单元7 导数与函数的单调性、极值、最值 B卷-2027届高三数学一轮复习

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元7 B卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元7 导数与函数的单调性、极值、最值 B卷 参考答案与解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B C B B D A BCD ABC ABD 1．C 【解析】对函数求导得，. 令，则或.若，则或；若，则. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值点是. 2．A 【解析】由的部分图象可知处于函数单调减区间上，故； 处于函数单调增区间上，故， 又当函数递增时，随着x的增大，函数值的增加速度越来越大，即曲线切线的斜率越来越大， 结合，可得，故. 3．B 【解析】由，，得， 令，得或，令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 因为，，且时，，时，， 函数的大致图象如下： 由图可知，函数有最大值也有最小值. 4．C 【解析】，则， 由得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又，则当在内存在最小值时，也即极小值即为最小值， 故需满足得，则实数的取值范围是. 5．B 【解析】分段函数在上为增函数，需同时满足以下三个条件： 当时，二次函数单调递增：该二次函数开口向下，对称轴为， 需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 当时，单调递增：对求导得，需对任意恒成立， 即对恒成立，故； 分段点处，左段的极限函数值不大于右段的函数值： 左段在时的函数值为，右段在处的函数值为， 故，解得； 综上：实数的取值范围是. 6．B 【解析】由题意得若函数为不动点函数则满足， 即，即，设，， 设，所以在单调递减，且， 所以在上单调递增， ，所以在上单调递减， 所以， 当则； 当则； 所以的图像为： 要想成立，则与有交点，所以 7．D 【解析】若满足对任意的，都存在唯一实数使得，（若不严格单调，则至少存在一个，使得除外还有其他满足，与“唯一实数”的条件矛盾） 所以在上严格单调，所以， 所以在恒成立，或在恒成立， 当在恒成立时，即对恒成立， 所以，令，即， 所以，令， 所以，令，解得，令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在单调递增，又， 当时，，所以，当时，，所以， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，所以，即， 当在恒成立时，即对恒成立， 当时，，不满足题意， 综上所述，. 8．A 【解析】因为，令，则有， 由题意可知是此方程的两个正根，所以， 两边取自然对数，得， 即， 令，因为，所以，所以， 则，即为，所以， 所以， 令， 则， 令， 则，所以在上单调递减， 又当趋于时，趋于0， 所以，即，所以在上单调递减， 所以. 9．BCD 【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示： 由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：BCD. 10．ABC 【解析】令，因为恒成立，所以， 则有， 设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，即恒成立， 即，即， 令，则有，进而有， 令，因为.所以，即，即，进而， 因此，即恒成立，排除D选项， 取，， 此时，即，B选项正确， 取，， ，，，所以，进而有，A选项正确， 取，， 由上知，所以，即，进而，故C正确. 故选：ABC. 11．ABD 【解析】∵ ，定义域为，∴ ， 分母恒成立，故的符号由分子决定. 选项A：∵ 是开口向下的二次函数，判别式恒成立， ∴ 恒有两个不同的零点（）， ∴ 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故是极小值点，是极大值点，任意，一定存在极大值和极小值，A正确. 选项B：当时，，，， ∵ ，， ∴ 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， ∴ 在处取得最大值，等号仅在处取得. ∵ 对任意，恒成立， ∴ ， 当时，左侧，右侧，不等式仍成立， 故对任意，都有. 选项C：若在上单调递减，则对任意恒成立， 代入得，与矛盾， 故不存在使在上单调递减，C错误. 选项D：方程等价于，整理得. 令，，故在处取最小值，即恒成立， 则，令，. 对求导得 分母恒成立，令，则： ， 令，则. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. ∴ ，即恒成立，故在上单调递减. 又∵ ，， ∴ 存在唯一，使得. ① 当时，，故，在上单调递减； ② 当时，，故，在上单调递增； ③ 当时，，，故，在上单调递减. ∴ 在处取极小值，在处取极大值. 当时，，故； 当时，增长速度远快于幂函数，故. ∴ 当时，直线与的图象有3个交点，分别位于、、上， 即方程有三个不同实根，故存在满足条件的，D选项正确. 故选：ABD. 12． 【解析】函数的定义域为，且， 令，解得，所以的单调递增区间为. 13． 【解析】由题意得，所以. 令，则，因为，所以， 所以，所以不等式等价于，解得. 14．cm3 【解析】如下图， 连接交于点，设，，重合于点， 设正三角形的边长为，等边三角形中心到各边的距离为： ，所以， 则 ， 又因为高为实数，则，得出，所以， 则三棱锥的体积， 设，则， 令，即，得， 当时，，函数在单调递增， 当时，，函数单调递减， 在处取得最大值，则. 15．【解析】（1）. 由在处取极值可得， 则此时. ，， 得在上单调递增，在上单调递减，即符合题意； （2）由（1）分析可得：在上单调递增，在上单调递减， 极大值为，极小值为. 16．【解析】（1）因为在上单调递增，所以 ①当，即时，，在上单调递增， ，所以，符合题意； ②当，即时，当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增． ，解得，与矛盾，不符合题意； 综上可知． （2）依题意， ， 令，则对于任意，恒成立， ， ①当，即时，因为，所以． 所以在上单调递增．又，所以，当时，对于任意都有; ②当时，，， 故存在，当，，单调递减， 此时，与恒成立矛盾，不符合题意． 综上，的取值范围为． 17．【解析】（1）由题，. 当，则，则此时在上单调递减； 当，则. 若，即时，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，即时，此时在上单调递减. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）时，由（1）可得； 又，则，得在上单调递增， 则. 又注意到存在，，使得， 等价于时，， 则，又， 则. 18．【解析】（1）当时，，所以， 则，所以切点为， 则曲线在处的切线方程为，即． （2）（i）由，，即，故， 因为有三个不同的零点，故有3个不同的正根， 令，，则有两个不同的变号零点， 令，，则， 令，得，令，得，令，得， 故在上单调递减，在上单调递增， 因为，且当时，，当时，， 故要想有两个不同的变号零点，需满足，即， 此时存在实数，使得有3个不同的正根， 故的取值范围为； （ⅱ）若存在，使得有三个不同的零点， 即为方程的根，即， 两式相加得， 因为成等差数列，所以， 则，即， 故，即， 又，故， 即，则， 下面推导对数平均不等式，，只需证， 令，只需证， 令，则， 故在上单调递增， 又，故，证毕， 而，又，故等号取不到，所以，即， 所以，由（i）知，， 故，证毕． 19．【解析】（1）易知单位圆上圆心角为的圆弧，所以， （2）由题意，因为在第一象限，所以， ，， 故，，故 （3），， 故，其中， 令，，则，设，则， 令，， 时，，在递减， 时，，在递增， 故； 令，， 令，则，当时，恒成立， 故在上单调递增，可得，即， 故有，则在递增， 故，故的最小值为. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习单元检测卷 单元7 导数与函数的单调性、极值、最值 B卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的极小值点是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的导函数为，且的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．有最大值无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值有最小值 D．无最大值也无最小值 4．已知函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知，设函数在上是增函数，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 6．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数有两个极值点且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．任意，函数一定存在极大值和极小值 B．当时，对任意，都有 C．存在，使函数在区间上单调递减 D．存在，使方程有三个不同的实数解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的单调递增区间为__________. 13．已知是函数的导函数，且对任意的实数都有，，则不等式的解集为________. 14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的等边三角形的中心为，，，为圆上的点，，，分别是以，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数   在 处取得极值. (1)求函数 的解析式; (2)求函数 的单调区间及极值. 16．（15分）已知函数. (1)若函数在区间上的最小值为0，求a的值； (2)若对于任意，恒成立，求a的取值范围. 17．（15分）已知，，其中是自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)设，．存在，，使得成立，试求实数的取值范围． 18．（17分）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得有三个不同的零点， （i）求的取值范围； （ⅱ）若成等差数列，求证：． 19．（17分）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线：上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示在点处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和，若且处的“柯西曲率”相同，求的最小值. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $