中国古代的算筹与数学专题训练--2026-2027学年统编版七年级历史上册

统编版·人教最新版《中国历史》七年级上册（2026年秋） 七年级上册中国古代的算筹与数学 专题训练 专题复习　贯通第一至第四单元 （本卷共 14 小题，满分 100 分，建议用时 45 分钟） 一、方法指导 1．古人记数运算，初以算筹。筹以竹、木或骨为之，细长为条。运算之时，以筹布地，纵横相间以表数位：纵者表示个位、百位、万位，横者表示十位、千位。一筹之摆，或纵或横，一二三以筹之多少计，四五六七八九则以筹之组合表之，空位不摆筹，谓之空。此法不用算盘，而能演加减乘除，亦能开方。其巧在以一种简单的条，排出一套位置记数之法，使数与位相别而又相成。 2．算筹用十进位值制：位在则数大，位空则为零。纵式与横式交替，使相邻两位不致相混。例如三百四十二，百位三用纵，十位四用横，个位二用纵。此法早于世界他处之用位值制者甚久。以筹记数，一目了然，运算之时随手移筹，便得结果。位值之制，是数学史上极要的一步，而中国以算筹行之，已历千余年。它不靠符号而靠摆法来区别数位，是一种以空间位置承载数值的智慧。 3．汉以来有算书传世，至《九章算术》集其大成。其书分方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，皆就实际问题立术。方田讲田亩面积，粟米讲比例换粮，衰分讲分配，少广讲开平方圆，商功讲工程体积，均输讲赋税转运，盈不足讲盈亏，方程讲联立，勾股讲直角三角形。其术重在算法，不求证明，但能解题。此乃实用数学之传统，与农政、赋税相须而成。 4．魏晋之际，刘徽注《九章》，创割圆术，以圆内接正多边形边数倍增，使周界渐近于圆，求得圆周之积已甚精密。南朝祖冲之更推其精，定约率与密率二数，使圆率之精远超昔人，比西方同类结果早出数百年。其法以边数愈多则周愈近圆，是极限思想之早现。数学之进，往往由实用而入于精微；由田亩量地之需，竟引出关乎圆率与无穷的深思，正是中国算学的一条进路。 5．论算筹与算经，宜分两面看。其价值在见实用：算筹与算经皆为解决田亩、赋税、工程、历法之实为而作，与农政相须，不尚空谈。其局限在重术轻理：古人多记其法而少言其故，算法虽精而证明未备；且算书流传，真伪错杂，注者各出己意，读之须辨。合而观之：算筹是中国人位置记数与运算之器，算经是其实用算法之汇，二者相成，成一实用数学之统，影响及于东亚数百年，其以器载道、以用立术的精神，至今可思。 二、单项选择（10 小题，每题 3 分，满 30 分） 1．古人早期记数与运算所用的主要工具是 A．算盘，珠算为之 B．算筹，以竹木骨为之，纵横摆布以表数位 C．电子计算机 D．阿拉伯数字 2．算筹表示数位的方法特点是 A．只用一种摆法不分位 B．靠颜色区分数位 C．靠字母标记数位 D．纵式与横式交替，空位不摆筹，以位置表数值 3．下列关于十进位值制的说法，正确的是 A．算筹不用位值制 B．算筹以纵横交替防止相邻数位相混，早于世界他处 C．位值制是近代才有的 D．算筹只用横式 4．《九章算术》的内容特点是 A．只讲哲学不讲计算 B．全为诗歌体 C．只记帝王事迹 D．分九章就实际问题立术，重算法不求证明 5．《九章算术》中讲解田亩面积的是 A．粟米一章 B．方程一章 C．方田一章 D．勾股一章 6．刘徽与祖冲之在数学上的主要贡献在于 A．以割圆术推求圆周之积，定约率与密率，早西方数百年 B．发明了造纸术 C．编写了历书 D．统一了度量衡 7．刘徽「割圆术」所用的思想是 A．直接用直尺量圆 B．把圆当作方形 C．以圆内接正多边形边数倍增，使周界渐近于圆 D．忽略圆的曲边 8．中国古代数学传统的长处在于 A．紧贴田亩、赋税、工程、历法等实用之需而立术 B．只追求抽象证明 C．脱离实际空谈 D．专攻天文不问其余 9．评价古代算书应注意的局限是 A．完全无误可直信 B．从不流传 C．皆为一人所写 D．重术轻理，多记其法而少言其故，且真伪错杂须辨 10．算筹与算经的历史意义可概括为 A．毫无影响 B．以器载道、以用立术，成一实用数学之统，影响东亚数百年 C．只用于占卜 D．被后世完全抛弃 三、材料解析题（共 4 小题，第 11 题 16 分，第 12—14 题各 18 分，共 70 分） 第11题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料一　算书之法曰：凡算之法，先识其位。位者，纵以记个百千万，横以记十百千万。空位不筹，谓之无。以筹布地，移之则得数。 　　材料二　论者曰：筹之巧，在以位置别数，不以符识。纵横交替，邻位不混，此十进之制所由精也。 　　（1）根据材料一，说明算筹如何以位置表示数位。 　　（2）根据材料二，指出论者认为算筹之巧何在。 　　（3）综合上述材料，分析算筹所用十进位值制的意义。 第12题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料三　《九章》之目曰：方田以量地，粟米以易粮，衰分以均之，少广以开方，商功以度役，均输以平赋，盈不足以考余，方程以并正负，勾股以测直。皆因事立术，不尚空言。 　　材料四　注者曰：古人多重其术而略其故，法虽善而未尽其理；且书经传写，真伪相杂，读之宜慎。 　　（1）根据材料三，说明《九章算术》的编纂特点。 　　（2）根据材料四，指出古代算书流传中存在的问题。 　　（3）综合上述材料，评价中国古代数学的实用传统。 第13题　阅读下列材料，结合所学内容回答。 　　材料五　刘徽之术曰：割圆也，以六觚始，边数倍增，周则渐屈，与圆合体，则圆积可求。祖冲之承之，定约率与密率二数，圆率之精，远超昔人。 　　材料六　论者曰：由量地之需，竟入无穷之思，此中国算学之进也。然其法虽精，证明未备，后之学者当补其缺。 　　（1）根据材料五，说明刘徽割圆术的基本思路及祖冲之的发展。 　　（2）根据材料六，指出论者对算学由实用入精微的看法。 　　（3）综合上述材料，评价中国古代圆周率研究的历史地位。 参考答案与评分说明 二、单项选择题 　　第1题 B；第2题 D；第3题 B；第4题 D；第5题 C；第6题 A；第7题 C；第8题 A；第9题 D；第10题 B 三、材料解析题 第11题 　　（1）表示之法可以从材料一的两句话去看。其一在分位：材料一所说凡算之法、先识其位说明，运算头一件是认位；所说位者、纵以记个百千万、横以记十百千万说明，位有纵有横两套，纵的记个位、百位、万位，横的记十位、千位。一套纵、一套横，交替使用，位便分明。其二在空格：所说空位不筹、谓之无说明，哪一位没有数，就不摆筹，这一位便是零。空即是零，不以别物表之。其三在得数：所说以筹布地、移之则得数说明，把筹摆在地上，运算时移来移去，便得出结果。三层合看：算筹表示数位，靠的是摆的方向（纵或横）来定是哪一数位，靠的是摆不摆来定这一位有无；位置既定，移筹成算。材料一所说的「先识其位」四字最要紧——一切从认位开始，位认错了，数就全错，这正是位值制的根本。 　　（2）巧之所在可以从材料二的两句话去看。其一在别数之法：材料二所说筹之巧、在以位置别数、不以符识说明，算筹的巧妙，在于用位置来区分数值，而不是用别的符号来标记。也就是说，同一个筹，摆在个位是几，摆在十位便是几十，区别全在它所在的位置，不在筹本身有什么不同。其二在防混之法：所说纵横交替、邻位不混说明，相邻的数位用不同的方向摆——个位纵、十位横、百位又纵，这样左右相邻不会认错是哪一位。所说此十进之制所由精也说明，正是这种纵横交替，使十进位值制得以精确实行。两层合起来：算筹之巧，巧在「以位置别数」而不靠符号，巧在「纵横交替」而使邻位不混。材料二的「不以符识」四字，正点出它与后来用数字符号记数的不同路数——它是靠空间里的摆法来承载数值的智慧。 　　（3）意义可以从三方面看。其一在早：材料一所说先识其位、纵以记个百千万、横以记十百千万，说明中国很早就用位值制；材料二所说此十进之制所由精也，说明这套制行之已精。位值制早于世界他处甚久，是数学史上一大步。其二在简：材料一所说以筹布地、移之则得数，材料二所说以位置别数、不以符识，说明它不靠繁复符号，只靠摆法，便能把加减乘除开方都演出来，化繁为简。其三在通：材料二所说纵横交替、邻位不混，说明位与位之间界限清楚、不会相乱，则大数小数皆能一贯表示，运算可不误。合而观之：算筹的十进位值制，其意义在于用最简单的一根筹、最清楚的纵横摆法，解决了一个数如何表示、如何运算的根本问题；它使数与位相别又相成，为后来《九章》立术、刘徽割圆奠定了记数之基。要而言之：位值之制是中国算学奉献于世界数学史的一件重器，而其器之本，正在这一纵一横、一空一实之间。 第12题 　　（1）编纂特点可以从材料三的九章之目去看。其一在分门：材料三所列方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九目，各对应一类实际事务——量地、易粮、均分、开方、度役、平赋、考余、并正负、测直。九目九事，条理分明。其二在立术：所说方田以量地、粟米以易粮等，每一目都是「以某法处理某事」的格局，说明它给每一类实际问题中都配了一套算法（术）。其三在不尚空言：材料三末句所说皆因事立术、不尚空言，点出它的总特点——从实际事情出发设立算法，不空谈道理。合而观之：《九章算术》的编纂特点，是「分门别类、因事立术、务实不虚」。它不像后世某些数学书那样先讲公理再推定理，而是把田亩、粮食、赋税、工程这些活生生的实务，一一变成可算的题与术。材料三的「不尚空言」四字，正是这一实用传统的自我表白。 　　（2）问题可以从材料四的两句话去看。其一在重术轻理：材料四所说古人多重其术而略其故、法虽善而未尽其理说明，古人多记下算法（术），却少说明算法背后的道理（故）；法子虽好，但没有把所以然讲透。这是古代算书在学理上的缺憾——能解题而不善证明。其二在传写失真：所说且书经传写、真伪相杂、读之宜慎说明，算书在代代抄写流传中，混入了一些非原本的内容，真与伪搅在一起，读的时候要小心分辨。这是流传过程中的文献问题。两层合起来，材料四所举的问题，一是内容上的「重术轻理」，二是流传上的「真伪相杂」。前者关乎数学思想的高度，后者关乎史料的可靠。材料四的「读之宜慎」四字，正是对后人的提醒：既不可轻其术，亦不可轻信其文，须辨其故、考其真，方能得其用。 　　（3）评价宜分两面。先看其长：材料三所说方田以量地、粟米以易粮、均输以平赋、商功以度役等，说明古代数学紧紧贴着田亩、粮食、赋税、工程这些治国与生民之实务；所说皆因事立术、不尚空言，说明它务实地给出算法而非空谈。这种实用传统，使数学能直接服务于农政与民生，是中国算学生生不息的土壤。再看其短：材料四所说多重其术而略其故、法虽善而未尽其理，说明实用传统也带来重结果轻证明的偏向，算法精而学理未张；所说书经传写、真伪相杂，说明实用之书在流传中也难免失真。合而观之：中国古代数学的实用传统，其功在「有用」——它让算学落地，解了田赋工程之需；其失在「少理」——它重术而轻故，使证明之学未及大昌。要而言之：实用是其魂，亦是其限；后人既当取其因事立术之实，亦当补其未言其故之缺，方能使古术既可用、亦可知。 第13题 　　（1）思路与发展可分两层看。先看刘徽：材料五所说割圆也、以六觚始、边数倍增、周则渐屈、与圆合体、则圆积可求说明，刘徽从圆内接正六边形开始，把边数一倍一倍地增加，多边形的周界就渐渐弯屈贴合圆周，等到多边形与圆几乎合为一体，便可用它来求出圆的面积（圆积）。这思路的要点在「边数倍增」与「渐合于圆」——不是直接量圆，而是用越来越多边的内接多边形去逼近圆。再看祖冲之：所说祖冲之承之、定约率与密率二数、圆率之精、远超昔人说明，祖冲之继承刘徽的办法，进一步把圆周之积算得更精，定出约率与密率两个数，其精确程度超过了前代。两层合起来：刘徽开了「以直逼曲、以多近圆」的门，祖冲之则把门里的路走得更深更远。材料五所说的「边数倍增、与圆合体」，正是极限思想的朴素表达——用有限的直，去迫近无限的曲。 　　（2）看法可以从材料六的两句话去看。其一在见进：材料六所说由量地之需、竟入无穷之思、此中国算学之进也说明，论者认为，算学最初是为了量地这类实用需要，却由此生出了关于「无穷」的深沉思考（即割圆术中边数无限倍增而近圆的思想），这种由实用走向精微，正是中国算学的一种进步。实用是起点，精微是升华，二者相连。其二在见缺：所说然其法虽精、证明未备、后之学者当补其缺说明，论者也指出，这类方法虽然算得精，却缺乏严格的证明，后来的学者应当把缺失的证明补上。这是既肯定其进、又指出其限的持平之论。两层合看：材料六对算学由实用入精微的评价，是「进在其由用到精，限在其精而未证」。它把割圆术放在「实用—精微」的脉络里肯定其价值，又放在「精—证」的尺度上点出不足，态度公允。 　　（3）地位可以从三方面看。其一在早：材料五所说祖冲之定约率与密率二数、圆率之精远超昔人，说明中国在圆周率上的成果，比西方同类结果早出数百年，这是时间上的领先。其二在思：材料六所说由量地之需竟入无穷之思，说明圆周率研究在中国不只是算出一个数，更催生了「以直逼曲」的极限思想，这是思想上的贡献。其三在限：材料六所说其法虽精、证明未备，说明这一研究在方法上精于算而疏于证，留有可补之缺。合而观之：中国古代圆周率研究的历史地位，在于它以算筹与割圆之术，把实用的量地之需，升华为对圆与无穷的精算与深思，并在时间上长期领先于世；而其「未备证明」的一面，也正提示了由算入理、由术入学的后来方向。要而言之：圆周率的推求，是中国算学「以用立术、由术入思」的一个范例，其数之精、其思之早，皆为后世所重。 复习备考提示 ·　算筹以竹木骨为之，纵横摆布表数位（纵表个百千…、横表十百…），空位不摆筹，不用算盘而能演加减乘除与开方。 ·　算筹用十进位值制，纵横交替以防相邻数位相混，此法早于世界他处位值制甚久，以位置承载数值。 ·　《九章算术》分九章（方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股），就实问题立术，重算法不求证明。 ·　刘徽创割圆术求圆率渐精，祖冲之定约率与密率，早西方数百年；其法边数倍增近圆，是极限思想早现。 学科网（北京）股份有限公司 $