精品解析：福建省南平市顺昌县第一中学2026-2027学年高三上学期开学适应性练习数学试卷

2026-2027学年高三年级第一学期数学开学 适应性练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则该函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲､乙､丙､丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有（ ） A. 240 B. 360 C. 600 D. 320 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 6. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 7. 设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 11. 已知函数（，，，）有且仅有3个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为偶数 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为__________.（若，则，，） 13. 已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 14. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）： 成绩 性别 合格 不合格 合计 男性 45 10 女性 30 合计 105 （1）完成此表； （2）根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由. 参考公式：①相关性检验的临界值表： 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ②卡方值计算公式：.其中. 16. 已知集合. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 18. 自动驾驶技术是汽车研发的重要方向.某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立. （1）若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望； （2）若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修.记恰好在第（，）次测试后停止的概率为. （i）求，； （ii）求. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，若恒成立，求的最大值； （3）已知，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三年级第一学期数学开学 适应性练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和特殊值逐个排除即可. 【详解】，且函数定义域过于原点对称， 为奇函数，图象关于原点对称，故排除D， 又且时，，故排除C， 当时，，故排除A. 故选：B. 3. 已知函数，则该函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】由，得或， 因此函数的定义域是， 是由和复合而成， 又函数的对称轴为， 在上单调递增，单调递增， 由复合函数的单调性知， 的单调递增区间是， 故选：D. 4. 战争对百姓伤害极大，现有五个居民区受到战争波及，甲､乙､丙､丁四位医生全部参加救助，每位医生至多负责两个居民区，每个居民区只能有一位医生负责，每个居民区都要有医生负责，则不同的安排方案种数共有（ ） A. 240 B. 360 C. 600 D. 320 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得其中1名医生需负责两个居民区，另外3名医生每位医生负责一个居民区， 所以共有种不同的安排方案. 5. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号， 故选：B 6. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过讨论，两类情况，通过分离参数，求最值即可求解. 【详解】（1）时，当时，， 此时，显然不符合题意， （2）时，，的定义域为R， 不等式两边同乘得：， 整理得恒成立，且等号可取， 因此为函数的最大值. 对求导得，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因此在处取最大值：， 故. 综上所述，. 7. 设为空间中64个点构成的集合.点，记样本空间.从中随机取一个点，定义随机变量如下：对中的每个点，令，则的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得，，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解. 【详解】由题意可知：，且随机变量的取值为，，，，，，0，1，2，3，4，5，6. 解法一：依题意，可得， ， ，， ，， 所以； 解法二：根据对称性可知：，，，，， 又，， 所以； 解法三：因为，， 对于任意一点，均存在与之对应，可知这两点的坐标和为0， 因为，样本空间， 可知样本空间中存在唯一点与点对应， 所以中所有点的坐标和的总和为， 故. 8. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数解析式，得出其关于直线对称且在时单调递增，利用函数性质将不等式转化为绝对值不等式求解. 【详解】首先化简函数：，可知函数的图象关于直线对称. 当时，单调递增，故单调递增， 单调递增，故单调递减，因此在上单调递增，由对称性可知在上单调递减. 根据函数性质，等价于，因此不等式等价于，即， 两边平方得，展开整理得，因式分解为，解得. 二、多选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断. 【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示， 由图像知，当时，，故选项A正确； 做出直线，当时，若，则，故选项B正确； 当时，若，则，故选项C正确； 当时，易得，则，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正相关、百分位数、的概念可判断A、B；将代入求解即可判断C；设，通过计算估算的关系即可判断D. 【详解】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数，即，故B错误； 对于C，因为，即，故C错误； 对于D，设，则，故的年增长率约为，故D正确. 故选：AD. 11. 已知函数（，，，）有且仅有3个极值点、、，且，则（ ） A. 为奇数 B. 为偶数 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导得出，令可得或或，对、的大小以及、的奇偶性进行分类讨论，利用列表的形式分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出合适的选项. 【详解】因为函数（，，，），该函数的定义域为， （1）当时，， 由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去； （2）当且时， ， 令可得或或， 因为函数有且仅有3个极值点、、，且， 则且，符合题意， ①若，则，， 则，所以，，， 若、都为奇数，则、都为偶数，列表如下： 减 减 极小值 增 增 此时函数只有一个极值点，不符合题意； 当为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下： 增 增 极大值 减 极小值 增 此时函数有两个极值点，不符合题意； 当为偶数，为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意； 当、均为偶数时，、均为奇数，列表如下： 减 极小值 增 极大值 减 极小值 增 此时函数有个极值点，符合题意，A错误，B正确； 且，，， 此时，则；C错误； ②当时，同理可知、均为偶数，且，，， 此时，则.D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某企业生产一种零部件，其质量指标介于的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布.那么，该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差为__________.（若，则，，） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用正态分布性质分别计算出技术改造前后的优品率，可得结果. 【详解】技术改造前，易知， 则其优品率为； 技术改造后，其中， 则其优品率为； 所以优品率之差为. 故答案为： 13. 已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【解析】 【分析】根据展开式中第6项系数最大确定的值，再通过通项公式求出常数项. 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 14. 若定义在上的函数满足，是奇函数，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给条件分析函数的对称性和周期性，根据规律计算求和式子即可． 【详解】由为奇函数可得，， 令可得，，即； 由，令，可得，解得； 令替换可得；则； 则； 则； 则周期为4， 令，可得，因为， 则； 由可得； 解得，， 则中，，； ，； ；； 综上可得： ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考.现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）： 成绩 性别 合格 不合格 合计 男性 45 10 女性 30 合计 105 （1）完成此表； （2）根据此表判断：是否可以认为性别与考试是否合格有关？如果可以，请问有多大把握；如果不可以，试说明理由. 参考公式：①相关性检验的临界值表： 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ②卡方值计算公式：.其中. 【答案】（1） 成绩 性别 合格 不合格 合计 男性 45 10 55 女性 30 20 50 合计 75 30 105 （2）可以，有97.5%的把握【解析】 【分析】（1）直接根据题意即可完成表格； （2）计算得出，根据独立性检验思想即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设：性别与考试是否合格无关，. 若成立，， ∵， ∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关. 16. 已知集合. （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）直接计算即可； （2）分集合是否为空集讨论即可. 【小问1详解】 由集合A有意义可知分母不为零，, 解得或， 当时，， 则或 【小问2详解】 由，得. 当时，有，解得. 当时，有或，解得或. 综上， 17. 已知，函数是奇函数，. （1）求实数的值； （2）若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的单调性可得，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为函数是奇函数，所以，即，即，，则，解得，因为，所以. 当时，，由，得，解得，即的定义域为，，满足题意. 综上，； 【小问2详解】 因为，使得，所以，由（1）知，. 由为上的单调递增函数，为单调递增函数，所以在上单调递增，故. ，当时，， 所以，由题意得，即，解得，即实数的取值范围为. 18. 自动驾驶技术是汽车研发的重要方向.某实验室对一款智驾汽车模型进行障碍识别探测试验，已知该汽车模型在单次测试中，有效识别障碍物的概率为，无效识别的概率为，每次测试相互独立. （1）若对该汽车模型连续进行3次障碍识别测试，记有效识别的次数为，求的分布列与期望； （2）若规定累计出现2次无效识别时停止测试，并对汽车模型进行检修.记恰好在第（，）次测试后停止的概率为. （i）求，； （ii）求. 【答案】（1） （2）（i）， （ii） 【解析】 【分析】（1）识别该随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式算出各取值概率写出分布列，再用二项分布期望公式直接求数学期望； （2）（i）依据测试停止规则，分别用独立重复试验概率公式计算对应概率；（ii）先写出第次停止的概率公式，对从到求和，构造等差乘等比型数列，使用错位相减法完成求和运算得到结果. 【小问1详解】 由题意得，的可能取值为，，，. 可得，， ，， 则的分布列为 的数学期望为. 【小问2详解】 （i）； 进行3次测试后停止，即前2次测试结果中有1次是无效识别，且最后1次测试结果为无效识别， 所以. （ii）恰好到第次测试后停止， 即前次测试结果中恰有1次无效识别，且最后一次测试结果为无效识别，所以， ， 记，① 则，② 两式相减得： 所以， 故. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设函数，若恒成立，求的最大值； （3）已知，证明：. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为 （2） （3） 由（1）可得，则， 可得，即，即， 令，所以，所以，即， 所以，， 令，则，且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，故，则， 所以，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）求导函数，解导数不等式既得单调区间； （2）利用导数研究含的单调性，找到函数的极值点，从而得到最小值，然后利用导数研究最值函数的范围即可求解； （3）由（1）可得，变形得.借助数列的裂项求和的方法和对数的运算性质即可证明. 【小问1详解】 因为，所以， 当，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以单调递减区间为，单调递增为； 【小问2详解】 ，则， 所以，所以在上单调递增， 又，， 故存在唯一的实数，使得即成立. 故时；时. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以， 其中，令，， 因为，， 所以在上单调递减，所以即， 故，故所求的最大值为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略： （1）构造差函数，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式； （2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $