上海市华东师范大学附属东昌中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段练习数学试题

y 华东师范大学附属东昌中学 2026-1高一年级第一次阶段练习数学试卷 一、填空题（每题3分，共36分) 1.已知集合A={x-1<x<2且x∈N,请用列举法表示该集合A= 2.不等式x-1<2的解集为一 3.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 条件.（用“充分非必 要”“必要非充分”“既非充分又非必要”或“充要”填空) 4.已知集合M={(x,y)|y=x2},N={(x,)|y=1},则M∩N= 5.已知集合A={x|x2+ax+4=0},若A有且只有一个非空子集，则实数 a三 6.已知A=(-oo,a,B=(-∞，3)，且x∈A是x∈B的充分非必要条件，则a的 取值范围为 7不等式 c-2≤1的解集为 8.已知关于x的一元二次方程x2-2mx+(3m+1)=0的两个实数根为x1,x2,且 x+x号=16，则实数m的值为 9.已知全集U={x|1≤x≤10，x∈N},集合A={xx2-3<4,x∈N,x>0}, B={2,4},则图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为■ U 10.若不等式ax2-5x+c<0的解集是(2,3)，则不等式cx2+5x+a≥0的解集 是 11.若关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负实根，则实数m的取值范围 是 12.设集合S,T都至少含有两个元素，且S,T同时满足：条件1：对任意x,y∈S, 2 若x卡y,则x+y∈T;条件2：对任意x,y∈T,若x≠y,则x-y∈S.给出 下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数； ②若S只有2个元素，则SUT必有3个元素； ③若S只有2个元素，则SUT可能有4个元素； ④存在含有3个元素的集合S,满足SUT有4个元素， 其中所有正确说法的序号是 二、选择题（每题3分，共12分) 13.用反证法证明命题：“若x+y>2,则x>1或y>1”时，应假设（) A.x≤1或y≤1 B.x>1或y>1 C.x≤1且y≤1 D.x>1且y>1 14.下列命题中，为真命题的是（) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则ac>bd c若a>6,则日<君 D.若ac2>bc2,则a>b 15.现有一级小麦mkg,二级小麦nkg,某粮食收购站有两种收购方案.方案一：分两 个等级收购小麦，一级小麦a元/kg,二级小麦b元/kg(b<a);方案二：以方案 一两种价格的平均数收购.收购方式更加优惠的是（) A.方案一 B.方案二 C.同样优惠 D.以上均有可能 16.用C(A)表示非空集合A中的元素个数.对于集合A,B,定义 A*B C(A)-C(B),C(A)C(B), C(B)-C(A),C(A)<C(B). 若A={0,1},B={c|(x2-ac)(x2+ax+2)=0},设实数a的所有可能取值组 成的集合是S,则下列选项不正确的是() 3 A.C(B)的可能值为1,2,3,4 B.若A*B=2,则a的取值范围为(-o,-2V2U(2V2,+∞) C.若A*B=1,则C(S)=3 D.若A*B=0,则a的取值范围为(-2V2,2V2) 三、解答题(52分，共5题) 17.(8分)已知集合A={x|-3<x≤4}，集合B={xk+1≤x≤2k-1} (1)当k=3时，求AUB,A∩B; (2)若BCA,求k的取值范围. 18.(8分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0} (1)若A∩B={2},求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素x1,x2,求x1-x2.（用a表示) 70 ⑨10分)已知关于2的不等式十> (1)若x=-a时，不等式成立，求实数a的取值范围； 又 2若a<0,解关于工的不等式0 20.(12分)已知关于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集为 M; (1)若存在实数a,使得M=(-o,a)U(a,+o),求k的值； (2)若M=R,求k的取值范围； (3)是否存在实数k,满足：“对于任意n∈N,n>0,都有n∈M;对于任意 m∈Z,m<0,都有m主M”,若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 21.（14分)已知有限集A={a1,a2,·,an}(n≥2，n∈N),如果A中元素a(i= 1,2,3,·,n)满足a1+a2+a3+·+an=a1×a2×a3×·×an,就称A为“和 5 积平衡集” (1)判断集合{-1+V3,-1-V3}是否为“和积平衡集”，并说明理由； (2)若a1,a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“和积平衡集”，写出以a1,a2为根 的一个一元二次方程（系数可用a1,a2表示)，并证明a1,a2至少有一个大于 2; (3)若a,∈Z,且a,>0,求所有符合条件的“和积平衡集”.华东师范大学附属东昌中学 20261高一年级第一次阶段练习数学试卷（含答案解析) 一、填空题（每题3分，共36分） 1.已知集合A={x|-1<x<2且x∈N},请用列举法表示该集合A= 【答案】{0,1} 【解析】由-1<x<2且x∈N,得x=0、1,所以A={0,1}。 2.不等式x-1<2的解集为 【答案】（-1,3) 【解析】x-1<2等价于-2<x-1<2,即-1<x<3,所以解集为(-1,3)。 3.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 条件.（用“充分非必要”“必要非充 分”“既非充分又非必要”或“充要”填空) 【答案】充分非必要 【解析】(a-1)(a-2)=0等价于a=1或a=2。由a=2能推出(a-1)(a-2)=0,但由 (a-1)(a-2)=0推不出a=2(还可能a=1),所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充 分非必要条件。 4.己知集合M={(x,y)|y=x2},N={(x,)|y=1},则MnN= 【答案】{(1,1)，(-1,1)} 【解析】由y=x2与y=1联立得x=士1，y=1,所以M∩N={(1,1),(-1,1)}。 5.己知集合A={x|x2+ax+4=0},若A有且只有一个非空子集，则实数a= 【答案】a=4或a=-4 【解析】A有且只有一个非空子集，等价于A中恰有1个元素，即方程x2+αx+4=0有两 个相等的实根，所以△=a2-16=0,得a=4或a=-4。 6.己知A=(-,d,B=(-o,3),且x∈A是x∈B的充分非必要条件，则a的取值范围 为 【答案】a<3 【解析】x∈A是x∈B的充分非必要条件，等价于A是B的真子集。因为A=(-o,a, B=（-0,3),所以a<3。 7.不等式3x-1 ≤1的解集为 x-2 【答案1一32) 【解析】不等式两边减1得红十20，等价于2x+e-2)≤0且x≠2，解得S,<2》 所以解集为号2。 8.己知关于x的一元二次方程x2-2mx+(3m+1)=0的两个实数根为1，x2,且x子+x号=16， 则实数m的值为 【答案】m=月 【解析】由韦达定理x1+2=2m,12=3m+1,所以子+号=(c1+2)2-212 4m2-6m-2=16,整理得2m2-3m-9=0,解得m=-2或m=3。 =4m2-12m-4≥0，当m=3时△=-4<0，应舍去，所以m 9.己知全集U={x|1≤x≤10，x∈N},集合A={x|x2-3<4,x∈N,x>0},B={2,4},则 图中阴影部分表示的集合的非空真子集个数为 U 【答案】126 【解析】U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},A={1,2,B={2,4}。图中阴影部分表示AUB在 U中的补集，即{3,5,6,7,8,9,10}，共7个元素，其非空真子集的个数为27-2=126。 10.若不等式ax2-5x+c<0的解集是(2,3)，则不等式cx2+5x+a≥0的解集是 【答案】(-o,-ul-3+o∞ 【解析】因为ax2-5x+c<0的解集为(2,3)，所以a>0,且2、3是方程ax2-5x+c=0 的两根。由5=5、￡=6得a=1,c=6。 即62+5x+1≥0，即2x+1)3c+1)≥0，解 所以解梨为（←0，为U-子+x: 11.若关于x的方程mx2+2x+2=0至少有一个负实根，则实数m的取值范围是 【答案】m≤号 【解析】当m=0时，方程化为2x+2=0,得x=-1<0,满足； 当m≠0时，需△=4-8m之0.得m≤)若m<0,则两根之积号 <0(两根异号)，必 m 有负根：若0<m≤分则阿根之和品<0、两根之积品>0，两根均为负。 1 m 1 综上，m≤2 12.设集合S,T都至少含有两个元素，且S,T同时满足：条件1：对任意x,y∈S,若x≠y,则 x+y∈T;条件2：对任意x,y∈T,若x≠y,则x-y∈S.给出下列说法： ①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数： ②若S只有2个元素，则SUT必有3个元素： ③若S只有2个元素，则SUT可能有4个元素： ④存在含有3个元素的集合S,满足SUT有4个元素. 其中所有正确说法的序号是 【答案】①② 【解析】设S={a,b}(a≠b)。由条件1得a+b∈T;又对任意t∈T且t卡a+b,由条 件2得(a+b)-t∈S,故t=a或t=b,即T是{a,b,a+b}的子集。再由条件2讨论可知 a+b=0,所以S中的两个元素互为相反数，①正确。 此时S={a,-a},T只能为{0，a}或{0，-a,故SUT={-a,0,a}恰有3个元素，②正确， ③错误。 若S含3个元素，取x、少、z∈S,由条件1知x+y、y+之∈T,再由条件2得(x+) (y+)=x-之∈S,即S中任意两个不同元素之差仍属于S。但这样的3元实数集不存在（设 S-a={0,u,v}也对减法封闭，由u-v∈{0，u,v}与v-u∈{0，u,w}得u=2u且v=2u, 矛盾)，所以④错误。 故正确的是①②。 二、选择题（每题3分，共12分） 13.用反证法证明命题：“若x+y>2,则x>1或y>1”时，应假设() A.x≤1或y≤1 B.x>1或y>1 C.x≤1且y≤1 D.x>1且y>1 【答案】C 【解析】用反证法证明“若x+y>2,则x>1或y>1”,应假设结论不成立，即“x>1或 y>1”的否定“x≤1且y≤1”，故选C。 14.下列命题中，为真命题的是（) A.若a>b,则a2>b2 B.若a>b,c>d,则ac>bd c若a>则后<司 D.若ac2>bc2,则a>b 【答案】D 【解析】A错：如a=1、b=-2时a2<b2;B错：如a=1、b=0、c=-1、d=-2时有 ac<d:C错：如a=1、b=-1时有。>6 D对：由ac2>bc2知c2>0,两边同除以c2得a>b。故选D。 15.现有一级小麦mkg,二级小麦nkg,某粮食收购站有两种收购方案.方案一：分两个等级收购 小麦，一级小麦a元/kg,二级小麦b元/kg(b<a):方案二：以方案一两种价格的平均数收购. 收购方式更加优惠的是() A.方案 B.方案二 C.同样优惠 D.以上均有可能 【答案】D 【解析】方案一付款ma十b元，方案二付款@+bm+四元，两者之差为ma十nb 3 (a+b)(m+n）_(a-b(m-n 2 因为a>b,所以差值的符号由m与n的大小关系决定，三种情况均可能出现。故选D。 16.用C(A)表示非空集合A中的元素个数.对于集合A,B,定义 C(A)-C(B),C(A)≥C(B) A*B C(B)-C(A),C(A)<C(B) 若A={0,1},B={x|(x2-ax)(x2+ax+2)=0},设实数a的所有可能取值组成的集合是S, 则下列选项不正确的是() A.C(B)的可能值为1,2,3,4 B.若A*B=2,则a的取值范围为(-∞，-2v2)U(2W2,+∞) C.若A*B=1,则C(S)=3 D.若A*B=0,则a的取值范围为(-2V2,2V2) 【答案】D 【解析】C(A)=2。解方程(x2-ax)(x2+ac+2)=0:当a=0时B={0},C(B)=1;当 a≠0且la<2v2时B={0,a},C(B)=2:当lal=2V2时C(B)=3:当la>2v2时 C(B)=4。 A:C(B)的可能值为1、2、3、4，正确： B:A*B=2-C(B)川=2等价于C(B)=4,即|al>2V2,所以a∈（-o,-2v2)U(2V2,+∞)， 正确： C:A*B=1等价于C(B)=1或3，即a=0或a=士2v2,此时a的取值集合S= {-2V2,0,2V2,C(S)=3,正确： D:A*B=0等价于C(B)=2,即|a<2V2且a卡0，所以a∈(-2V2,0)U(0,2V2),而选 项给出的范围多含了a=0（此时A*B=I),错误。故选D。 三、解答题(52分，共5题) 17.(8分)己知集合A={x|-3<x≤4}，集合B={x|k+1≤x≤2k-1}. (1)当k=3时，求AUB,A∩B: (2)若B≤A,求k的取值范围. 【答案】(dAUB=(-3,,AnB=任，：2k≤司 【解】(1)当k=3时，B={x|4≤x≤5}=[4,5。又A=(-3,4,所以AUB=(-3,5。 A在R中的补集为(-o∞，-3U(4,+o∞)，所以AnB=(4,5]。 (2)①当B为空集，即k+1>2k-1(k<2)时，B是A的子集： ②当B非空，即k>2时，要使B是A的子集，需k+1>3且2-1≤4，即4<k≤多 结合k≥2得2≤≤2 .5 .5 综上，k的取值范围为k≤2· 18.(8分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值； (2)若集合B中有两个元素x1,x2,求|x1-x2.（用a表示) 【答案】(1)a=-1或a=-3；(2)川x1-x2l=2V2a+6(a>-3) 【解】A={x|x2-3x+2=0}={1,2}。 (1)由A∩B={2}得2∈B,代入得4+4(a+1)+(a2-5)=0,即a2+4a+3=0,解得 a=-1或a=-3。 检验：a=-1时B={-2,2},a=-3时B={2},均有AnB={2},符合题意。 (2)B有两个元素，则△=[2(a+1)2-4(a2-5)=8a+24>0,得a>-3。 此时x1-x2=V△=V8a+24=2√2a+6(a>-3)。 0,40分)已知关于亚的不等式牛2 (1)若x=-a时，不等式成立，求实数a的取值范围； (②)若a<0,解关于x的不等式a-2 1十x >0. 答案】四a>1:2)当0<-2时解集为(-1，当0=-2时解集为空集，当-2<a<0 时解架为层-) 【解】()将r=-a代入得a2-2 1-a >0。因为-a2-2<0恒成立，所以1-a<0,即a>1。 ②)不等式即g2>0。分子零点是r=2,分母零点是r-1,且a<0。 x+1 ①当a<-2时，2>-1，解集为-1,2： 2 ②当a=-2时， --1,此时心-2--2<0恒成立，解集为空集； a x+1 ③当-2<a<0时， <-1解集为层-少 20.（12分)已知关于x的不等式(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1>0(k∈R)的解集为M; (1)若存在实数a,使得M=（-o,a)U(a,+o∞)，求k的值； (2)若M=R,求k的取值范围： (3)是否存在实数k,满足：“对于任意n∈N,n>0,都有n∈M;对于任意的m∈Z,m<0, 都有m生M”,若存在，求出k的值，若不存在，说明理由. 【答案】0-号：②≤-1或>号：倒存在，及=3 【解】记f(x)=(k2-2k-3)x2+(k+1)x+1. (1)M=(-o,a)U(a,十o)表示f(x)>0对一切x卡a成立，且f(a)=0,故需二次项系数 大于0且△=0。 由△=k+12-4k2-2k-3)=32+10k+1B=0得k3或kE-10 当k=时，二次项系数g>0,)=:+,符合：当太=1时=次项系数为0， f四=1>0，M=R,不符合。故k=13。 3 (2)M=R即f(x)>0对一切x∈R恒成立。 ①当k22k-3>0(即k<-1或k>3)时，需△<0，即-3k2+10k+13<0,得k<-1 或k>故及<1或k> 13 ②当k2-2k-3=0时，k=3得f(c)=4x+1不恒正，k=-1得f(x)=1>0恒成立； 5 ③当k2-2k-3<0时，抛物线开口向下，不能恒正。 综上，k≤-1或k>13 3 (3)存在。需n为正整数时f(n)>0,m为负整数时f(m)≤0。 当n趋于+o时，由f(n)>0知需2-2k-3≥0；当m趋于-o时，由f(m)≤0知需 k2-2k-3≤0，故k2-2k-3=0,得k=3或k=-1。 k=3时f(x)=4x+1,正整数的函数值>0，负整数的函数值<0，满足；k=-1时 f(x)=1>0,不满足f(m)≤0。故k=3。 21.(14分)已知有限集A={a1,a2,…,an}(n≥2，n∈N),如果A中元素a(i=1,2,3,·,n) 满足a1十a2+g十·十an=a1×a2×ag×·×an,就称A为“和积平衡集”. (1)判断集合{-1+V,-1一V3是否为“和积平衡集”，并说明理由； (2)若a1,a2是两个不同的正数，且{a1,a2}是“和积平衡集”，写出以a1,a2为根的一个一元 二次方程（系数可用a1,a2表示)，并证明a1,a2至少有一个大于2： (3)若a∈Z,且a贴>0，求所有符合条件的“和积平衡集”. 【答案】(1)是；(2)见解析；(3)只有{1,2,3} 【解】(1)是。因为(-1+V)+(-1-V3)=-2,(-1+V)×(-1-3)=1-3=-2,元 素之和等于元素之积，所以该集合是“和积平衡集”。 (2)由a1+a2=a1a2,得以a1、a2为根的一元二次方程为x2-(a1十a2)x+1a2=0,即 x2-a1a2x+a1a2=0。 a2 ≥2相加得 证明：由a1+a2=a12得一+=1。若1、2都不大于2，则1≥1,1>， +1≥1，等号当且仅当a1=2=2时成立，这与a1≠a2矛盾。所以a1、中至少有一 a a2 个大于2。 (3)设A={a1,a2,·,an}(a1<a2<·<an),各元素为互不相同的正整数，且a1十a2+ ·+an=a1a2:an。 若a1≥2，则a1a2…an≥2×3×·×n×an=n!an,而a1+a2+…+an<n·an,于是 n!·an<n·an,矛盾，故a1=1。 同理可得a2=2(n≥3时)。于是2a3a4·an=3+a3+a4+·+an 当n=3时，2a3=3+a3,得a3=3,即{1,2,3}；当n≥4时，左边2a3a4··an-(a3十a4++an) 在a3=3、a4=4、··时取最小值17>3，无解；当n=2时，由a1a2=a1+a2得 (a1-1)(a2-1)=1,只能a1=a2=2,与元素互异矛盾。 综上，符合条件的“和积平衡集”只有{1,2,3}。