精品解析：吉林省吉林市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

吉林一中2026-2027学年度高一年级第一次月考数学试题（平行班） 一、单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. ，集合，集合，则集合的真子集有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出，再根据集合A中有个元素，集合A真子集的个数为即可得解． 【详解】由题意可得，所以集合的真子集的个数为个 【点睛】本题主要考查了交集的运算，若集合A中有个元素，则集合A的子集有个，真子集的个数为个 2. 设命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题即可写出的否定. 【详解】解：命题：，， 的否定为：，， 故选：A. 3. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】通过反例可排除ABD；利用作差法，结合立方差公式可整理得到C正确. 【详解】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则， 又，，即，C正确； 对于D，若，，，，则，，此时，D错误. 故选：C. 4. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到每一个选项对应的区域即得解. 【详解】解：如图所示， A. 对应的是区域1； B. 对应的是区域2； C. 对应的是区域3； D. 对应的是区域4. 故选：B 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题“”为真命题的充要条件，然后可选出答案. 【详解】由可得：， 当时，，所以， 则的取值范围为， 满足其一个充分不必要条件的集合为，则：为的真子集, 故其一个充分不必要条件是：. 故选:C. 7. 若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集得到，根据解集的端点和一元二次方程的根之间的关系，得到一元二次方程的根，进而得到、与的关系，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由题意知，，且方程的两根为-1和3. 由韦达定理知，化简得，（）. ， 当且仅当，即时，等号成立. 因此的最小值为8. 故选：C. 8. 已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单调性的定义得到在上是单调递减函数，从而得到，计算得到的取值范围. 【详解】不妨设，则，，， ，在上是单调递减函数， ，， ，的取值范围是. 故选：A. 9. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对实数与的大小进行分类讨论，解原不等式组，确定解集中的整数解，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由可得或， 由可得， 当时，不等式即为，该不等式无解； 当时，不等式的解集为， 此时，原不等式组的解集为，则，， 所以，，解得； 当时，不等式的解集为， 由题意可知，，所以，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 若，，则 C. 函数的值域为 D. 函数与函数为同一个函数 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A；由作差法判断B；根据函数的性质、同一函数的定义判断CD. 【详解】A：当时，， 当且仅当，即时等号成立，故A正确； B：因为，所以，即，故B正确； C：因为，所以， 因此函数的值域为，故C正确； D：由可知：， 所以函数的定义域为， 由函数可知或， 所以函数的定义域为或， 因为两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，故D错误； 故选：ABC 11. 对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个解 C. 当时，有 D. 函数有最大值为2，无最小值 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意求出函数的函数解析式，再逐一判断即可. 【详解】当，即或时，， 当，即时，， 则， 对于A，，故A错误； 对于B，当或时，令，解得， 当时，令，解得， 所以方程有三个解，故B正确； 对于C，当或时， 令，解得或， 当时，令，解得或， 综上所述，当时，有，故C错误； 对于D，当或时，令，无最小值， 当时，， 综上，函数有最大值为2，无最小值，故D正确. 故选：BD. 12. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用已知条件结合基本不等式对各选项进行逐一分析判断． 【详解】选项A：，当且仅当时取等号， 又，， 均为正实数， ，即，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：，， ，当且仅当，即时，，而，故B错误； 选项C：，令，则，等式成立，此时，故C错误； 选项D：， ，变形可得， 设，则，故同号， 当时， ，当且仅当，即时等号成立； 当时，，，则，与矛盾，故不符合题意. ，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：． 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知函数满足，则______. 【答案】 【解析】 【详解】令，得，代入， 得， 即的解析式为． 14. 不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【详解】不等式等价于且，解得或， 所以不等式的解集为或. 15. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，根据函数的单调性得到不等式，解得即可. 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 因为函数在区间上单调递减，所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 16. 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 【答案】 ①. ，； ②. 【解析】 【分析】（1）先将代入，考虑时，配方求出函数的单调递减区间，考虑时，函数单调递减，从而求出函数的单调递减区间； （2）考虑在取得最小值为，且，从而得到，再考虑的定义域，得到，因为时，值域为，不合题意，从而，得到，与比较后，得到不等式求出实数的取值范围. 【详解】时，， 当时，， 故单调递减区间为， 当时，单调递减， 故单调递减区间是，； 因为函数在上单调递减，而函数的值域是， 若，显然不符合题意，所以． 当时，函数单调递减，所以，即有， 所以，故函数在时的值域为. 因为在处取得最小值， 令，解得：或，所以函数在处取得最大值， 当时，，解得：． 综上：，即实数的取值范围是. 故答案为：； 【点睛】已知分段函数值域，求解参数的取值范围问题，要充分考虑分段函数的特征，结合每段函数的定义域，单调性和最值，数形结合对参数的取值范围一步步进行缩小，直至求解出答案. 四、解答题（本题共5小题，共67分） 17. 已知集合，， （1）求，； （2）定义，求，； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）化简集合和，即可得到，； （2）根据（1）中化简的集合和，结合定义，即可求得，； （3）由得，所以分和两种情况即可得到答案． 【小问1详解】 依题意，集合或，， 则， 又， 则. 【小问2详解】 ； . 【小问3详解】 由可知, 当时,则，解得； 当时，须使，解得 . 综上，实数的取值范围是. 18. 已知命题：“，使得”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可； （2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可. 【小问1详解】 命题“，使得”为真命题， 所以， 即， 解之得或， 所以实数m的取值的集合或；； 【小问2详解】 不等式的解集为， 因为是的必要不充分条件，所以， 则或， 所以或， 故实数a的取值范围为． 19. 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 【解析】 【分析】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元，依题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】设沼气池的底面长为x米，沼气池的总造价为y元， 因为沼气池的深为2米，容积为32立方米，所以底面积为16平方米， 因为底面长为x米，所以底面的宽为， 依题意有， 因为，由平均值不等式可得， 即，所以， 当且仅当，即时、等号成立， 所以当沼气池的底面是边长为４米的正方形时，沼气池的总造价最低，最低总造价是9240元. 20. 已知函数， （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）试比较与的大小关系； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，且函数在区间上是增函数， 所以； 【小问3详解】 因为  定义域为，且在  上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数  的范围为：. 21. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【小问1详解】 当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. 【小问3详解】 因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2026-2027学年度高一年级第一次月考数学试题（平行班） 一、单选题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1. ，集合，集合，则集合的真子集有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 2. 设命题：，，则的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下面命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 4. 如图，三个圆的内部区域分别代表集合，，，全集为，则图中阴影部分的区域表示（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 6. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 若一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 4 8. 已知函数满足：对任意，，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 当时，的最小值是3 B. 若，，则 C. 函数的值域为 D. 函数与函数为同一个函数 11. 对任意两个实数a，b，定义，若，，下列关于函数的说法正确的是（ ） A. B. 方程有三个解 C. 当时，有 D. 函数有最大值为2，无最小值 12. 已知均为正实数，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知函数满足，则______. 14. 不等式的解集是______． 15. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是_____________. 16. 已知函数，若，则的单减区间是______；若的值域是，则实数的取值范围是______. 四、解答题（本题共5小题，共67分） 17. 已知集合，， （1）求，； （2）定义，求，； （3）若，求实数的取值范围． 18. 已知命题：“，使得”为真命题． （1）求实数m的取值的集合A； （2）设不等式的解集为B，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 19. 党的十九大报告指出，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.2018年张家口市成功入围国家清洁能源取暖试点城市，到2021年，全市全面建成清洁能源取暖试点城市，并通过示范城市的建设大力推动清洁能源规模化、普及化及科学化发展.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源，在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”，对改善农村人居环境等方面，起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”，某农户准备建造一个深为2米，容积为32立方米的长方体沼气池，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，沼气池盖子的造价为3000元，问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？ 20. 已知函数， （1）用定义法证明函数在区间上是增函数； （2）试比较与的大小关系； （3）若，求实数的取值范围． 21. 已知关于x不等式． （1）若时，求不等式的解集； （2）若，解这个关于的不等式； （3），恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $