精品解析：福建省南平市顺昌县第一中学2026-2027学年高三上学期10月适应性练习数学试题

福建省南平市顺昌县第一中学2026-2027学年高三上学期10月适应性练习数学试题 2026年10月5日 命题人：孙祥龙 审核人：张晨曦 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由 得 ，故 ； 由 得 ，故 . 所以 ，元素个数为 . 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知函数的定义域为， 因此中括号内整体的取值范围与的定义域一致，即满足： ， 解得， 又因为函数表达式为分式，分母为偶次根式，需满足被开方数大于0（分母不能为0），即： ， 解得， 取两个解集的交集，得的定义域为. 4. 设甲：，乙：，，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义即可确定选项. 【详解】若乙成立，即，，则， 根据正弦的诱导公式可得：， 故：乙甲成立，即甲是乙的必要条件. 若甲成立，即，令，， 满足，但，不满足， 故：甲乙不成立，甲不是乙的充分条件. 所以，甲是乙的必要条件但不是充分条件. 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】 将变形为，再将变形为，整理后利用基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故， 故， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为3. 故选：A. 【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 6. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数讨论单调性即可比较大小. 【详解】令，， 当时，，则单调递增， 所以，即， 所以即所以， 令，， 当时，，则单调递减， 所以，即， 即，也即， 所以，所以，所以， 所以， 故选:A. 【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简三角表达式得到，再分别利用在单调递增、在上恰好取得一次最大值 这两个条件列出关于的不等式，联立取交集得到的取值范围. 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 设的内角所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，由余弦定理与数量积的定义计算；B选项，由大角对大边和正弦定理判断；C选项，由正弦定理解三角形；D选项，由正弦定理与二倍角公式化简后判断． 【详解】对于A，，而，故A选项错误， 对于B，中，若，则，由正弦定理得：（为的外接圆半径），故，B选项正确， 对于C，由正弦定理，得，由，则或，C选项错误 对于D，若，则，即， 得或，故或，为等腰三角形或直角三角形，D选项正确. 故选：BD 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 与表示同一个函数 D. 函数的单调减区间是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质、函数的定义以及对数函数的单调区间逐项判断即可. 【详解】对于A，由于，可知，而，所以，A正确； 对于B，若中有一个为0，那么不等式无意义，B错误； 对于C，函数的定义域为，而的定义域为， 且表达式相同，所以与表示同一个函数，C正确； 对于D，要使函数有意义，则， 即，解得或， 要求的单调递减区间，即求函数的单调递增区间， 根据抛物线的性质可知，的单调递增区间为， 结合对数函数的定义域可得函数的单调减区间为，D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上不单调 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导后由判别式大于零得导函数存在变号零点可判断A选项，通过极大值不小于零、极小值不大于零建立不等式组求参数范围可判断B选项，利用三次函数图象关于对称中心对称的性质，将线段相等转化为对称关系求出根之和即可判断C选项，由判别式非正得函数单调递增，再比较指数与对数的结构，通过构造辅助函数证明指数式不大于幂式，从而得到函数值的大小关系，从而判断D选项. 【详解】对于A项，，当时，恒成立， 即导函数存在变号零点，所以函数在上不单调，故A项正确； 对于B项，当时，， 令，解得或，所以函数在和上单调递增， 令，解得，所以函数在上单调递减， 所以时取得极大值，时取得极小值， 若至少有个零点，则极大值，且极小值，所以的取值范围是，故B项错误； 对于C项，由得A点一定是对称中心，根据A项的分析知在R上有一个极大值点和一个极小值点，分别记为， 令，则，易知，所以，故C项正确； 对于D项，当时，结合A项的分析知，所以，即函数在R上单调递增，令，则， 令，解得，则在上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以，即，所以，故D项正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则_____________________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再代入求解即可. 【详解】由题意可得， 所以. 故答案为： 13. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合二倍角公式可得，解方程可求，再结合的范围排除增解可得结论. 【详解】因为，， 所以， 所以， 所以， 所以或， 因为，所以，故， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，根据的正负即可得出的单调递增区间；再分类讨论的范围，数形结合即可求解． 【详解】当时，， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以的单调递增区间为； 当时，，满足至少有2个零点； 当时，令， 设，则， 所以在处的切线斜率为1， 所以当时，与只有一个交点，如图所示， 所以当时，与至少有两个交点，如图所示， 所以． 四、解答题： 15. 已知，其中，. （1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）时，解一元二次不等式可得命题，由为真，即、均为真，列出不等式组求解，即可得答案； （2）设，，由题意，，根据集合的包含关系列出不等式组求解，即可得答案. 【详解】解：（1）时，，解得，. ∵为真，∴、均为真， ∴，解得， ∴实数的取值范围是； （2），其中，解得，. 设，， ∵是的必要不充分条件，∴， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数在处有定义时的性质求出参数，再代入已知点求出参数 ，最后验证分母不为零并确定解析式即可； （2）先判断并证明函数在定义域上的单调性，然后利用奇偶性将不等式转化为，再结合函数的单调性和定义域，建立关于的不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，且， 所以，即，解得，此时， 又因为，代入得，即，解得， 所以， 经检验，分母 恒成立，且，符合题意， 故函数的解析式为，定义域为. 【小问2详解】 任取 且，则， 因为且，所以，，且分母大于， 所以，即，故在上单调递增， 不等式 等价于， 因为为奇函数，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 解得， 所以不等式的解集为. 17. 函数的部分图象如图所示，函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 由图可得，，， 因为，所以，则， 因为的最小正周期，且，，所以， 故，故，故的最小正周期为， 令，得， 故的单调递减区间为 【小问2详解】 因为，所以， 若，则，则， 故函数的值域为 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和变形得到，从而求出； （2）（i）由的面积得到方程，求出，由余弦定理得，从而得到三角形周长； （ii）由为锐角三角形，得，在中，由正弦定理得到方程，求出，，变形得到，由，得到面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 可得， 因为，所以. 【小问2详解】 （i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且 解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，. 又由，得， 所以 . 由，得，故， 因此面积的取值范围为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对于任意的，恒成立，求的最大值； （3）证明：. 【答案】（1） 当时，在上单调递减， 当时，在区间单调递减，在区间上单调递增； （2） （3） 要证： 证： 即证：， 只需证：， 即证：，即证：， 令 证： ， 令在上单调递增， ∴，证毕. 【解析】 【分析】（1）通过对参数分类讨论，利用导数判断单调性； （2）换元与构造辅助函数，转化为恒成立条件下的最值问题，借助导数分析最值位置并建立不等式； （3）取对数并转化为累加形式，再逐项放缩为单元不等式，最终构造函数并利用单调性证明. 【小问1详解】 ， 当时，，在上单调递减， 当时，令， 当时，，故函数在区间单调递减； 当时，，故函数在区间上单调递增； 【小问2详解】 对恒成立， 当时，时，左边与条件矛盾，舍去，∴， 令，即对恒成立， 令， 当时，，时，， 所以在上单调递减；单调递增， 故只需． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省南平市顺昌县第一中学2026-2027学年高三上学期10月适应性练习数学试题 2026年10月5日 命题人：孙祥龙 审核人：张晨曦 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 ， ，则 中元素的个数为（　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设甲：，乙：，，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 已知，且，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分） 9. 设的内角所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则为等腰三角形或直角三角形 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 与表示同一个函数 D. 函数的单调减区间是 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数在上不单调 B. 当时，若函数至少有个零点，则的取值范围是 C. 当时，若直线与曲线有个不同的交点，，，且，则 D. 当时，恒成立 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数则_____________________. 13. 若，，则___________. 14. 已知函数．当时，的单调递增区间为________；若至少有2个零点，则的取值范围是________． 四、解答题： 15. 已知，其中，. （1）若，且为真，求实数的取值范围； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）确定函数的解析式； （2）解不等式． 17. 函数的部分图象如图所示，函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 18. 记的内角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求角； （2）已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若对于任意的，恒成立，求的最大值； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $