精品解析：上海师范大学附属中学宝山分校2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

上海师范大学附属中学宝山分校高一上学期第一次月考 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的定义可求得结果. 【详解】由已知条件可得. 故答案为：. 2. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【详解】，得，得，故不等式的解集为. 3. 命题“若，则”是_____命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】通过取反例即可判断. 【详解】取，满足， 显然不成立，所以命题为假命题. 故答案为：假 4. 用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据反证法步骤，否定结论即可. 【详解】先假设该命题的结论不成立，即假设“且”. 故答案为：且. 5. 已知集合，且，则实数的值为___________. 【答案】或0. 【解析】 【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案. 【详解】若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去 若，则或 当时，，符合元素的互异性； 当时，，不符合元素的互异性，舍去； 故答案为：或0. 【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题. 6. 已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有______个． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意，分中没有奇数，和中有一个奇数，两种情况讨论，用列举法列举出集合，即可得出结果. 【详解】因为集合，且中至多有一个奇数， 若中没有奇数，则可能为，； 若中有一个奇数，则可能为，，，. 故答案为6 【点睛】本题主要考查集合包含关系的判断及应用，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. 7. 已知，则与的大小是______. 【答案】 【解析】 【详解】，因为，所以，，故，所以. 8. 有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式性质分别判断各命题. 【详解】①由，当时，，所以①错误； ②由，即，所以，所以②正确； ③由，当时，，所以③错误； 故答案为：. 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 已知集合，，若，则实数的值为________. 【答案】1 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，解得. 11. 若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】先解二次不等式与一次不等式，结合题意得到的取值范围，从而得解. 【详解】解不等式可得， 由可得， 若关于的不等式组没有实数解， 则. 故答案为：. 12. 以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有_________种不同的选法. 【答案】32 【解析】 【分析】根据题意，集合A,B可以互换，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必包含{a,b}，A为B的真子集，从而解得答案. 【详解】由题意，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必含有a,b，A为B的真子集， 若，A为B的真子集，则有种， 若，A为B的真子集，则有种， 若，A为B的真子集，则有种， 若，A为B的真子集，则有种， 共有3+7+7+15=32种. 故答案为：32. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确选项. 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】解方程可得或， ，因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 【答案】D 【解析】 【详解】因为一元二次不等式的解集是或， 所以且的两根为， 所以，即， 所以，即， 故ABC错误，D正确. 15. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类讨论，利用二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得：， 综上可得：的取值范围为， 故选：D. 16. 已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意先对进行化简后，然后解不等式后进行求解. 【详解】由题意得，从而可知：， 化简得：，解之得：或， 故解集为：，故D项正确. 故选：D 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. （1）已知，比较与的大小； （2）证明：若，则或. 【答案】（1）； （2）证明：（反证法）假设结论不成立，即“或”不成立， 可得“或”的否定成立，即“且”成立， 若且，根据不等式的基本性质，可得， 这与已知条件“”矛盾，所以假设不成立， 所以原命题成立，即若，则或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用作差比较法，即可求解； （2）根据题意，利用反证法，即可得证. 【详解】（1）由， 因为，所以，所以. （2）略 18. 已知集合，集合． （1）求集合P； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式即可求解； （2）化简集合Q，根据题意转化为是的真子集，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由， 故. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为“”是“”的充分非必要条件， 所以是的真子集， 所以. 因此实数的取值范围为. 19. 河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． （1）求每个太阳帽、旅行包的进价； （2）该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1）每个太阳帽进价为4元，每个旅行包进价为15元； （2）购进太阳帽420个、旅行包280个时销售利润最大，最大利润为2240元. 【解析】 【分析】（1）依据进货费用的等量关系列方程组求解两种商品的进价， （2）结合进货数量的限制条件建立利润函数，利用一次函数的性质求解最大利润及对应进货方案. 【小问1详解】 设每个太阳帽、旅行包的进价分别为元,由题意可得 ，解得， 所以每个太阳帽进价为4元，每个旅行包进价为15元. 【小问2详解】 设景区购进太阳帽个，则购进旅行包个，销售太阳帽和旅行包所获利润为, 由题意， 即， 由于随的增大而减少， 故当时，取最大值，. 所以景区购进太阳帽420个、旅行包280个时销售利润最大，最大利润为2240元. 20. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若且不等式的解集为，求取值范围； （3）若，，讨论此不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解； （2）根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （3）分三种情况进行讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意可知1和5是方程的两个根且， 所以，，解得，所以. 【小问2详解】 若，则不等式为， 当，不等式即为，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 若，则不等式为，即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为 . 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21. 对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合． （1）判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①；②． （2）若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值． （3）已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值． 【答案】（1） 对集合，，， ，所以具有孪生性质，且孪生集合为，； 对集合，，，， 所以，不具有孪生性质． （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）写出集合、，然后根据定义判断即可； （2）用表示出集合、，根据列不等式求解可得； （3）分别写出集合B的孪生集合，根据定义即可列出关于的不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，于是2、3、4、、、， 0、1、、， 因为，所以，，又，． 【小问3详解】 ， 因为，所以，解得，又，故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海师范大学附属中学宝山分校高一上学期第一次月考 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1—6题每个空格填对得4分，7—12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 已知集合，，则_________． 2. 不等式的解集为______. 3. 命题“若，则”是_____命题．（填“真”或“假”） 4. 用反证法证明“若，则或”这个命题时，可以先假设该命题的结论不成立，即________． 5. 已知集合，且，则实数的值为___________. 6. 已知集合，且中至多有一个奇数，则这样的集合的个数共有______个． 7. 已知，则与的大小是______. 8. 有以下三个命题：①若，则；②若，则；③若，则.其中真命题的个数是________ 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是________． 10. 已知集合，，若，则实数的值为________. 11. 若关于x的不等式组没有实数解，则实数a的取值范围是_________. 12. 以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有_________种不同的选法. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确选项. 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若一元二次不等式的解集是或，那么下列选项正确的是（    ） A. B. C. D. 的两根为 15. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知表示不超过的最大整数，例如，则关于的方程的解集为（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. （1）已知，比较与的大小； （2）证明：若，则或. 18. 已知集合，集合． （1）求集合P； （2）若“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围． 19. 河南是中华文明和黄河文化的发源地之一，其地域广阔，景色奇特．为了充分挖掘旅游资源，某景区准备购进一批印有当地风土人情的太阳帽和旅行包．已知购进4个太阳帽和3个旅行包需要61元，购进7个太阳帽和5个旅行包需要103元． （1）求每个太阳帽、旅行包的进价； （2）该景区太阳帽售价为6元，旅行包售价为20元．景区计划购进太阳帽和旅行包共700个，且购进太阳帽的数量不少于旅行包数量的1.5倍，景区该如何设计进货方案，可使销售所获利润最大？最大利润为多少？ 20. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若且不等式的解集为，求取值范围； （3）若，，讨论此不等式的解集． 21. 对于给定的非空集合A，定义集合，，当时，则称A具有孪生性质，而、称为A的孪生集合． （1）判断下列集合S、T是否具有孪生性质，如果有，求出其孪生集合；如果没有，请说明理由． ①；②． （2）若集合，且集合A具有孪生性质，求t的最小值． （3）已知且，记m到100的连续自然数为集合B，即，若集合B具有孪生性质，求m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $