精品解析：吉林省长春市实验中学2026-2027学年高一上学期第一学程考试数学试题

长春市实验中学 2026—2027学年度上学期第一学程考试 高一数学试卷 出题人：李晶娟 审题人：薄云昊 一、单选题 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，，. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】特称命题的否定，把存在量词改为全称量词，只否定后面的不等式结论， 所以命题“，”的否定是：. 3. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当 且时，，B错误； 对于C，∵，∴，又，∴，C正确； 对于D，当，时，，D错误. 故选：C. 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，利用基本不等式“1”的应用，即可求出的最小值. 【详解】由，，所以，由基本不等式可得， ， 当且仅当，即时，取等号，此时取最小值为4. 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，得到. 可得“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件，“”是“”的必要不充分条件. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】等价于，等价于，得， 故不等式的解集是 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将条件变形为，再利用凑项法，结合基本不等式求即可得解. 【详解】由得， ，，，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将不等式进行变式，将a的取值范围初步求出，再根据初步范围和不等式恰有2个整数解进行分类讨论，最终求出a的范围. 【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为， 故2个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 二、多选题 9. 设集合,,若,则可以是（       ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先判断出集合的关系，然后对分类讨论即可求得结果. 【详解】因为,所以. 当时,此时,满足,符合条件； 当时,此时,集合不满足元素互异性,不符合条件； 当时,此时,满足,符合条件； 当时,则或(舍),此时,不满足,不符合条件. 所以的可取值为. 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应二次函数、一元二次方程的关系，先判断，再利用韦达定理得到，，代入各选项求解即可. 【详解】因为不等式的解集是， 所以，且，1是方程的两根，A错误. 将代入得，，B正确. 由韦达定理得，所以，. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得，C正确. 不等式可化为，又，进一步化为， 即，解得或，D正确. 11. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. ．若此命题是假命题，则实数的取值集合是__________ 【答案】 【解析】 【分析】我们已知原命题为假命题，所以原命题的否定为真命题，然后利用不等式的恒成立求解参数范围即可. 【详解】由题意可知，命题“”的否定是“”， 且是真命题，所以或解得， 所以实数的取值集合是． 故答案为： 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】通过换元将原式转化为符合基本不等式使用条件的结构，再利用基本不等式求解最小值. 【详解】令，由得，且. 将代入原式化简：  . 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立. 令，，则， 当且仅当即（，负根舍去）时等号成立. 此时，满足题设条件，因此，即所求最小值为. 14. 设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______ 【答案】 【解析】 【分析】从个数中选个数求和共有种取法，四个式子相加得到，根据的倍数，得到，从而计算得到这四个数，得到最小的数. 【详解】从个数中选个数求和共有种取法， 即，① 将①中个式子相加得， 因为是4个正整数，所以一定是的倍数， 所得的结果的集合为，由集合元素的互异性，这四个结果中中必有一个数重复， 注意到是的倍数，而四个数的和也是的倍数， 所以①中的个和为， 则，则 又因为，所以这个数分别为， 故这个数中最小的数为. 故答案为：. 四、解答题 15. （1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 【答案】（1）； （2）因为，，所以， 所以，又，所以. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用不等式的性质比较大小. 【详解】（1）因为， 所以. （2）略 16. 已知，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合A，B，由此能求出． （2）由可得，分类讨论与，列出不等式，求解即可. 【小问1详解】 （1）当时，， ， 故； 【小问2详解】 由知， 当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 17. （1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）证明：必要性：因为，，均为正实数， 所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号． 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以若，则，必要性成立． 充分性：若， 则，， 所以若，则，充分性成立． 所以成立的充要条件是． （2）1 【解析】 【分析】（1）证明必要性利用三组基本不等式相加，等号同时成立推出；证明充分性直接代入验证等式成立； （2）先对式子变形凑出，由判断为负，提取负号构造正数，再使用基本不等式求最大值． 【详解】（1）略 （2）因为，所以，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为1． 18. 已知二次函数，其中． （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2）若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 【解析】 【分析】（1）通过分离参数再结合基本不等式求最值，即可求解； （2）因式分解得到，通过讨论，，，，，即可求解. 【小问1详解】 将代入得．① 因为，①可变形为． 不等式恒成立等价于． 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故的取值范围为． 【小问2详解】 整理， 得，即， ①当时，不等式整理为，解得； ②当时，方程的两根为：，． 解不等式得或； ③当时 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得； 若，即时，解不等式得． 综上所述，若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为或． 19. 对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”. （1）对于，，，，试问是否为的“下位序列”； （2）设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系； （3）设正整数满足条件对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值 【答案】（1）不是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“下位序列”的概念直接判断； （2）利用作差法，结合“下位序列”的概念直接判断； （3）根据“下位序列”的概念可得，根据，，均为正整数，可得，进而可得最小正整数. 【小问1详解】 由，，，不满足“下位序列”的概念， 所以不是“下位序列”； 【小问2详解】 由是的“下位序列”，得， 则，即， 同理，即， 所以； 【小问3详解】 由已知得， 又，，均为正整数， 则，即， 则， 又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 2026—2027学年度上学期第一学程考试 高一数学试卷 出题人：李晶娟 审题人：薄云昊 一、单选题 1. 已知集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 8. 关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设集合,,若,则可以是（       ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集为 11. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 三、填空题 12. ．若此命题是假命题，则实数的取值集合是__________ 13. 已知，则的最小值为______. 14. 设是4个正整数，从中任取3个数求和所得的集合为，则这4个数中最小的数为______ 四、解答题 15. （1）设，为实数，比较与的值的大小． （2）已知，，，求证：. 16. 已知，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 17. （1）设，，均为正实数．证明：成立的充要条件是； （2）已知，求的最大值． 18. 已知二次函数，其中． （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 19. 对于四个正数，，，，如果，那么称是的“下位序列”. （1）对于，，，，试问是否为的“下位序列”； （2）设，，，均为正数，且是的“下位序列”，试判断，，之间的大小关系； （3）设正整数满足条件对集合内的每个，总存在，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整数的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $