导数与函数的单调性（一）专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 导数与函数的单调性（一） 专项训练 0302导数与函数的单调性（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、函数的单调性与导函数图象之间的关系 例1（1）．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 例1（2）．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间内单调递减 B．是函数的极大值点 C．导函数在区间内单调递减 D．是导函数的极小值点 训练1-1．已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 训练1-2．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 二、不含参函数的单调性 例2（1）．已知函数，则的单调增区间为___________ 例2（2）．已知函数，则的单调递增区间为____________________，单调递减区间为_____________________． 训练2-1．函数的单调递增区间是_______________． 训练2-2．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 训练2-3．已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 三、含参函数的单调性 例3．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 训练3-1．已知函数.讨论的单调性. 训练3-2．已知函数. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设是两个不相等的正数，且，证明：. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 导数与函数的单调性（一） 专项训练 0302导数与函数的单调性（一） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、函数的单调性与导函数图象之间的关系 例1（1）．如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可通过函数图象的单调性判断导数的符号，得到答案 【详解】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 例1（2）．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间内单调递减 B．是函数的极大值点 C．导函数在区间内单调递减 D．是导函数的极小值点 【答案】D 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增，故A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，由图象可知导函数在区间内单调递增，故C错误； 选项D，由图象可知导函数在区间内单调递减，导函数在区间内单调递增， 所以是导函数的极小值点，故D正确. 训练1-1．已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 训练1-2．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 二、不含参函数的单调性 例2（1）．已知函数，则的单调增区间为___________ 【答案】 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 例2（2）．已知函数，则的单调递增区间为____________________，单调递减区间为_____________________． 【答案】 【详解】利用导函数与函数单调性之间的关系，由导数求函数的单调区间． 【分析】由 ． 因为，故； 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 所以函数，则的单调递增区间为，单调递减区间为． 训练2-1．函数的单调递增区间是_______________． 【答案】 【详解】由已知，， 由，可得，解得， 即函数的递增区间为． 训练2-2．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】易知函数的定义域为，， 又，令，解得. 所以函数的单调递增区间为. 训练2-3．已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 三、含参函数的单调性 例3．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）通过求导确定切线斜率，即可求解； （2）通过和讨论导数符号，即可求解. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以曲线在处的切线方程为，即． （2）． 若，令，即， 因为，所以，解得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 若，令，解得． 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增． 训练3-1．已知函数.讨论的单调性. 【答案】当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】先求导分解因式，再根据的正负，比较两根和的大小，分类讨论导数的符号，从而确定函数的单调区间. 【详解】由题可知函数的定义域为， 求导得： 因故的符号由分子决定， （1）当时，由，得，在上单调递增， ，得，在上单调递减； （2）当时，因为， 当时，，在上单调递减； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 当时，因为， 由，得或，在上单调递减， 由，得，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，无单调递增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 训练3-2．已知函数. (1)若，求函数的图象在处的切线方程； (2)讨论在区间上的单调性； (3)设是两个不相等的正数，且，证明：. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3)证明：由题意，， 要证，即证， 即证， 由，只需证：. 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得， 设，，则， 而， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 要使且，则，从而， 要证，只需证：， 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证：， 只需证：，即证， 设，则， 设，，则， 则在上单调递增，所以， 从而，所以在上单调递减， 从而，则， 所以. 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分和两种情况讨论求解即可； （3）由分析法，转化为证明，再由已知条件构造函数，，求导，分析其单调性可得，进而转化为证明，再代入后转化为构造函数，利用导数求函数的最小值. 【详解】（1）当时，，则， 而，则， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）由，， 则， 当时，， 则函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $