精品解析：河南省焦作市武陟县第一中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试题

高二年级十月份月考数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，， 因为，所以存在实数，使得， 故，解得，，， 所以. 3. 已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A. B. － C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值. 【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)， ∵＝2，∴∴ ∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－． 故选：B 【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2). 4. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算及基本定理计算即可得． 【详解】由题可知，，， ， 所以， 故选：D． 5. 如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线。求出，进而利用两点间距离公式求出答案. 【详解】过点D作DH⊥BC于点H， 因为点在平面上，所以点的横坐标为，又，原点是的中点， 且， 所以，， 所以， 故点的竖坐标， ， 故纵坐标． 所以． 所以， 故选：D． 6. 已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，可知存在实数使得，则有，进而可得，，则有，根据二次函数的性质可求出取得最小值时的值，进而可求Q点的坐标． 【详解】由点Q在直线OP上可得：存在实数使得，则有， 所以，， 则， 根据二次函数的性质可得：当时，取得最小值，此时Q点的坐标为， 故选：C 7. 设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点P在直线PA上可以求出其纵坐标，然后根据|PA|=|PB|可知，点A，B关于直线 对称，即可求出点B的坐标，由点的坐标即可求出直线PB的方程． 【详解】因为点P在直线PA上，所以，解得，即点的坐标为， 又|PA|=|PB|，点A，B关于直线对称，点的坐标为，所以点的坐标为 ，，所以PB：，即． 故选D． 【点睛】本题主要考查轴对称、中点公式的应用以及直线方程的求法． 8. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，A正确； 设，即，解得， 即，所以是共面向量，B错误； ，所以，C正确； ，D错误. 10. 已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则点四点共面 C. 点可能共线 D. ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 11. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，直线平面 B. 当为中点时，直线与所成的角为 C. 若是棱上的动点，且，则平面平面 D. 当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量关系依次求解每个选项即可判断. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， 当为中点时，， 所以, 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则可得， 因为，所以， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为，所以当为中点时，直线与所成的角为，故B错误； 若，则，又, 则， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， 因为，所以平面平面，故C正确； 因为，易得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 则， 则当时，取得最大值为，所以直线与平面所成的角的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 13. 已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线方程求得直线所过定点，方法一由直线的法向量可求得直线的方向向量，结合直线的斜率公式解得参数；方法二由题意直接求出直线的点法式方程.再代入点解得参数. 【详解】直线的方程为，即，所以直线过定点． 方法一 则直线的一个方向向量的坐标为．又直线过定点， 且点在直线上，所以，解得． 方法二 又直线过定点，所以直线的方程为， 化简得．将点代入，得，解得． 故答案为：. 14. 已知四棱锥的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E是的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据线面垂直确定点P的轨迹，再解三角形得周长. 【详解】设底面的中心为，则面,由正方形得面 取，的中点为G，F，易得面面，所以面，因此动点P的轨迹为，因为，，因此动点P的轨迹的周长为. 故答案为： 【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足： （1）过点(－1,3)，且与l平行； （2）过点(－1,3)，且与l垂直； 【答案】(1)3x＋4y－9＝0; （2）4x-3y+13＝0. 【解析】 【分析】（1）由直线平行可得直线斜率，进而由点斜式即可得解； （2）由两直线垂直可得斜率之积为-1，从而得斜率，进而利用点斜式即可得解. 【详解】(1)∵l∥l′，∴l′的斜率为－ ∴直线l′的方程为：y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. （2）l′的斜率为， ∴直线l′的方程为：y－3＝(x＋1)，即4x-3y+13＝0. 【点睛】本题主要考查了两直线平行和垂直时斜率的关系，属于基础题. 16. 设直线，(). （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）设直线与轴､轴的正半轴交于点，，求当(点为（1）中的定点)取得最小值时直线的方程. 【答案】（1）证明见解析，坐标；（2）或；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据直线方程，列出方程组，求解，即可得出定点坐标； （2）根据直线在两坐标轴上的截距相等，分别讨论直线过原点，和直线不过原点，两种情况，分别求解，即可得出结果； （3）设，，则直线的方程可设为，根据直线过定点得到，再由，结合基本不等式求解，即可得出结果. 【详解】（1）因为， 由，解得，则定点为； （2）因为直线在两坐标轴上的截距相等， 当直线过原点时，，则，此时直线的方程为； 当直线不过原点时，直线方程化为， 则，解得，所求直线为； 综上，直线方程为或； （3）设，，则直线的方程可设为， 又直线过点，则， 而 当且仅当时等号成立，此时直线的方程为. 【点睛】本题主要考查求直线过定点问题，考查求直线的方程，属于常考题型. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1）取的中点为，连接， 又为的中点，则且， 又正方形中，为的中点，则且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，通过证明四边形为平行四边形可证得结论； （2）取的中点为，的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量法求二面角的正弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 取的中点为，的中点为，连接， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又四边形为正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，所以， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，令，得， 所以平面的一个法向量为， 所以， 设二面角的大小为， 则， 所以二面角的正弦值为． 18. 如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上． （1）若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离； （2）在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，的值为. 【解析】 【分析】(1)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离； (2)利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】 连接， 因为所以 又因为平面平面，平面平面， 平面,所以平面， 平面，所以， 又因为，. 所以建立如图所示空间直角坐标系， 所以, , 设平面的法向量为， 则有令则， 所以点到平面的距离为， 又因为平面，平面， 所以平面，所以直线AB到平面EOF的距离为. 【小问2详解】 设存在点,且,， 因为, 设平面的法向量为， 则有 令则， 又因为平面ABC，所以平面ABC的一个法向量为为， 所以， 即解得或（舍）， 所以存在，且. 19. 已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. （1）求三棱锥外接球的表面积； （2）若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； （3）若的取值范围是，求二面角的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用该三棱锥的性质找出外接球的球心与半径计算即可；（2）将三棱锥体积之比转化为底面积之比，然后利用，求出底面积之比即可;（3）该图像不好建立空间直角坐标系，就利用几何法画出二面角，然后计算各个线段的长度，利用余弦定理得到，然后利用余弦定理得到，最后利用的取值范围求出二面角的取值范围即可. 【小问1详解】 在矩形中，连接与相交于点， 则 在翻折后点为中点，还是有 故三棱锥外接球球心为点，半径 所以外接球表面积. 【小问2详解】 由题可知， 所以 因为， 则 因为 故 所以 【小问3详解】 过点作的垂线，与相交于点，在平面上，过点做的垂线，与相交于点； 则二面角为 显然， 所以有， 由题可知，， 故，，， 由余弦定理可知 所以有 在中，利用余弦定理得 又因为，的取值范围是 所以有， 得 因为 所以 即二面角的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级十月份月考数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若直线与直线垂直，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A. B. － C. D. 4. 如图，在四面体中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，原点是的中点，点，点在平面上，且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，O为坐标原点，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 设A，B是轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是(　　) A. B. C. D. 8. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，则（    ） A. B. 向量不是共面向量 C. D. 10. 已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则点四点共面 C. 点可能共线 D. ，则 11. 如图，在边长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当为中点时，直线平面 B. 当为中点时，直线与所成的角为 C. 若是棱上的动点，且，则平面平面 D. 当在棱上运动时，直线与平面所成的角的最大值为 三、填空题 12. 在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 13. 已知点，直线的方程为，若直线以为法向量，且点在直线上，则______． 14. 已知四棱锥的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E是的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求下列直线l′的方程，l′满足： （1）过点(－1,3)，且与l平行； （2）过点(－1,3)，且与l垂直； 16. 设直线，(). （1）求证：直线恒过定点，并求出定点坐标； （2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； （3）设直线与轴､轴的正半轴交于点，，求当(点为（1）中的定点)取得最小值时直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点M，N分别为BC，PD的中点． （1）证明：平面； （2）若，平面平面，求二面角的正弦值． 18. 如图，把边长为的正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，F是BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，动点E在线段AD（包含端点A，D）上． （1）若E为AD的中点，求直线AB到平面EOF的距离； （2）在线段AD上是否存在点E，使得平面EOF与平面ABC的夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知矩形 中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体. （1）求三棱锥外接球的表面积； （2）若点为底面内部一点，且，求三棱锥与三棱锥的体积之比； （3）若的取值范围是，求二面角的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $