福建省福州格致中学2026-2027学年第一学期高三数学10月限时训练

福州格致中学2026-2027学年第一学期高三数学10月限时训练 (满分:150分;完卷时间:120分钟) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合A={x长>1},B={xx<m,则m>1是“AUB=B的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在平面直角坐标系x0y中,角 的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点,, 则sin号+a)=() A.1 B. C. D.0 3.下列四个函数中,以 为最小正周期且在(号,m)上单调递减的偶函数是() A.y =-tanxl B.y =-tanx C.y=sinx刈 D.y coslxl 4.若a,b是任意实数,且a>b,则() A.a2>b2 B.8>1 C.1g(a-b)>0 D.白a<白b 5.已知圆锥的侧面积为2 ,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积是()】 A.爱 c. D.I 6.已知向量a,b是夹角为60 的两个单位向量,则向量2a-3b在向量b上的投影向量为() A.b B.-3b C.-b D.-2b 7.某工厂产生的废气经过滤后排放,过滤过程中废气的污染物含量P(单位:g/L)与时间t (单位:h)间的关系为P=Poe-kt(其中Po,k是正常数),如果在前5h消除了10%的污染 物,那么污染物减少50%需要花费的时间约为()(参考数据:1n0.5≈-0.693,1n0.9≈- 0.105) A.6h B.10h C.15h D.33h 8.已知f(x)是偶函数f(x)x∈R)的导函数,f(1)=1.若x>0时,3f(x)+xf(x)>0, 则使得不等式(x-2026)3f(x-2026)>1成立的x的取值范围是() 试卷第1页(共5页) A.(2025,+∞)B.(2027,+∞) C.(-∞,2025) D.(-∞,2027) 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.已知函数fw)=sinxcosx-cos2x+号则() A.f(x)在区间(0,上单调递增 B.f(x)的最大值是1 C.f(的一条对称轴为x=罗 D.fx)的图象可由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到 10.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,若S15>S13>S14,则下列 结论正确的有() A.a1>0,d<0 B.当n=14时,Sn最小 C.使得Sn>0成立的最小自然数n=28 D.la13+a14<la15+a16l 11.已知偶函数y=f(x)与函数y=g(x)的定义域均为R,且满足f(x)-g(x+1)=1, g(x)+∫(5-x)=3,则下列关系式一定成立的是() A.f(x+2)-g(x+3)=1 B.g(3)=1 C.g(x)=-g(3) D.f(x+8)=f(x) 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.曲线f(x)=e2-x过原点的切线方程为 13.记Sn为数列{an}的前n项和,已知点(n,an)在直线y=10-2x上,若有且只有4个正 整数n满足Sn≥k,则实数k的取值范围是 试卷第2页(共5页) 14.已知平面向量a,b,c满足Ia=lc=1且a⊥c,向量b满足(a-b) (c-b)=0,则b 的最大值是 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等差数列{an},若a6=11,且a2,a5,a14成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式; W若a1<2,设bn=,求数列b,}的前n项和Sm 16.(15分) 在 ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,C,向量m=(a,b-2c),n=(cosB,c0sA), 且m⊥n. (1)求角A的大小; (2)若 ABC外接圆的半径为2,求 ABC面积的最大值. 17.(15分) 已知椭圆C:兰+景=1(b>0),且焦点在 轴上,离心率e- 2 试卷第3页(共5页) (1)求椭圆C的方程; (2)过点P(0,-2)的直线1与椭圆交于M,N两点,O为坐标原点,若SA0MN=,求直线l 的方程及弦长MNI 18.(17分) 如图,在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,O为AC与BD的交点,点E,F分别为棱PB, PD的中点,且AE⊥BF D B (1)求PO的长度; (2)求二面角A-EC-B的正弦值; (3)若PG=2PC,且A,E,F,G四点共面,求2的值 19.(17分) 若数列{an使得函数f6)满足f(0)+f(a1)+f(a22+If(a33++f(ann<。二 则称{an}为f(x)的进阶数列.已知函数f(x)=e*,g(x)=1n(x+1),an=-1,bn=是n∈ N+. 试卷第4页(共5页) (I)证明:{an}为f(x)的进阶数列. (2)证明:f(x)>g(x+1) (3)证明:{bn}为g(x)的进阶数列. 试卷第5页(共5页) 《10月月考》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D C D D B BCD BCD 题号 11 答案 ABD 1.A 【分析】结合集合运算以及分式不等式的运算,直接判断充分性和必要性即可 【详解】由>1得,>0,x(x-1)<0,0<x<1, 所以A={x>1}={x0<X<1}, 又AUB=B,所以ACB, 则若m>1,可得A={xI0<x<1}≤B={x|x<m}, 若A≤B,则m≥1, 所以m>1”是“AUB=B的充分不必要条件 2.B 【详解】角 的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点G,, 则有c0sa=分sina=号 所以sin号+a)=sin号c0sa+cos号sina-号 + 号=号 3.C 【详解】对于A选项,当x∈(号,m)时,tanx<0,故y=-tanxl=tanx,y=tanx在号,m)上 单调递增,所以A选项错误: 对于B选项,y=-tanx的定义域为(xx≠号+k五,k∈Z)关于原点对称, 且f(-x)=-tan(-x)=tanx=-f(x),所以y是奇函数,所以B选项错误; 对于C选项,y=sinx定义域为R,且f(-x)=lsin(-x)川=|-sinx=sinx=f(x), 所以y是偶函数,且最小正周期为 , 当x∈(号,m)时,sinx>0,故y=Isinxl=sinx,y=sinx在(号,m)上单调递减,所以c选项正 确; 对于D选项,y=Cosx|=Cosx,最小正周期为2m,所以D选项错误 答案第1页(共12页) 4.D 【详解】对于选项ABC:例如a=0,b=-1,满足a>b, 但a2=0,b2=1,即a2<b2,故A错误; 且无意义,故B错误; 可得lg(a-b)=lg1=0,故C错误; 对于选项D:因为y=白*在定义域R内单调递减, 因为a>b,所以月a<”,故D正确 5.C 【详解】设圆锥的底面半径为r,母线长为l,高为h 因为圆锥的侧面展开图为半圆,其圆心角为亚, 所以展开图弧长等于底面周长,即l=2 r 1=2r 又圆锥的侧面积为S侧= rl=2r2=2n 解得r=1,1=2. 圆锥的高为h=2-r2=V22-12=V3 故圆锥的体积为V=nr2h=知 12 3-号n 6.D 【分析】利用投影向量的计算公式即可. 【详解1a-b=1al-b1c0s60-1 1 号 _2x号3x12, 所以向量2a-3b在向量b上的投影狗量为2-心b=2b沙b=2b=-2h 1b12 1b12 7.D 【分析】由题设结合对数运算性质可得答案, 【洋解】因在前5h消除了10%的污染物,则0.9P0=Poe-5k e-5k=0.9 -5k= ln0.9 k=-no.9 5 设污染物减少50%需要花费的时间约为t,则0.5P0=Poe-kt ln0.5=-kt t= 答案第2页(共12页) ln0.5=m0.5x5≈5x-0,693=33. -k ln0.9 (-0.105 8.B 【分析】观察3f(x)+xf'(x)的结构,构造g(x)=x3f(x),先判断奇偶性,再求g(x)在(0,+ ∞)上的单调性,把抽象不等式转化为自变量大小关系求解 【详解】构造函数g(x)=x3f(x),其中x∈R,则g(-x)=(-x)3f(-x)=-x3f(x)= g(x),所以g(x)为R上的奇函数, 当x>0时,g(x)=3x2f(x)+x3f(x)=x23f(x)+xf(x)】>0,所以函数g(x)在(0,+ ∞)上为增函数, 由f(x)是偶函数f(x)x∈R)的导函数,f(x)在R上处处可导,则f(x)在R上处处连续,所 以函数g(x)=x3f(x)在R上连续,所以奇函数g(x)在R上为增函数, 因为f(1)=1,则g(1)=f(1)=1, 由(x-2026)3f(x-2026)>1得g(x-2026)>g(1),可得x-2026>1,解得x>2027, 即x的取值范围为(2027,+∞). 9.BCD 【分析】先利用三角恒等变换化简∫(x),再结合正弦函数的单调性、最值、对称轴和图象平 移规律逐项判断即可。 【详解】f0x)=-sin xcosX-3cos2x+兰=sin2x-号cos2x=sin(2x-月, 对于A:f(x)=sin(2x-孕,单调递增区间应满足-罗+2kn≤2x-号≤号+2km, 解得-是+km≤X≤晋+km,k∈又,所以单调递增区间为(-是+km,晋+k),k∈Z, 因为(0,孕不完全在增区间(-是+km,受+km),k∈Z内,故A错误; 对于B:f(x)=sin(2x-孕,当sin(2x-取到最大值1时,函数f(x)取最大值为1,故 B正确; 对于c:f受=sin(2 段-孕=sin号=1,此时取到了f(x)的最大值,所以函数f(x) 的一条对称轴为X=罗,故C正确; 对于D:y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得y=sin2(x+爱=sin(2x+受= 答案第3页(共12页) sin(2x-,故D正确 10.BCD 【分析】由题设不等式作差可得公差d>0,数列递增,且a14<0,a15>0,所以前14项为 负,从15项起为正,由d>0且a14<0可推出a1<0即可判断A选项;前14项均为负,15 项后均为正,结合数列递增可判断B选项;计算S27=27a14<0,S28=14(a14+a15)>0, 据此判断满足Sn>0的最小n,从而判断C选项;将1a13+a14l<|a15+a16l等价化简为 a14+a15>0,而该式已知成立,即可判断D选项: 【详解】由S13>S14得S14-S13=a14<0,由S15>S14得S15-S14=015>0. 故a14<0<a15,因此公差d=a15-a14>0, 由S15>S13得S15-S13=014+a15>0. 对于A选项:由于d>0,且a14<0,所以a1=a14-13d<0,所以A错误; 对于B选项:因为a1<0,d>0,所以此数列为递增数列, 又a14<0,a15>0,所以前14项均为负数,15项以后均为正数, 所以当n=14时,Sn最小,所以B正确; 对于C选项:S28=%(a1+a28)=14a1+a28),而a1+a28=a14+a15>0,故S28>0, 又S27=(a1+a27)=号(2a1+26d)=27a14,因为a14<0,所以S27<0, 又数列为递增数列,所以使Sn>0的最小自然数为n=28,所以C正确; 对于D选项:a13+a14=2a1+25d,a15+a16=2a1+29d, 因为a13<a14<0,所以a13+Q14<0;因为a16>a15>0,所以a15+a16>0, 所以a13+a14=-(2a1+25d),la15+a16l=2a1+29d, 要i证la13+a1dl<1a15+a1d,即-2a1-25d<2a1+29d台a1>-号d. 而由a14+a15=2a1+27d>0,得a1>-号d,所以D正确 11.ABD 【详解】由f(x)-g(x+1)=1,将x换为x+2知f(x+2)-g(x+3)=1,故A对; 答案第4页(共12页) :f(x)=g(x+1)+1, f(5-x)=g(6-x)+1, 又g(x)+(5-x)=3, g(x)+g(6-x)+1=3, g(x)+g(6-x)=2,g(3)=1,故B对; 将x=1.5代入C得g(1.5)+g(4.5)=0,与函数g(x)关于(3,1)中心对称矛盾,故C错; :f(x)-g(x+1)=1,则f(x-1)-g(x)=1,即g(x)=f(x-1)-1. :g(x)+f(5-x)=3, .f(x-1)-1+f(5-x)=3, .f(x-1)+f(5-x)=4,即f(x)+f(4-x)=4, :f(x)为偶函数, f(-x)+f(-x+4④=4, f(x+4)+f(x)=4①, f(x+8)+f(x+④=4② 由①②知f(x+8)=f(x),故D对. 故选:ABD 12.y=-e3x 【分析】设切点,求导,即可根据点斜式求解切线方程,进而根据直线过原点即可求解切点 坐标,进而可求解。 【详解】由f(x)=e2-x得f(x)=-e2-x 设切点为(x0,e2-x0),则切线方程为y-e2-x0=-e2-x0(x-x0) 由于切线经过原点,所以0-e2-0=-e2-0(0-x0),解得x0=-1, 所以切线方程为y-e3=-e3(x+1),即y=-e3x, 故答案为:y=-e3x 13.(14,181 【分析】根据题意,求得Sn=-n2+9n,得到S1=S8=8,S2=S7=14,S3=S6= 18,S4=S5=20,结合题意和二次函数的性质,即可求解 【详解】因为点(n,an)在直线y=10-2x上,可得an=10-2n, 则Sn=n2+10-20=-n2+9n=-(n-影2+ 2 可得S1=S8=8,S2=S7=14,S3=S6=18,S4=S5=20, 答案第5页(共12页) 又因为有且只有4个正整数n满足Sn≥k, 结合二次函数的性质,可得符合条件的n=3,4,5,6, 所以14<k≤18,即实数k的取值范围是(14,18. 14.2 【详解】已知平面向量a,b,c满足引a=lc=1且a⊥c, 设a=(1,0),C=(0,1),b=(x,y), (a-b) (c-b)=0,代入坐标得: (1-x0-x)+(-y1-y)=0 x2-x+y2-y=0 (x-}+y-2=-2 可知点(x,y)在圆心C,为,半径为r=的圆上, 则的最大值等于原点到圆心的距离加上圆的半径, 即blmx=oC+r=店0+店0+立=立+方=迈 15.(0an=2n-1或an=11(0)Sn=2+ 【解析】()由a6=11,且a2,a5,a14成等比数列这两个条件列出a1和d的方程组可求解出 a1,d,从而可得数列的通项; ()把()解得的an=2n-1代入bn=,1中,化简得 anan+1 b,=nn西=站-.然后利用裂项相消法求和 【详解】解:()a6=11,a1+5d=11①1分 :a2,a5,a14成等比数列,a5=a2a14,.(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)化简得6a1d= 3d2,4分 若d=0,an=115分 若d≠0,2a1=d②,由①②可得,a1=1,d=2.6分 所以数列的通项公式是an=2n-1或an=117分 W由0得bn=-n=品-台9分 1 11 答案第6页(共12页) Sn=b1+b2+…+bn=l-号+写写++品)=l-白=1 3分 【点睛】此题考查了等差数列的基本量运算,裂项相消求和法,属于基础题, 16.(1)A=号(2)33, 【分析】(1)有向量垂直的坐标表示可得ac0sB+(b-2c)cosA=0,应用正弦定理的边角 关系及三角形内角的性质求得cosA=,即可求A的大小; (2)法-:由正弦定理可得b=4sinB,c=4sin(号-B),再利用三角形的面积公式求 ABC面积关于角B的三角函数式,结合三角形内角性质及正弦函数的性质求面积最大值; 法二:应用正余弦定理及基本不等式可得bC≤12,注意等号成立条件,再由三角形面积公式 求 ABC面积的最大值 【详解】(1)依题意得:acosB+(b-2c)cosA=0,则sinAcosB+sinBcosA= 2 sinCc0sA,.2分 sinC=2 sinCcosA,又sinC≠0,4分 c0sA=克A∈(0,m),故A=号6分 (2)法-:由正弦定理得b=2 RsinB=4sinB,c=4sinC=4sin(受-B), : ABC面积S-bcsinA=4③sin Bsin(号-B)=43sinB(%cosB+sinB) -6sinBcosB+23sin2B=3sin2B+3(1-cos2B)=3+23sin(2B-), 由A-得:0<B<号则-若<2B-若<得 -<sin2B-g)≤1,故2B-若=受即B=号时,Smax=33 法二:由正弦定理得:a=2 RsinA=23,.8分 由余弦定理得:a2=b2+c2-2bcc0SA, .b2+c2=12+bc≥2bc,当且仅当b=c时取等号,11分 .bc≤12,13分 Smax=号(bc)maxSin号=33.l15分 答案第7页(共12页) 7.(学+兰=1(@直线的方程为y= 受x-2,弦长1MN1=5 【分析】(1)由题意根据椭圆离心率求得c=2,进而计算可求椭圆C的方程; (2))由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积,进而建立等式计算求解即 可 【详解】()已知椭圆C:兰+:=1b>0)焦点在x轴上,故a2=4,即a=21 分 由离心率e=台=是得c=吃, 2分 b2=a2-c2=4-2=2,3分 因此椭圆方程为子+兰=1;4分 (2)设过P(0,-2)的直线1方程为y=kx-2,设M(x1,y1),N(x2,y2) y=kx-2 联立直线与椭圆方程得:x2y 4+之=1' 消去y整理得(1+2k2)x2-8kx+4=0, 由判别式 =(8k)2-16(1+2k3)=16(2k2-1)>0,得k2>克6分 8k 4 由韦达定理得x1+2=22,X1X2=1+2k7分 2 原点0到直线的距离d=中,8分 弦长1MN=V1+K2.V(x1+X22-4x1X2=4+C2画 1+2k2 ..10分 三角形面积S AONN=MN,d=浸=瓦, 1 11分 令t=2k2-1,t>0,则2k2=t2+1, 代入化简可得华=2,整理得t2-22t+2=0, 答案第8页(共12页) 解得t=2,即v2R2-1=2,得2k2-1=2,即k2=满足k2> 当k2=多》 13分 即k= 时, 直线的方程为y= 受 -2, .14分 1MN=4年2五=V5.15分 1+2x号 当直线1斜率不存在时,直线过P(0,-2),此时O,M,N三点共线,不符合题意,舍去 A 18.(①)P0=6 (②浮 (3)2=3 【分析】(1)建立空间直角坐标系,设P(0,0,a)(a>0),根据两向量垂直数量积为0,得到a 的值; (2)分别计算平面AEC和BEC的法向量,利用向量法求解即可; (3)求出平面AEF的一个法向量n3,利用A,E,F,G四点共面,得出n3⊥AG,即可求 解 【详解】(1)在正四棱锥P一ABCD中,以O为坐标原点,{OA,OB,OP}为正交基底建 立如图所示的空间直角坐标系 E D A B 因为AB=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,-2,0).设P(0,0,a(a>0), 则E0,号,月,F(0,-受9 答案第9页(共12页) 所以AE=( ②,号,,BF=0,-受92分 因为AE1BP,所以AE.BF=-+受=0,解得a=6 所以P0=6.4分 ②)由)知,AE=( 2,号,5,AC=(-22,00, BC=( 迈-迈.0,EB=(0,号,-95分 设平面AEC的法向量为n1=(X1,y1,21). 由1上AE,得1AE=-2x1+号y1+学1=0, n1⊥AC, n1 AC=-22x1=0, 则x1=0,取z1=1,则y1=-3, 即平面AEC的一个法向量为n1=(0,-3,1)7分 设平面BEC的法向量为n2=(X2,y2,22), 由21BC,得2 BC=-2x2-2y2=0, n2⊥EB, n2EB=号y2-z2=0, 取z2=1,则y2=5,X2=-5, 即平面BEC的-个法向量为n2=(-3,3,1).9分 设二面角A-EC-B的大小为6,则cos01=n四必=3+=号, 2xV7 7 Inilln2l 所以sin0=罗 即二面角A-EC-B的正弦值为9 11分 答案第10页(共12页) (3)由PC=(-2,0,-⑥, 所以PG=2PC=(-22,0,-62), 所以AG=AP+PG=(-V22-2,0,-61+⑥.13分 设平面AEF的法向量为n3=(X3,y3,z3), 因为AE=(吃,号,AF=( 迈,-号月, 庙n1AE,得3AE=-2xg+号8+罗3=0, n3⊥AF, ngAF=-2xg-号y3+受23=0, 则y3=0,取z3=2,则x3=3, 即平面AEF的-个法向量为n3=(3,0,2).15分 因为A,E,F,G四点共面,则n3⊥AG, 所以(-22-2) 3+(-⑥2+⑥ 2=0, 解得入=行17分 19.()由题可知f(0)+f(a1)+[f(a22+[f(a3川3+…+[f(an 1-1 =1+++++空<= 1 1-3 所以{an}为f(x)的进阶数列..4分 (2)构造函数y=e -X-1,可得y'=ex-1. 当x∈(0,+∞)时,y>0,即函数y=e -X-1在(0,+∞)上单调递增; 当x∈(-∞,0)时,y<0,即函数y=ex-x-1在(-∞,0)上单调递减. 因此函数y=ex一x一1在x=0处取得极小值,也是最小值, 即可得y=e -X-1≥0恒成立,即ex≥X+1,当且仅当x=0时,等号成立..7 分 答案第11页(共12页) 由e*≥x+1,可得e+1≥x+2,即x+1≥l1n(x+2),当且仅当x=-1时,等号成立. 综上,ex≥x+1,x+1≥1(x+2)恒成立,但等号不在同一点处取得, 所以ex>1n(x+2),即f(x)>g(x+1)..10分 (3)由(2)中结论ex>ln(x+2)可知ln(1+x)<ex-1, 所以1n件-n(1+月<e1, 13分 因此0n牛n<(e后马n=el-n.14分 故g(0)+g(b)+[g(b22+[g(b33+…+[g(bnn=0+ln2+n2+n月 +…+mr<e0+e1+e2++e-n-=e2-号1-e0<号 1-e-1 即{bn}为g(X)的进阶数列.17分 【分析】(1)利用等比数列的前项和公式即放缩即可证明结论. (2))先构造函数y=ex一x一1,求导求函数的单调区间及最小值,即可证明e ≥X+1, 对自变量加1及求对数即可证明结论, (3)由(2)的结论,以及等比数列前n项和及放缩即可证明结论 答案第12页(共12页)