 7. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 8. 函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造辅助函数，先证为偶函数，由时得在递增；将原不等式整理为，利用偶函数单调性转化为，平方化简解得． 【详解】设， 由题意，，得， 所以是偶函数， 当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减， 由，得 所以， 所以等价于，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中说法正确的是（     ） A. 幂函数为偶函数，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 的导函数为，则是的充分不必要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出，再根据偶函数的定义可判断A；根据判断复合函数单调性的方法可判断B；根据抽象函数定义域的求法可判断C；根据导数的运算，结合充分不必要的定义可判断D. 【详解】对于A：为幂函数， 所以，即，即，解得或， 当时，函数为偶函数， 当时，函数不是偶函数，不符合题意，所以，故A正确； 对于B：，解得或， 所以函数的定义域为， 函数为增函数， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C：的定义域为，所以，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D：对求导得， 若，则（为常数）， 所以不一定成立， 所以是的充分不必要条件，故D正确. 10. 已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 若且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用辅助角公式化简，结合平移规则和周期求出，得到和的解析式，再根据三角函数的对称性、图象变化、函数值求解逐一判断选项即可. 【详解】因为， 将其图象向右平移个单位后得， 由的最小正周期为，得，即， 因此，. 对于A：因为，为的最大值， 故的图象关于对称，A正确； 对于B：因为， 故不是的对称中心，B错误； 对于C：将的图象向右平移个单位， 得到，故C错误； 对于D：令，即， 当时，，所以或， 对应，，所以，故D正确. 11. 已知为定义在R上的奇函数，，在上单调递增，，则下列说法正确的是（     ） A. 为奇函数 B. 的减区间为 C. D. 函数的零点个数为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据奇函数的对称中心和对称轴，判断函数的所有对称中心和对称轴，判断选项A的正误；再求出函数周期，再根据函数的单调区间在对称区间内的单调性，求出函数单调减区间，判断选项B的正误；根据函数周期性求出一个周期内的各整数点的函数值，进而判断选项C的正误；再根据函数零点和函数图像交点的关系，作出函数草图，判断选项D的正误. 【详解】由题意可知关于中心对称，由可知关于轴对称， 所以的中心对称坐标为，所以选项A正确， 可知的周期为，关于轴对称，在上单调递增， 且， 则在上单调递减，关于中心对称，所以在上单调递减，且， 即的减区间为，所以选项B正确； 因为关于，中心对称，所以， ，， 因为的周期为， 所以， 所以选项C错误； 函数的零点即方程的根，即函数与的交点的个数， 可知函数为偶函数，且过， 可作函数草图如下图， 可知函数与的交点的个数是8个， 即函数的零点个数为8，所以选项D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，命题：不等式成立；命题：，使得成立.若和一真一假，则实数的取值范围为________________________ 【答案】 【解析】 【分析】解一元二次不等式，正确理解命题的含义，将其转化为关于的不等式，并根据“一真一假”的条件进行分类讨论求解. 【详解】，解得， 若为真命题，为假命题时：，解得； 若为假命题，为真命题时：且，使得成立， 则. 综上：. 13. 已知函数，若函数有三个互不相等的零点，则实数的取值范围是________________________. 【答案】 【解析】 【详解】的函数图象如图： 因为函数有三个互不相等的零点， 所以与的函数图象有三个交点， 则，故实数的取值范围是 14. 的三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求得，根据三角形面积公式及面积相等即可求得. 【详解】由余弦定理，得， 化简得，解得. 因为，所以. 由，得. 由，得 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 【答案】（1）3 （2）时，不等式解集为；时，不等式解集为；时，不等式解集为． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质求解即可； （2）先因式分解，再对分类讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 因为，在上单调递增， 所以的最大值为 【小问2详解】 由得， 若，则； 若，则； 若，则； 综上：时，不等式解集为；时，不等式解集为； 时，不等式解集为． 16. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【小问1详解】 因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； 【小问2详解】 由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． （1）求； （2）若，且面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求解即可. （2）根据三角形面积公式及余弦定理求解即可. （3）根据三角形面积公式及正弦定理，结合两角差的正弦公式及同角的三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得，， 因为，所以，所以，即． 因为，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 即，所以. 所以的周长为. 【小问3详解】 已知，面积， 由正弦定理得，则. 因为，，所以，则. 所以. 因为为锐角三角形， 所以，即，所以. 所以，故. 因此，即面积的取值范围为. 18. 已知函数，其中． （1）若的最小正周期为，且的最大值为3，求的值及的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，把函数的图象向左平移个单位长度得到偶函数的图象，求函数的对称中心； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1），单调递增区间为； （2）的对称中心为； （3）. 【解析】 【分析】（1）通过诱导公式和二倍角公式将函数化为最简形式，通过余弦函数的单调区间求出单调区间； （2）通过平移得函数解析式，由余弦函数求解函数对称中心； （3）函数在区间上单调递增得到范围小于或等于半个周期，再由函数的范围求出的范围. 【小问1详解】 因为 所以， 的最小正周期为，所以，所以， 的最大值为3，所以，解得， 所以， 令，解得 所以，函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 由（1）得：，所以， 为偶函数，所以，，解得，， 因为，所以令， 则， 令，，解得，， 的对称中心为，. 【小问3详解】 因为，所以， 函数在区间上单调递增， 所以且， 解得，且，即， 所以， 所以的取值范围为. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，递减区间为，递增区间为 （2） （3）当时，，， 设，则， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因为，， ，，，， 所以存在，使得， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由于，所以的两个零点满足， 因为，所以， 因为，所以， 所以，得证． 【解析】 【分析】（1）对函数求导可得 ，再对参数进行讨论，从而得到的单调性； （2）任意，都有即，即对任意均成立，构造函数，即，再对参数进行讨论，得到函数的单调性求得函数的最小值，进而求出的取值范围； （3）当时，，，讨论函数的单调性，得到两个非0零点的取值范围，再证明. 【小问1详解】 对函数求导可得 ， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，解得．当时，单调递减； 当时，单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 任意，都有即， 即对任意均成立， 设，则． ，设， 那么，所以在上单调递增， 当，即时，， 所以在上单调递增，，满足条件； 当时，， 所以存在，使得； 当时，单调递减，，不满足条件； 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三年上学期数学10月阶段性练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合的子集的个数为（     ） A. 64 B. 16 C. 6 D. 4 2. 不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 4. “函数在区间上单调递增”是“”的（     ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在处取得极大值 D. 在处取得极大值 6. 已知为第二象限角，且，则（     ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项中说法正确的是（     ） A. 幂函数为偶函数，则 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 的导函数为，则是的充分不必要条件 10. 已知函数，将其图象向右平移个单位后得到的图象，的最小正周期为，则下列选项正确的是（ ） A. 函数的图象关于对称 B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象可由的图象向右平移个单位得到 D. 若且，则 11. 已知为定义在R上的奇函数，，在上单调递增，，则下列说法正确的是（     ） A. 为奇函数 B. 的减区间为 C. D. 函数的零点个数为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，命题：不等式成立；命题：，使得成立.若和一真一假，则实数的取值范围为________________________ 13. 已知函数，若函数有三个互不相等的零点，则实数的取值范围是________________________. 14. 的三个内角，，所对应的边分别为，，，若，，，角的平分线交于，则_______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）当时，求函数在上的最大值； （2）若，解关于的不等式． 16. 已知函数（ 且 ）是偶函数. （1）求实数的值； （2）若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 17. 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足． （1）求； （2）若，且面积为，求的周长； （3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围． 18. 已知函数，其中． （1）若的最小正周期为，且的最大值为3，求的值及的单调递增区间； （2）在（1）的条件下，把函数的图象向左平移个单位长度得到偶函数的图象，求函数的对称中心； （3）若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若对任意，都有，求的取值范围； （3）当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $