第二章 有理数的运算 题型精讲（讲义）-2026-2027学年人教版七年级上册数学

该初中数学讲义通过思维导图、对比表格及口诀系统梳理有理数运算知识体系，涵盖加减乘除、乘方、科学记数法等法则与运算律，明确符号确定、运算顺序等重难点，呈现知识内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计与方法指导，如“先定符号再算绝对值”口诀培养运算能力，库存结算等实际应用题发展应用意识。分层作业与易错专练助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

人教版·七年级上册·第二章 有理数的运算·题型精讲讲义 题型精讲讲义 第二章 有理数的运算 题型精讲（讲义）-2026-2027学年七年级上册数学人教版 人教版（2024年版）七年级数学上册　第二章 有理数的运算　2.1 加法与减法　2.2 乘法与除法　2.3 乘方 班级：________　姓名：________　日期：________ 　课时目标 课标要点 1．能说出有理数的加法法则、减法法则、乘法法则与除法法则，会先定符号再算绝对值，完成有理数的加、减、乘、除运算，并会把加减混合运算写成省略括号和加号的形式。 2．能说出乘方的意义，会指出一个幂的底数与指数，会判断幂的正负，并能按“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的”这一顺序完成混合运算；会用加法、乘法的运算律使运算简便。 3．会用科学记数法表示绝对值较大的数，会按指定的精确度用四舍五入法取近似数，并会用有理数的运算解决气温变化、升降与库存结算、时区换算这类实际问题。 学习重难点 重点：加法法则与减法法则；乘法法则、倒数与除法法则；混合运算的顺序；运算律在简便运算中的选用；科学记数法与近似数的表示。 难点：符号的确定：异号两数相加取哪一个符号、多个乘数相乘按负乘数的个数定号、-与的底数辨认。 　课时核心导图 　知识梳理 知识点　01　有理数的加法法则与加法运算律 有理数加法法则：1.同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．2.绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差．互为相反数的两个数相加得0．3.一个数与0相加，仍得这个数．按法则算一道加法题只有两步：先定和的符号，再算和的绝对值。下面的数轴上，点A表示-5，点B表示-8：把原点看作出发点，先向左走5个单位长度到点A，再向左走3个单位长度到点B，走的方向一直没变，最后停在-8，这正是(-5)+(-3)=-8的意思。有理数的加法也满足加法交换律a+b=b+a与加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)，所以多个数相加时可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。为什么要先定符号？因为在有理数范围内，和的绝对值到底是相加还是相减，取决于两个加数的符号是同是异，符号定下来，绝对值的算法才唯一。 同号相加：符号不变，绝对值相加；异号相加：取绝对值较大的加数的符号，绝对值相减 互为相反数的两数相加得0；一个数与0相加仍得这个数 加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c) 小提示：两步走的顺序不能颠倒：先把符号写到括号外面，再在括号里算绝对值的和或差。异号相加时是“大绝对值减小绝对值”，谁在前面不是看谁先写，而是看谁的绝对值大。口诀：一看符号，二算绝对值，三写结果。 知识点　02　有理数的减法法则：减法转化为加法 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．用式子表示就是a-b=a+(-b)．这条法则把减法整个并进了加法：算任何一道减法，都先把减号改成加号，同时把减数换成它的相反数，再按加法法则去做。例如7-(-2)=7+2=9，(-6)-4=(-6)+(-4)=-10。下面的数轴上，点M表示-3，点N表示3：从点M数到点N要经过6个单位长度，这与3-(-3)=3+3=6算出来的结果一致。引入负数以后，较小的数减去较大的数也能算了，差是一个负数；两个有理数相减，差仍然是一个有理数。为什么要转化？因为有了相反数以后，减法与加法就不再是两种运算，所有加减运算都能用一套加法法则处理，法则越少越不容易记错。 a-b=a+(-b)：减号变加号，减数变相反数 0-a=-a；a-0=a 小减大得负数；两个有理数相减，差仍是有理数 小提示：转化时两处必须同时改：运算符号与减数的符号，只改一处是最常见的失分点。减数是带符号的整体，(-6)-4中的减数是4，它的相反数是-4。口诀：减号变加号，减数变相反数，其余照抄。 知识点　03　加减混合运算与省略括号和加号的写法 引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算，例如a+b-c=a+b+(-c)．统一成加法以后，为书写简单，可以省略算式中的括号和加号。例如(-9)+(+4)-(-6)先统一成(-9)+(+4)+(+6)，再写成-9+4+6，它可以读作“负9、正4、正6的和”，也可以读作“负9加4加6”。这种写法里每个数前面的符号既是这个数的性质符号，也标明了它在和里的身份，因此交换位置时符号要跟着数一起搬家。为什么可以省略？因为统一成加法以后，式子表示的就是几个数的和，括号与加号都不再承担新的意思，省略它们不会改变结果。 a+b-c=a+b+(-c) 先统一成加法 → 再省略括号和加号 → 最后按加法法则一次算完 读法：-9+4+6读作“负9、正4、正6的和”，也读作“负9加4加6” 小提示：省略括号后第一个数前面的正号可以不写，负号一个也不能少；把式子读成“几个数的和”，就不容易在交换位置时丢符号。口诀：先统一成加法，再省略括号，最后同号归堆。 知识点　04　有理数的乘法法则、符号判断与乘法运算律 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．任何数与0相乘，都得0．几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是偶数时，积为正数；负的乘数的个数是奇数时，积为负数；几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．因此遇到多个数连乘，先数一数负的乘数有几个把符号定下来，再把各个乘数的绝对值相乘。有理数的乘法满足乘法交换律ab=ba、乘法结合律(ab)c=a(bc)，以及乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac。为什么积的符号只由负乘数的个数决定？因为每出现一个负的乘数，积的符号就改变一次，改变偶数次回到正，改变奇数次落在负。 两数相乘：同号得正，异号得负，绝对值相乘 多个不为0的数相乘：负乘数个数为偶→积为正；为奇→积为负；有一个乘数为0→积为0 乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac 两个乘数的符号 积的符号 举例 正数×正数 正 4×5=20 负数×负数 正 (-4)×(-5)=20 正数×负数 负 4×(-5)=-20 负数×正数 负 (-4)×5=-20 任何数×0 0 (-4)×0=0 小提示：数负号时要连同括号一起数，例如(-1)×(-4)×(-9)里有3个负的乘数，积是负数。只要发现有一个乘数是0，就不必再算绝对值，积直接是0。口诀：先数负号定符号，再把绝对值相乘。 知识点　05　倒数与有理数的除法法则 乘积是1的两个数互为倒数．求一个分数的倒数，把分子与分母交换位置即可；求整数的倒数，先把它看作分母是1的分数；求小数的倒数，先把小数化成分数。负数的倒数仍是负数，0没有倒数。有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．用式子表示就是a÷b=a×(b的倒数)(b≠0)．由它还可以得到：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．0除以任何一个不等于0的数，都得0．除得尽时直接按“同号得正、异号得负”去算更快，除不尽或者除数是分数时，就转化成乘倒数来算。为什么除法要转化成乘法？因为倒数把“除以一个数”变成了“乘一个数”，这样乘法的运算律（交换律、结合律）就可以用在除法上了。 乘积是1的两个数互为倒数；0没有倒数 a÷b=a×(b的倒数)(b≠0)；两数相除同号得正、异号得负；0÷a=0(a≠0) 两数相除的商，可以用“商×除数=被除数”检验 小提示：倒数与相反数是两件事：一个看两个数的积是不是1，一个看两个数的和是不是0；求倒数时只换分子与分母的位置，符号不动。0可以作被除数，绝不能作除数。口诀：除号变乘号，除数变倒数，再按乘法算。 知识点　06　乘方的意义与幂的符号规律 n个相同的乘数a相乘，记作，读作“a的n次方”．求n个相同乘数的积的运算，叫作乘方，乘方的结果叫作幂．在中，a叫作底数，n叫作指数，也可读作“a的n次幂”．一个数可以看作这个数本身的1次方，指数1通常省略不写。由乘法法则可以得到：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。写负数的幂时，底数一定要放进括号里：表示两个-7相乘。为什么负数的偶次幂是正数？因为偶数个负数相乘，可以两两配成对，每一对的积都是正数，正数相乘仍是正数。 ＝n个a相乘；a是底数，n是指数，结果叫作幂 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何正整数次幂都是正数 指数是1时通常省略不写，例如7就是7的1次方 幂的形式 底数 指数 幂的正负 正数的正整数次幂 正数 奇数或偶数 正数 负数的奇次幂 负数 奇数 负数 负数的偶次幂 负数 偶数 正数 0的正整数次幂 0 奇数或偶数 0 小提示：先看底数是谁，再看指数是几，最后才定符号。判断幂的正负只需要看底数的正负与指数的奇偶，用不着把积算出来。口诀：一看底数，二看指数，三定正负。 知识点　07　有理数混合运算的顺序 做有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．例如算-5+2×(-3)时，乘法在加法之前，先得到2×(-3)=-6，再算-5+(-6)=-11。“同级运算从左到右”这一条专门管乘与除、加与减混在一起的情形：只有乘除时从左往右一步一步算，不能先算后面的。为什么要规定运算顺序？因为同一个算式如果先算的部分不同，得数就会不同，统一了顺序，算式才有唯一确定的值。 第一级：加、减；第二级：乘、除；第三级：乘方 先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行 括号的层次：小括号→中括号→大括号，由里到外依次计算 小提示：每算一步只动一个运算，把没轮到的部分原样抄下来；带负数的乘方一定要先把幂算出来，再参加后面的乘除。口诀：乘方在先，乘除居中，加减在后，括号最优先。 知识点　08　科学记数法 把一个大于10的数表示成a×的形式（其中a大于或等于1，且a小于10，n是正整数），使用的是科学记数法．对于小于-10的数也可以类似地表示。10的n次幂等于1后面跟着n个0，所以写科学记数法时，先把小数点移到左边第一个数字的后面得到a，再数一数这个数的整数位数（负数先看它的绝对值）：位数比10的指数恰好多1。例如把4500写成科学记数法，a是4.5，4500是4位整数，所以指数是3，即4500=4.5×。还原时反过来做：把a的小数点向右移动n位，位数不够就补0。为什么要用科学记数法？因为大数里的0又多又容易数错，写成a×以后，数的大小一眼可见，比较两个大数时只要先比10的指数。 a×，其中1≤a＜10，n是正整数 n＝这个数的绝对值的整数位数减1（负数先看绝对值） 比较两个用科学记数法表示的正数，先比10的指数，指数相同再比a 小提示：a的整数部分只能是一个非零数字，也就是a大于或等于1且小于10；带单位或带计数单位的数据先统一成同一个单位再写。口诀：小数点挪到第一个数字后面，指数等于位数减1。 知识点　09　近似数与精确到哪一位 与实际完全相符的数是准确数，与实际接近但还有差别的数是近似数．近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示．按四舍五入法取近似数时，要看的是被保留的那一位后面的第一位数字：它小于5就舍去后面各位，它大于或等于5就向前一位进1。例如按四舍五入法，圆周率π≈3（精确到个位），π≈3.1（精确到0.1，或叫作精确到十分位），π≈3.14（精确到0.01，或叫作精确到百分位）。一个近似数精确到哪一位，由它的末位数字所在的数位来说明。为什么不能连续四舍五入？因为每进一次位都会把误差累积一次，最后得到的数可能与原数差得更远，只看保留位后面的第一位才最接近。 精确到个位、十分位(0.1)、百分位(0.01)、千分位(0.001) 四舍五入：看保留位后面的第一位数字，＜5舍去，≥5向前一位进1 误差：近似数与准确数的差；精确度越高，误差越小 精确到 另一种说法 保留到小数点后 圆周率的近似数 个位 精确到1 不保留小数 3 0.1 精确到十分位 1位 3.1 0.01 精确到百分位 2位 3.14 0.001 精确到千分位 3位 3.142 小提示：先圈出要保留到的那一位，再看它右边紧挨着的那一个数字，别拿更后面的数字去决定进位；整道题只做一次判断，不能一位一位地连续四舍五入。口诀：圈保留位，看下一位，五入四舍，只判一次。 【题型1】有理数的加法与减法 这一类题按两步走：先判断两个数是同号还是异号，把结果的符号定下来，再算绝对值的和或差；遇到减法，先按法则换成加法再动手。两步走的次序固定：先定符号，再算绝对值。 例1　同号两数相加与异号两数相加各一题，算出它们的和：(1)(-7)+(-6)；(2)(-9)+4。 【分析】第(1)题的两个加数都是负数，属于同号两数相加，和的符号与加数的符号相同，绝对值相加；第(2)题的两个加数一负一正，属于异号两数相加，要先比一比谁的绝对值大，和就取谁的符号。动笔前先在心里念一遍法则：同号取相同的符号，异号取绝对值较大的加数的符号。 【解答】(1)(-7)+(-6)=-(7+6)=-13。 (2)因为|-9|=9，|4|=4，9＞4，所以和取负号，(-9)+4=-(9-4)=-5。 【方法小结】先定符号、再算绝对值，两步的顺序不能换。异号相加时括号里是大绝对值减小绝对值，与哪个加数写在前面无关。同号相加与异号相加的差别只在括号里那一步：一个是相加，一个是相减，符号定错，这一步也跟着错。 例2　把下面的减法先转化成加法，再计算：(1)6.3-(-2.8)；(2)(-)-(-)。 【分析】两题都是减法，第一步一律相同：减号改成加号，减数换成它的相反数，转化成加法之后再按加法法则算。转化以后这两道题就都变成了加法，接下来判断同号还是异号即可。 【解答】(1)6.3-(-2.8)=6.3+2.8=9.1。 (2)(-)-(-)=(-)+，两个加数异号，|-|=，||=，通分后＞，所以和取负号，原式=-(-)=-。 【方法小结】转化时“运算符号”与“减数的符号”必须同时改，改一处就会满盘皆错；分数相减时先通分再比绝对值。转化成加法以后，往下每一步都只用加法法则，本章后面所有的加减混合运算都靠这一步打通。 题型1　变式：同号相加、0作被减数、符号判断与数轴上的移动 先口算两道加减，再判断一个得数的正负，最后回到数轴上走两步——本组按这个次序排开。每一题都要把过程写完整，只写得数不算做完。 变式1　按加法法则口算出下面两题的得数：(1)(-15)+(-5)；(2)(-2.5)+6。 变式2　先说出减数的相反数是什么，再算出下面两题的差：(1)0-(-9)；(2)(-4)-7。 变式3　下面四个算式中，有的是有理数的加法，有的是有理数的减法，其中得数小于0的一个是（　　）。 A．(-3)+3　　B．(-3)+5　　C．(-3)-5　　D．5-3 变式4　下面的数轴上，点A表示-4。用一个加减混合算式表示“从点A出发先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度”这一过程，并求出最后到达的点表示的数。 【题型2】加减混合运算与省略括号和加号的写法 加减混合运算的通法是：先把减法统一成加法，再省略括号和加号写成“几个数的和”，最后把同号的数分别合起来。改写与计算是两件事，先改写清楚再动手算。 例1　把算式(-13)+(+5)-(-8)-(+4)改写成省略括号和加号的形式，再计算。 【分析】式中既有加法又有减法，先按减法法则把两处减法改成加法，式子就变成了四个数的和，这时才能省略括号和加号。改写的顺序是固定的：先把每一处减法改成加法，再统一省略括号和加号。 【解答】(-13)+(+5)-(-8)-(+4)=(-13)+(+5)+(+8)+(-4)=-13+5+8-4。再把负数与正数分别合起来：-13-4=-17，5+8=13，所以原式=-17+13=-4。 【方法小结】省略写法里每个数前面的符号要跟着这个数一起搬家；把式子读成“负13、正5、正8、负4的和”，就不容易在交换位置时丢掉符号。省略括号的写法在后面还会不断用到，现在就要把“符号跟着数一起搬家”练成习惯。 例2　下面两个算式都已经省略了括号和加号，把它们各自算出来：(1)6-11+3-9；(2)-2.5+4.8-1.5+0.2。 【分析】两题都已经是省略括号的写法，可以直接看成几个数的和，把正数归一堆、负数归一堆，各自算完再相加。这类题不必逐个相加，先分组能把四五步压缩成两步。 【解答】(1)6-11+3-9=(6+3)-(11+9)=9-20=-11。 (2)-2.5+4.8-1.5+0.2=-(2.5+1.5)+(4.8+0.2)=-4+5=1。 【方法小结】同号的数先合起来，只剩下一正一负两个数时再做一次异号相加，步骤最少也最不容易错。把正数归一堆、负数归一堆，用到的正是加法交换律与结合律，简便运算一节还会专门练它。 题型2　变式：改写、读法与分数的加减混合 第一题直接求值，第二题先改写再求值，第三题只判断读法，第四题要先通分。分数那一题的通分过程写在草稿上，别在心里算。 变式1　求这个已经省略了括号和加号的算式的值：-7+12-5。 变式2　把(-18)-(-6)+(-3)-(+9)读作几个数的和，写出这个和的省略形式并求值。 变式3　算式-8+5-6的读法，正确的是（　　）。 A．负8、正5、负6的和 B．负8减正5减负6 C．8加5减6 D．负8、负5、负6的和 变式4　三个分数的分母各不相同，先通分，再按加减混合运算算出结果：-+-。 【题型3】有理数的乘法、除法与积的符号判断 乘法与除法同样是“先定号、再算绝对值”：两数相乘或相除，同号得正、异号得负；多个数连乘，先数负的乘数有几个。定符号靠法则，算绝对值用的仍是已经熟悉的乘除法。 例1　按有理数的乘法法则，先确定积的符号，再算绝对值：(1)(-6)×7；(2)(-)×(-9)。 【分析】第(1)题两个乘数异号，积为负；第(2)题两个乘数同号（都是负数），积为正。定好符号以后，把两个乘数的绝对值相乘即可。两道题都先看符号：同号还是异号，这一步决定了结果前面写不写负号。 【解答】(1)(-6)×7=-(6×7)=-42。 (2)(-)×(-9)=+(×9)=3。 【方法小结】符号写在括号外面，绝对值的乘法放在括号里面，这样写出来一眼就能看清符号是怎么定的。乘法与加法的定号办法不同：加法要比绝对值的大小，乘法只看符号是同是异，两者别混起来。 例2　把下面两道除法算出来，其中第二题可以先化成乘法：(1)(-56)÷(-8)；(2)(-)÷6。 【分析】第(1)题除得尽，直接按“同号得正”定号，再用绝对值相除；第(2)题除数是整数，转化成乘它的倒数更稳妥。除法有两条路可走，选哪一条要看被除数与除数的形式。 【解答】(1)(-56)÷(-8)=+(56÷8)=7。 (2)(-)÷6=(-)×=-(×)=-。 【方法小结】除得尽就直接除，除不尽或者除数是分数时就改写成乘倒数；不论走哪条路，符号都要先定下来。除法的结果可以用乘法检验：商与除数相乘，应当等于被除数。 题型3　变式：带小数的乘法、分数除法、连乘定号与小数除法 乘法里出现0、除数是分数、连乘要先定号、小数与分数各自约分：本组的四题一题守一个关口。遇到分数先想倒数，遇到小数先想化成分数。 变式1　判断下面两题的积是正数、负数还是0，再把积算出来：(1)(-2.5)×4；(2)0×(-17)。 变式2　下面第一题除得尽，第二题的除数是分数，分别算出它们的商：(1)72÷(-9)；(2)(-)÷(-)。 变式3　四个连乘算式里，积为正数的是（　　）。 A．(-2)×3×(-4)×(-5) B．(-1)×(-2)×(-3) C．(-6)×0×(-7) D．(-2)×(-3)×4 变式4　把小数化成整数、把分数先约分，可以使下面两题算得更快：(1)(-1.2)÷(-0.4)；(2)(-)×(-16)。 【题型4】倒数与除法转化为乘法 倒数是把乘积凑成1的那个数，它是除法转乘法的钥匙：除数是分数或者除不尽时，把除法改写成乘倒数，运算立刻变简单。倒数只换位置不换符号，这一点每题都要守住。 例1　写出下列各数的倒数：-5，，-0.75。 【分析】求一个数的倒数，就是找出与它相乘得1的那个数。整数先看成分母是1的分数，小数先化成分数，再把分子与分母交换位置，符号保持不变。三个数的形式不同，求倒数前要先把它们都化成分数的样子。 【解答】-5可以写成分母是1的分数，交换分子与分母后得-，所以-5的倒数是-；的分子与分母交换位置得；-0.75先化成分数-，交换后得-。 【方法小结】负数的倒数仍是负数，求倒数只换位置不换符号；0与任何数相乘都得0，所以0没有倒数。倒数的用处在下一题就能看到——所有除法都靠它变成乘法。 例2　除数是分数时先取它的倒数，把下面两题算出来：(1)(-)÷(-)；(2)-1.6÷()×(-)。 【分析】第(1)题的除数是分数，改写成乘它的倒数；第(2)题是乘除混合运算，先把除法都改成乘法，再一次把符号定下来，最后算绝对值。乘除混合运算的第一步永远是“把除法改成乘法”，改完再考虑符号与约分。 【解答】(1)(-)÷(-)=(-)×(-)=+(×)=。 (2)-1.6÷()×(-)=-1.6××(-)，式中有2个负的乘数，积为正，原式=+(1.6××)=1。 【方法小结】乘除混合运算全部改成乘法以后，就可以一次数清负号的个数，不必一步一步定号。全部改成乘法以后，还可以顺便用乘法交换律把能约分的乘数凑到一起，算起来更快。 题型4　变式：倒数与相反数的复合、0所在的位置、命题判断与乘除混合 倒数与相反数复合成一题，0换到了被除数的位置，四句关于倒数的说法要逐句判断，最后一题把乘除全部改成乘法。分数与小数混在一起时，先统一成分数。 变式1　已知a与-0.4互为倒数，b与-0.4互为相反数，求a×b的值。 变式2　注意0在下面两个算式里所处的位置，分别求出它们的商：(1)(-)÷(-)；(2)0÷(-)。 变式3　用“两个数的积是不是1”逐句检验，其中没有说错的一句是（　　）。 A．-1的倒数是1 B．0的倒数是0 C．-的倒数是- D．一个负数与它的倒数的积是负数 变式4　把这个乘除混合的算式全部改写成乘法，一次定号后算出结果：(-9)÷()×(-)。 【题型5】乘方的意义与幂的符号规律 算幂先把它还原成几个相同乘数相乘；判断幂的正负，只要看底数的正负与指数的奇偶，用不着把结果算出来。先看底数是谁，再看指数是几，最后才定符号。 例1　把下面的幂先写成连乘的形式，再求出它的值：(1)；(2)。 【分析】表示3个-4相乘，表示4个-3相乘。负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数，可以先把符号定下来，再算绝对值的幂。先把幂的意义说清楚，再决定是展开连乘还是直接用符号规律。 【解答】(1)=(-4)×(-4)×(-4)=-64。 (2)=(-3)×(-3)×(-3)×(-3)=81。 【方法小结】指数是几就是几个相同的乘数相乘，不是底数与指数相乘；先定号再算绝对值，可以省去逐个数负号的麻烦。把幂展开成连乘是为了理解意义，熟练以后直接用“先定号、再算绝对值的幂”两步即可。 例2　指出-与的底数，并分别求出它们的值。 【分析】底数是谁，要看括号括住了谁：括号把负号一起括进去，底数才带负号；没有括号时，指数只管紧挨着它的那个数，负号留在幂的外面。两个式子只差一对括号，先判断括号括住了什么，再决定底数是谁。 【解答】-中没有括号，底数是6，它表示的相反数，所以-=-(6×6)=-36；中括号把负号括了进去，底数是-6，它表示2个-6相乘，所以=(-6)×(-6)=36。 【方法小结】写负数的幂一定要加括号；读的时候也要分清：一个读作“6的平方的相反数”，另一个读作“-6的平方”。这一组对比是本章最容易失分的地方，做题时先在草稿上把底数圈出来，再动笔计算。 题型5　变式：奇偶次幂、底数与指数的辨认和幂的大小 指数很大时不必连乘，底数不清时先看括号，几个幂放在一起时先各自算出来，负号写在幂外面时最后取相反数。本组的四题依这四条排开。 变式1　由底数的正负与指数的奇偶先定号，用不着真的连乘：(1)；(2)。 变式2　指出-与的底数各是什么，不必算出结果，说明这两个数各是正数还是负数，并回答它们之间是什么关系。 变式3　把四个数各自算出来，其中最小的一个是（　　）。 A． B．- C． D．- 变式4　留意第二题的负号写在幂的外面，分别求出它们的值：(1)；(2)-。 【题型6】含乘方与括号的混合运算 混合运算按“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序进行，有括号时先算括号里面的；每算一步只动一个运算，其余部分原样抄下来。 例1　先指出每一题应当先算哪一步，再算出得数：(1)-8+6÷(-3)；(2)-6×(-)。 【分析】第(1)题有加法与除法，除法是第二级运算，要先算；第(2)题有乘方、乘法与减法，按乘方、乘法、减法的顺序走。拿到混合运算的式子，先通读一遍，给每一个运算标上先后次序。 【解答】(1)-8+6÷(-3)=-8+(-2)=-10。 (2)-6×(-)=-8-(-3)=-8+3=-5。 【方法小结】先把该先算的部分算成一个数，再把整个式子重新抄一遍，能有效避免“算着算着漏掉一项”。混合运算的步骤要写全，中间每一步都保留完整的式子，既便于检查，也是解答题的得分点。 例2　下面两题都含乘方，注意底数是谁与先算哪一步：(1)5-×2；(2)-÷[(-4)+2×3]。 【分析】第(1)题先算乘方，再算乘法，最后算减法；第(2)题有中括号，先把中括号里面算成一个数，同时注意-的底数是2。有括号的式子先看括号内部有没有多个运算，括号里也要按顺序算。 【解答】(1)5-×2=5-9×2=5-18=-13。 (2)-÷[(-4)+2×3]=-4÷[(-4)+6]=-4÷2=-2。 【方法小结】括号里面也要守运算顺序，先乘除后加减；-与的值不同，写的时候一个括号都不能少。遇到多层括号时从最里面一层开始算，算完一层就把它换成一个数，式子会越来越短。 题型6　变式：两级运算、带幂的乘法、中括号与运算律的配合 两级运算、乘方后再乘分数、中括号里套乘方、分配律与乘方同场：难度一题比一题高一层。先在草稿上给每个运算标上序号，再按序号计算。 变式1　下面一题含两级运算，一题含乘方，按顺序求出它们的值：(1)14÷(-7)+(-5)×2；(2)×(-)。 变式2　先判断括号与乘方哪一个先算，再求出这个算式的值：+(-24)÷(1-4)。 变式3　从中括号的内部开始，逐层算出这个算式的值：[+18]÷(-2)+7。 变式4　这个算式里既有可以用的分配律，又有必须先算的乘方：-24×(-)+。 【题型7】运用运算律进行简便运算 简便运算的着眼点有三个：能凑成整数的先凑、互为相反数的先抵、括号外的乘数正好是括号内各项分母的倍数时用分配律。先观察式子的特点，再决定用哪一条运算律，不要上手就算。 例1　用加法的运算律使下面的计算简便：(-1.7)+3.9+(-8.3)+6.1。 【分析】四个加数的小数部分两两能凑成整数：-1.7与-8.3的绝对值相加恰好是10，3.9与6.1相加也恰好是10。用加法交换律与结合律把它们分别放到一起，运算就只剩两步。简便运算的第一步是观察，看清哪些数能凑成整数，再决定用哪一条运算律。 【解答】原式=[(-1.7)+(-8.3)]+(3.9+6.1)=-10+10=0。 【方法小结】凑整的常见对象有两类：小数部分能相加得整数的两个同号数，以及互为相反数的两个数；搬动加数时符号要跟着一起走。简便运算不是另一套法则，它只是先用运算律把式子重排，再按原来的法则计算。 例2　下面的式子如果先通分再相乘，步骤会很长，换一条路来算：(-+)×(-18)。 【分析】括号里三个分数的分母都不相同，先通分再相乘步骤很长；而-18正好是这三个分母的倍数，用分配律把-18分别乘进去更快。括号里是几个分数的和与差时，先看括号外的乘数是不是各个分母的倍数。 【解答】原式=×(-18)-×(-18)+×(-18)=-6+15-4=5。 【方法小结】用分配律时，括号外的数要与括号里的每一项都相乘，一项也不能漏；每一项的符号由两个乘数的符号共同决定。括号外的乘数正好是括号里各项分母的倍数，就是选用分配律的信号。 题型7　变式：加法凑整、连乘结合、分配律与它的逆用 凑整、结合、分配律的正用与逆用——简便运算最常用的四种手法，本组各走一遍。用哪一条运算律由式子的特点决定，不是看哪一步好算。 变式1　把绝对值能凑成整十数的两个数分别放到一起，再求它们的和：-24+17-6+15。 变式2　先数清负的乘数有几个，再把绝对值凑成整数相乘：(-4)×(-1.25)×(-8)。 变式3　括号外的数正好是括号里各项分母的倍数，选用分配律来算：(-36)×(-+)。 变式4　两个积里出现了相同的乘数，把它提到括号外面以后再算：2.7×(-13)+2.7×(-7)。 【题型8】科学记数法 写科学记数法只有两件事：定出a（大于或等于1且小于10），数出10的指数（比这个数的整数位数少1，负数先看绝对值）；还原时把小数点向右移回去。写完用“位数减1”核对指数，还原时用补0的办法数位数。 例1　把下面两个数改写成科学记数法的形式：(1)5040000；(2)-73000。 【分析】先把小数点移到左边第一个数字的后面得到a，再数原数的整数位数；负数只要把负号写在最前面，其余步骤完全一样。两小题都要先数清原数的整数位数，指数就藏在位数里。 【解答】(1)5040000是7位整数，a=5.04，指数是7-1=6，所以5040000=5.04×。 (2)-73000的绝对值是5位整数，a=7.3，指数是5-1=4，所以-73000=-7.3×。 【方法小结】a的整数部分只能是一个非零数字；末尾的0在移动小数点后就不再写进a里，它们已经由10的幂承担了。科学记数法把位数很多的大数写短了；比较两个这样的数，先比10的指数，指数大的那个数就大。 例2　(1)用科学记数法表示的数2.06×，原来是什么数？(2)某自然保护区的面积约为2.31亿平方米，把这个面积用科学记数法表示成以平方米为单位的数。 【分析】还原时把a的小数点向右移动n位，位数不够就在后面补0；带“亿”的数据先换成以“一”为单位的普通记数法，1亿就是1后面跟8个0。一道是把科学记数法还原，一道是把普通记数法改写，方向相反，依据同一条定义。 【解答】(1)2.06×中10的指数是5，把2.06的小数点向右移动5位，得206000。 (2)2.31亿=231000000，它是9位整数，a=2.31，指数是9-1=8，所以这个面积约为2.31×平方米。 【方法小结】带计数单位的数据先统一成同一个单位再写，指数才不会数错；写完可以用位数减1的办法回头验一遍。带“万”“亿”的数据一律先还原成普通记数法再写，绕开这一步最容易把指数数错。 题型8　变式：还原、比较大小、辨认合格形式与单位换算 由科学记数法还原回普通记数法，把三个这样的数排出大小，从四种写法里挑出唯一合格的，再处理一组带单位的实际数据。写完都用“位数减1”核对一次指数。 变式1　一个数用科学记数法表示为8.5×，这个数原来是（　　）。 变式2　下面三个数都用科学记数法表示：2.9×，3.1×，9.8×。把它们按从小到大的顺序排列。 变式3　下面是37000的四种写法，其中符合科学记数法要求（a大于或等于1且小于10）的是（　　）。 A．37× B．3.7× C．3.7× D．0.37× 变式4　地球赤道的长度约为40100000m。(1)用科学记数法表示这个长度；(2)把这个长度换算成以km为单位的数，再用科学记数法表示。 【题型9】近似数与精确到哪一位 取近似数先圈出要保留到的那一位，只看它右边紧挨着的一个数字定去留；反过来判断精确度，就看这个近似数的末位数字站在哪一位上。 例1　按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：(1)0.03672（精确到0.001）；(2)58.263（精确到个位）。 【分析】精确到0.001就是保留到千分位，精确到个位就是保留到整数部分的末位；确定保留位以后，只看紧挨着它右边的那一个数字。取近似数前先把要求翻译成数位：精确到0.001就是保留到千分位。 【解答】(1)0.03672的千分位上是6，它右边的数字是7，7大于5，向前一位进1，所以0.03672≈0.037。 (2)58.263的个位上是8，它右边的数字是2，2小于5，舍去小数部分，所以58.263≈58。 【方法小结】判断进位只看保留位后面紧挨着的一个数字，不能把更后面的数字也拿来比较，更不能一位一位地连续进位。近似数与准确数的差叫作误差，精确度越高，误差越小，这也是必须写清“精确到哪一位”的原因。 例2　(1)近似数7.60精确到哪一位？(2)把2.4953精确到百分位。 【分析】第(1)题要看末位数字所在的数位；第(2)题先圈出百分位，再看它右边的第一个数字决定是否进位，进位后末位上的0必须保留。两小题一个由数往回看数位，一个由数位往前取近似数，都要抓住末位。 【解答】(1)7.60的末位数字0在百分位上，所以它精确到百分位，也就是精确到0.01。 (2)2.4953的百分位上是9，它右边的数字是5，5不小于5，向前一位进1，9进位后变成0并向十分位进1，所以2.4953≈2.50。 【方法小结】末位的0是精确度的标志，写成2.5就变成了精确到十分位，与题目要求不符，这个0不能去掉。取近似数与判断精确度是一对互逆的问题：一个由数位求结果，一个由结果反推数位。 题型9　变式：舍去、辨认精确度、两种精确度与末位的0 舍去与进位各占一题，由近似数反推精确度占一题，同一个数按两种精确度取近似数占一题，末位的0另占一题。末位上的0是精确度的一部分，该写的一定要写出来。 变式1　把0.5948保留到百分位，得到的近似数是多少？ 变式2　在3.05，0.4，12，0.618这四个近似数里，精确到十分位的一个是（　　）。 A．3.05　　B．0.4　　C．12　　D．0.618 变式3　把4.396分别精确到个位与0.1。 变式4　近似数2.40与2.4的精确度相同吗？分别说出它们各精确到哪一位。 【题型10】有理数运算的实际应用与新定义运算 实际问题先按题目规定把相反意义的量写成正数与负数，再列式计算；新定义题只要照着定义把数一一对应地代进去，按混合运算顺序算完即可。先把实际意义翻译成算式，再按运算顺序计算，最后写答。 例1　下面的数轴上，点A与点B分别表示某地某天的最低气温与最高气温（单位：℃）。(1)这一天的温差（最高气温减最低气温）是多少摄氏度？(2)第二天的最低气温比这一天的最低气温低4℃，第二天的最低气温是多少摄氏度？ 【分析】由数轴读出两个气温：点A在原点左边6个单位长度处，表示-6℃；点B在原点右边5个单位长度处，表示5℃。温差用最高气温减最低气温，“低4℃”表示在原来的基础上再减去4。实际问题先读清题目把哪一边规定为正，再把每一句话翻译成算式。 【解答】(1)5-(-6)=5+6=11，所以这一天的温差是11℃。 (2)-6-4=-6+(-4)=-10，所以第二天的最低气温是-10℃。 【方法小结】“温差”“相差”一类问题一律用大数减小数；“比某数低”“下降”都是减，“比某数高”“上升”都是加，别被负号绕住。实际问题的答案要带单位，并且要回到情境里说成一句完整的话，只写一个数是不完整的。 例2　规定一种新运算“★”：对于任意两个有理数a，b，都有a★b=a×b-(a+b)。求：(1)(-4)★2的值；(2)3★(-5)的值。 【分析】新定义只是一个“代入的说明书”：★左边的数代入a，右边的数代入b，再按先乘除后加减的顺序算出结果。新定义题不必去想这个运算“是什么意思”，照着定义式代入即可。 【解答】(1)(-4)★2=(-4)×2-[(-4)+2]=-8-(-2)=-8+2=-6。 (2)3★(-5)=3×(-5)-[3+(-5)]=-15-(-2)=-15+2=-13。 【方法小结】代入时给每个数带上括号，尤其是负数；算到减去一个负数时，记得改写成加它的相反数。新定义的运算不一定满足交换律，代入时左右两个位置不能随手对调。 题型10　变式：库存结算、地下楼层、时区换算与产量估算 库存、楼层、时区、产量：本组把有理数的运算放进四个不同的场景，练的都是“把实际意义翻译成算式”这一步。答案要带单位，并回到情境里说清它表示什么。 变式1　某仓库一周内每天的库存变化记录如下（入库记为正、出库记为负，单位：t）：+4.6，-2.8，-5.3，+7.2，+3.5，-1.9，-0.4。一周结束时的库存比这一周开始时增加了还是减少了？变化了多少吨？ 变式2　某大厦的地下车库共4层，每层高3.2m。以地面为0、向下为负。(1)地下第3层的位置用负数表示是多少米？(2)一辆车从地下第4层开到地面，它的位置上升了多少米？ 变式3　北京时间比伦敦时间早8小时，比纽约时间早13小时。当北京时间是某日的6时，(1)伦敦时间是几时？(2)纽约时间是几时？（算出的时刻若是负数，表示它在前一日。） 变式4　一种药片每片的含药量是0.25g，某药厂一天生产这种药片3.2万片。这一天生产的药片含药量一共是多少克？把结果用科学记数法表示。 　易错专练 本章的失分集中在四个地方：符号定错、转化只改一处、底数认错、连续四舍五入。下面的八道题一题对着一个失分点，答案里都附了错解示例与错因；先把八道题做完，再回头读这些示例。 易错1　两个加数一负一正，算出它们的和：(-13)+9。 易错2　把减数换成它的相反数以后再算：(-5)-(-8)。 易错3　先说出这个幂表示几个几相乘，再求出它的值：。 易错4　式子里只有除法与乘法，按规定的顺序算出结果：48÷(-8)×3。 易错5　写出-的倒数。 易错6　用科学记数法表示254000。 易错7　求0.4449的近似数（精确到0.1）。 易错8　在0÷(-6)，(-6)÷0，0×(-6)这三个算式中，哪一个算不出结果？其余两个算式的结果各是多少？ 　课后作业（一）基础达标 基本功的确认放在这一组：12道题都贴着课本的例题与练习，不绕弯子。前8题是单项选择，把字母写进题后的括号；后4题只写结果，不写过程。 1．按有理数的减法法则算出-7-(-9)，结果是（　　）。 A．-16　　B．2　　C．-2　　D．16 2．在-(-3)，，，|-6|这四个数中，小于0的是（　　）。 A．-(-3)　　B．　　C．　　D．|-6| 3．把除法改写成乘倒数以后，(-8)÷()的商是（　　）。 A．-12　　B．-　　C．12　　D．- 4．按有理数混合运算的顺序计算，算式-4+8÷的值是（　　）。 A．-2　　B．-6　　C．2　　D．6 5．某地去年接待游客约4260000人次，这个人次数用科学记数法表示为（　　）人次。 A．4.26× B．4.26× C．4.26× D．4.26× 6．用四舍五入法求9.4051的近似数，要求精确到0.01，结果是（　　）。 A．9.4　　B．9.40　　C．9.405　　D．9.41 7．甲地的海拔是-15m，乙地的海拔比甲地高63m，乙地的海拔是（　　）。 A．-78m　　B．-48m　　C．78m　　D．48m 8．加法、减法与乘法的下列结论中，对所有有理数都成立的是（　　）。 A．两个数相加，和一定大于每一个加数 B．两个数相减，差一定小于被减数 C．两个数相乘，积总比每一个乘数大 D．两个负数相加，和比其中的每一个加数都小 9．的值是（　　）。 10．-6-(-10)+(-3)的值是（　　）。 11．填出与-4互为倒数的那个数：（　　）。 12．+的值是（　　）。 　课后作业（二）综合运用 本组共8题，难度比上一组高一层：前4题仍只填结果，后4题必须写出计算过程。这里的每一道题都要同时用到两条以上的法则或运算律，动笔前先想清楚第一步算什么。 13．已知|a|=5，且a＜0，那么a+(-3)=（　　）。 14．用科学记数法表示的两个数1.2×与1.2×，前者比后者大（　　）。 15．利用乘法的交换律与结合律计算：25×(-4.7)×(-4)=（　　）。 16．0.8374≈（　　）（精确到0.01）。 17．计算下面各题（注意运算顺序）：(1)÷(-4)+3×(-5)；(2)(-6)×(-)-(-9)÷3。 18．下面两题都可以先变形再计算，把变形的过程写完整：(1)(-99)×36；(2)(-)×(-4)×(-)。 19．一架无人机在一次巡查中的高度变化记录（上升记为正、下降记为负，单位：m）依次是：+18，-25，+13，-16，-14，+17。(1)巡查结束时，无人机在起飞高度的上方还是下方？相差多少米？(2)若升降每1m耗电0.02kW·h，这次巡查的升降一共耗电多少？ 20．某公司去年1月—3月平均每月亏损1.5万元，4月—9月平均每月盈利3.2万元，10月—12月平均每月盈利2.4万元。这个公司去年全年的盈亏情况如何？ 　课后作业（三）拓展提高 本组共4题，是本章的提高题：一道找乘方的规律，一道要按绝对值分情况讨论，一道要先假设全对再倒推，一道要先分组再求和。允许多花些时间，但每一步都要写清依据。 21．观察下面一列数：3，-9，27，-81，243，…。(1)这一列数的第6个数是多少？(2)第7个数是正数还是负数？它是多少？ 22．已知|a|=6，|b|=2，且a＜b。求a+b与a×b的值。 23．一次知识竞赛共有10道题，规定答对一题记+5分，答错一题记-3分，不答记0分。某参赛队把10道题全部作答，最后总分是26分。(1)这个队答对了多少道题？(2)如果把这个队答对与答错的题数互换，它的总分是多少分？ 24．计算下面这个由100个数组成的加减混合算式的值：1-2+3-4+5-6+…+99-100。 　参考答案与解析 　题型1　变式：同号相加、0作被减数、符号判断与数轴上的移动 变式1　【答案】(1)-20；(2)3.5 【解析】(1)同号两数相加，符号仍取负号，绝对值相加：(-15)+(-5)=-(15+5)=-20。 (2)异号两数相加，|6|=6大于|-2.5|=2.5，和取正号：(-2.5)+6=+(6-2.5)=3.5。 检验的办法：用得数减去其中一个加数，应当正好得到另一个加数，例如-20-(-15)=-5，与题中的另一个加数一致。 变式2　【答案】(1)9；(2)-11 【解析】(1)0减去一个数，等于加这个数的相反数：0-(-9)=0+9=9。 (2)减数是7，它的相反数是-7，于是(-4)-7=(-4)+(-7)=-(4+7)=-11。 这两道题合起来说明：0减去一个数得到的是这个数的相反数，而减去一个正数相当于加上一个负数。 变式3　【答案】C 【解析】A中两个加数互为相反数，和是0；B中|5|＞|-3|，和取正号，得2；D是正数减去较小的正数，得2。 C先化成加法：(-3)-5=(-3)+(-5)=-8，同号相加得负数，所以选C。 判断一个和或差的正负，用不着把得数算出来：同号相加符号不变，异号相加随绝对值较大的加数走。 变式4　【答案】算式是-4+5-2，最后到达的点表示-1 【解析】向右移动记为加，向左移动记为减，从点A出发的两次移动依次写成+5与-2，所以算式是-4+5-2。 按加减混合运算算出来：-4+5=1，1-2=-1，所以最后到达的点表示-1。 数轴上的移动与有理数的加减是一回事：向正方向走用加法，向负方向走用减法，走到哪里由算式的值决定。 　题型2　变式：改写、读法与分数的加减混合 变式1　【答案】0 【解析】把式子看成负7、正12、负5的和，先把两个负数合起来：-7-5=-12。 再算-12+12=0，所以原式的值是0。 也可以按从左到右的顺序算：-7+12=5，5-5=0，与先合并两个负数所得的结果一致。 变式2　【答案】-18+6-3-9=-24 【解析】先把两处减法改成加法：(-18)+(+6)+(-3)+(-9)，再省略括号和加号，得-18+6-3-9。 三个负数先合起来是-30，再与6相加：-30+6=-24。 改写后回头数一数：原式里有几个减号，改写成省略形式后就应当有几个负号，漏改的多半是第二处。 变式3　【答案】A 【解析】省略括号后，每个数前面的符号就是这个数的性质符号，整个式子表示这几个数的和。 式中三个数依次是-8，+5，-6，所以读作“负8、正5、负6的和”，选A。 读法的关键是把式子看成几个数的和，每个数都要连同它前面的符号一起读出来。 变式4　【答案】 【解析】三个分数的分母不同，先通分成同分母：-+-。 再按加减混合运算算：-6+9-2=1，所以原式=。 分数的加减混合先通分，通分后分母不再变动，只对分子做加减，最后再看结果能不能约分。 　题型3　变式：带小数的乘法、分数除法、连乘定号与小数除法 变式1　【答案】(1)-10；(2)0 【解析】(1)异号两数相乘，积为负：(-2.5)×4=-(2.5×4)=-10。 (2)任何数与0相乘都得0，所以0×(-17)=0，这一题不必再考虑符号。 第(2)题不必判断符号：只要有一个乘数是0，积就是0，这一条比符号法则更优先。 变式2　【答案】(1)-8；(2) 【解析】(1)异号两数相除，商为负：72÷(-9)=-(72÷9)=-8。 (2)除数是分数，先改写成乘它的倒数：(-)÷(-)=(-)×(-)=+(×)=。 分数除法改写成乘倒数以后，先约分再相乘，比先乘出来再约分省力得多。 变式3　【答案】D 【解析】几个不为0的数相乘，负的乘数个数是偶数时积为正数，是奇数时积为负数；只要有一个乘数是0，积就是0。 A有3个负的乘数，个数是奇数，积为负数；B也有3个负的乘数，积为负数；C中出现了乘数0，积是0，不是正数；D只有2个负的乘数，个数是偶数，积为正数，所以选D。 判断积的符号只数负的乘数有几个，用不着把积算出来；但式子里一旦出现0，就要先想到积是0这一条。 变式4　【答案】(1)3；(2)6 【解析】(1)两个数同号，商为正；被除数与除数都是小数，可以同时扩大10倍再相除：(-1.2)÷(-0.4)=+(12÷4)=3。 (2)两个乘数同号，积为正；再算绝对值：×16=6，所以原式=6。 第(1)题也可以把被除数与除数同时乘10化成整数再相除；第(2)题先约分：16÷8=2，再算3×2=6。 　题型4　变式：倒数与相反数的复合、0所在的位置、命题判断与乘除混合 变式1　【答案】-1 【解析】-0.4化成分数是-，与它相乘得1的数是-，所以a=-。 与-0.4相加得0的数是0.4，也就是，所以b=。 a×b=(-)×()，两数异号，积为负数，绝对值是1，所以a×b=-1。 倒数与相反数由两个不同的条件确定：一个看积是不是1，一个看和是不是0；两个数都求出来以后，再按乘法法则算。 变式2　【答案】(1)；(2)0 【解析】(1)除数改成它的倒数：(-)÷(-)=(-)×(-)=+(×)=。 (2)0除以任何一个不等于0的数都得0，所以0÷(-)=0。 第(2)题要看清0在哪一边：0作被除数，商是0；0作除数，算式才没有意义。 变式3　【答案】C 【解析】A错在符号：(-1)×(-1)=1，所以-1的倒数是-1；B错在0与任何数相乘都得0，永远凑不出1，0没有倒数；D错在结果的符号：一个数与它的倒数相乘，积永远是1，是正数。 C中把-的分子与分母交换位置得-，(-)×(-)=1，所以-的倒数是-，选C。 判断这类命题，举出一个反例就能否定一句话；要肯定一句话，则要说明它对所有情形都成立。 变式4　【答案】4 【解析】先把除法改成乘法：(-9)÷()×(-)=(-9)×()×(-)。 式中有2个负的乘数，积为正，再算绝对值：9××=4，所以原式=4。 先把所有除法都改成乘法，再一次数清负的乘数的个数，符号只定一次，比逐步定号更稳。 　题型5　变式：奇偶次幂、底数与指数的辨认和幂的大小 变式1　【答案】(1)-1；(2)-32 【解析】(1)21是奇数，负数的奇次幂是负数，而1的任何正整数次幂都是1，所以=-1。 (2)5是奇数，结果为负，绝对值是5个2相乘，所以=-32。 指数较大时不必真的连乘：先由底数的正负与指数的奇偶定符号，再算绝对值的幂。 变式2　【答案】-的底数是9，结果是负数；的底数是-9，结果是正数；这两个数互为相反数 【解析】-中没有括号，指数只管紧挨着它的9，底数是9；整个式子表示的相反数，所以它是负数。 中括号把负号括了进去，底数是-9；指数4是偶数，负数的偶次幂是正数，所以它是正数。 两个式子的绝对值都是，符号一正一负，所以-与互为相反数。 变式3　【答案】B 【解析】先把四个数各自算出来：=9，-=-9，=-8，-=-4。 三个负数比大小，绝对值大的反而小，|-9|最大，所以-最小，选B。 几个数比大小，先把每个数算成最简的形式，再按“正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小”排序。 变式4　【答案】(1)-0.001；(2)-16 【解析】(1)3个-0.1相乘，指数是奇数，结果为负：=-0.001。 (2)先算=16，最前面的负号表示取它的相反数，所以-=-16。 第(2)题的负号写在幂的外面，表示先算幂再取相反数；若写成，结果就成了16。 　题型6　变式：两级运算、带幂的乘法、中括号与运算律的配合 变式1　【答案】(1)-12；(2)-4 【解析】(1)先算除法与乘法：14÷(-7)=-2，(-5)×2=-10，再算加法，-2+(-10)=-12。 (2)先算乘方：=36，再与-相乘，异号得负，36×=4，所以原式=-4。 核对第(2)题的符号：底数-6的指数是偶数，幂为正数，再乘一个负数，积才是负数。 变式2　【答案】33 【解析】先算乘方与括号：=25，1-4=-3。 再算除法：(-24)÷(-3)=8，最后算加法，25+8=33。 括号里的1-4要先算，得-3；想先约掉24与3反而容易丢符号，按顺序一步一步来最稳妥。 变式3　【答案】2 【解析】中括号里先算乘方：=-8，再算加法，-8+18=10。 接着算除法：10÷(-2)=-5，最后算加法，-5+7=2。 中括号里面也要守顺序：先乘方，再加减；把中括号算成一个数以后，整个式子只剩除法与加法。 变式4　【答案】18 【解析】括号外的-24正好是6与4的倍数，先用分配律算前一部分：-24×-(-24)×=-4+18=14。 再算乘方：=4；最后算加法：14+4=18。 本题也可以先算括号：-=-，再算-24×(-)=14，结果相同，但用分配律步骤更短。 　题型7　变式：加法凑整、连乘结合、分配律与它的逆用 变式1　【答案】2 【解析】两个负数-24与-6的绝对值相加得30，两个正数17与15相加得32，把它们分别凑到一起。 原式=(-24-6)+(17+15)=-30+32=2。 凑整前先把每个数连同符号看清楚：-24与-6同号，17与15同号，各自凑到一起最省力。 变式2　【答案】-40 【解析】先定符号：三个乘数都是负数，负的乘数个数是奇数，积为负数。 再用乘法交换律与结合律凑整：4×1.25=5，5×8=40，所以原式=-40。 定符号与算绝对值可以分两步走：先判断积为负数，再在括号里算4×1.25×8。 变式3　【答案】-23 【解析】-36正好是9，6，4的倍数，用分配律把它分别乘进括号里的每一项。 原式=(-36)×-(-36)×+(-36)×=-20+6-9=-23。 用分配律时括号里的每一项都要乘到，漏乘一项是最常见的错，乘完可以数一数项数是否对得上。 变式4　【答案】-54 【解析】两个积里都有乘数2.7，把它提到括号外面，这是分配律的逆用。 原式=2.7×[(-13)+(-7)]=2.7×(-20)=-54。 逆用分配律的信号是“几个积里有相同的乘数”；把相同的乘数提到括号外面，剩下的部分往往能凑成整数。 　题型8　变式：还原、比较大小、辨认合格形式与单位换算 变式1　【答案】85000000 【解析】10的指数是7，就把8.5的小数点向右移动7位。 8.5后面只有一位小数，移动时位数不够，在后面补0，得85000000。 检验的办法：数一数还原后的整数位数，它应当比10的指数正好多1。 变式2　【答案】3.1×＜9.8×＜2.9× 【解析】比较用科学记数法表示的正数，先比10的指数：2.9×的指数是6，另外两个的指数都是5，所以2.9×最大。 指数相同的两个数再比a：3.1＜9.8，所以3.1×＜9.8×。 按从小到大排列就是3.1×＜9.8×＜2.9×。 不必把它们还原成普通记数法再比，先比指数、再比a，两步就能排完。 变式3　【答案】C 【解析】科学记数法要求a大于或等于1且小于10：A中的37太大，D中的0.37太小，都不合格。 37000是5位整数，指数应当是4，B的指数少了1，所以选C。 这类题分两步筛：先看a合不合格，再看指数对不对，两步过后通常只剩一个选项。 变式4　【答案】(1)4.01×m；(2)4.01×km 【解析】(1)40100000是8位整数，a=4.01，指数是8-1=7，所以赤道长约4.01×m。 (2)1km=1000m，40100000m=40100km；40100是5位整数，a仍是4.01，指数是5-1=4，所以赤道长约4.01×km。 换算单位以后a没有变，只有10的指数跟着位数少了3，这正是1km=1000m带来的。 带单位的数据先统一单位再写成科学记数法，指数才不会数错。 　题型9　变式：舍去、辨认精确度、两种精确度与末位的0 变式1　【答案】0.59 【解析】精确到0.01就是保留到百分位，0.5948的百分位上是9。 它右边紧挨着的数字是4，4小于5，把后面各位舍去，所以0.5948≈0.59。 取近似数不会改变数的大小关系：0.59比0.5948略小一点，两者相差不到0.005。 变式2　【答案】B 【解析】近似数精确到哪一位，看它的末位数字所在的数位：A的末位5在百分位，C的末位2在个位，D的末位8在千分位。 B的末位数字4在十分位上，所以0.4精确到十分位，选B。 判断精确度只看末位数字站在哪一位上，与这个数有几位小数、末位是不是0都无关。 变式3　【答案】精确到个位是4，精确到0.1是4.4 【解析】精确到个位就是保留到个位：个位上是4，它右边的十分位上是3，3小于5，把小数部分全部舍去，得4。 精确到0.1就是保留到十分位：十分位上是3，它右边的百分位上是9，9大于5，向前一位进1，得4.4。 同一个数按不同的精确度取近似数，结果可能不同；要求的精确度越高，近似数与原数越接近。 变式4　【答案】不相同；2.40精确到百分位，2.4精确到十分位 【解析】近似数精确到哪一位，由它的末位数字所在的数位决定：2.40的末位数字0在百分位上，2.4的末位数字4在十分位上。 所以2.40精确到百分位，2.4精确到十分位，两者的精确度不相同，末位的0不能去掉。 末位的0承担着精确度的信息，抄写时要一并抄下，不能当作可有可无的0去掉。 　题型10　变式：库存结算、地下楼层、时区换算与产量估算 变式1　【答案】增加了，共增加4.9t 【解析】把七个数相加，先把正数与负数分别合起来：正数的和是4.6+7.2+3.5=15.3，负数的和是-(2.8+5.3+1.9+0.4)=-10.4。 再算15.3+(-10.4)=4.9，结果是正数，所以一周结束时的库存比开始时增加了，共增加4.9t。 也可以按从左到右的顺序逐个相加，结果相同；先把同号的数合起来只是为了少算几步。 入库与出库是一对意义相反的量，把它们记成正数与负数以后，一周的净变化用一个加法算式就能一次算完。 变式2　【答案】(1)-9.6m；(2)12.8m 【解析】以地面为0、向下为负，地下第几层就把每层的高度乘几，再在前面加上负号。 (1)-3.2×3=-9.6，所以地下第3层的位置是-9.6m。 (2)地下第4层的位置是-3.2×4=-12.8(m)，开到地面就是从-12.8变到0：0-(-12.8)=12.8，所以位置上升了12.8m。 第(2)问用“到达的位置减去出发的位置”来算变化量，减去一个负数等于加它的相反数，得数是正数正好表示上升。 变式3　【答案】(1)前一日的22时；(2)前一日的17时 【解析】“北京时间比某地早几小时”，就表示该地的时刻等于北京时间的时刻减去这几个小时。 (1)6-8=-2，得数是负数，说明伦敦这时还在前一日：比0时早2小时，就是前一日的22时。 (2)6-13=-7，同样是负数，说明纽约这时也在前一日：比0时早7小时，就是前一日的17时。 时差换算就是有理数的减法：得数是正数表示同一日的几时，得数是负数就把它加上24，得到的是前一日的时刻。 变式4　【答案】一共含药8000g，即8×g 【解析】3.2万片就是32000片，每片含药量0.25g，一共含药0.25×32000=8000(g)。 8000是4位整数，a=8，指数是4-1=3，所以这一天生产的药片含药量一共是8000g，用科学记数法表示为8×g。 先把“万”还原成普通记数法再相乘，最后把得数写成科学记数法，三步各做一件事就不会乱。 工业生产中的总量估算常常要跨越几个数量级，先算出准确数，再用科学记数法写出来，读起来更清楚。 　易错专练 易错1　【答案】-4 【解析】错解示例：(-13)+9=-(13+9)=-22。 错因：把异号两数相加当成了同号两数相加，绝对值该相减却做了相加。 正解：|-13|=13，|9|=9，13＞9，所以和取负号，绝对值是13-9=4，即(-13)+9=-(13-9)=-4。 提醒：动笔前先看两个加数的符号是同是异：同号绝对值相加，异号绝对值相减，这一步定错，后面全错。 自查：凡是两个加数符号不同的题，算完先回头看一眼和的符号，是不是跟着绝对值大的那个加数走。 易错2　【答案】3 【解析】错解示例：(-5)-(-8)=(-5)+(-8)=-13。 错因：把减法转化为加法时只改了运算符号，没有把减数换成它的相反数，等于把符号改了两次。 正解：减数是-8，它的相反数是8，所以(-5)-(-8)=(-5)+8，异号相加取绝对值较大的加数的符号，得+(8-5)=3。 提醒：转化时两处同时改——减号改成加号，减数改成它的相反数，改完可以在草稿上圈一圈，确认两处都动了。 自查：把减法改写成加法以后，原来的减数在新式子里应当变成它的相反数，改完对照一遍再往下算。 易错3　【答案】16 【解析】错解示例：=(-2)×4=-8。 错因：把乘方当成了底数与指数相乘。乘方是几个相同乘数相乘，指数标明的是乘数的个数，不是一个乘数。 正解：表示4个-2相乘，即(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16；也可以先判断符号，指数4是偶数，负数的偶次幂是正数，再算绝对值=16。 提醒：遇到幂先在草稿上把它展开成连乘的形式，写一遍就不会与乘法混淆。 自查：写幂的题先问一句“指数表示几个几相乘”，再动笔；把幂写成连乘式，混淆就无处藏身。 易错4　【答案】-18 【解析】错解示例：48÷(-8)×3=48÷(-24)=-2。 错因：擅自先算了后面的乘法。乘与除是同一级运算，必须从左到右依次进行，不能因为“后面的数好算”就提前算。 正解：先算48÷(-8)=-6，再算(-6)×3=-18。 提醒：同级运算从左到右，这一条只有在使用运算律时才允许改变顺序，而除法本身不满足交换律。 自查：一个式子里只有乘除或只有加减时，一律从左到右算；想改变顺序，必须有运算律作依据。 易错5　【答案】- 【解析】错解示例：-的倒数是。 错因：把倒数与相反数弄混了。求倒数只交换分子与分母的位置，符号跟着原数走；改符号求出来的是相反数。 正解：(-)×(-)=1，所以-的倒数是-；它的相反数才是。 提醒：检验的办法很简单——把原数与所求的数相乘，积是1才是倒数，和是0才是相反数。 自查：求出倒数后与原数相乘检验一次，积是1才算对；求相反数则用相加是不是0来检验。 易错6　【答案】2.54× 【解析】错解示例：254000=25.4×。 错因：a取成了25.4，不符合“大于或等于1且小于10”这个要求，写法不合格。 正解：把小数点移到左边第一个数字2的后面，得a=2.54；254000是6位整数，指数是6-1=5，所以254000=2.54×。 提醒：写完先看一眼a的整数部分是不是只有一个非零数字，再用“位数减1”核对指数。 自查：科学记数法写完看两处——a的整数部分是不是一位非零数字，指数是不是等于整数位数减1。 易错7　【答案】0.4 【解析】错解示例：0.4449≈0.445≈0.45≈0.5。 错因：一位一位地连续四舍五入。取近似数只看被保留的那一位后面紧挨着的一个数字，后面更远的数字不参与决定进位。 正解：精确到0.1就是保留到十分位，十分位上是4，紧挨着它的百分位上也是4，4小于5，把后面各位全部舍去，所以0.4449≈0.4。 提醒：先用笔在保留位后面画一条竖线，线右边的数字整体看作一个尾巴，只看尾巴的第一位。 自查：取近似数只做一次判断，判断的依据是保留位后面紧挨着的那一个数字，与更后面的数字无关。 易错8　【答案】(-6)÷0算不出结果；0÷(-6)=0，0×(-6)=0 【解析】错解示例：三个算式的结果都是0。 错因：把“0作被除数”与“0作除数”混为一谈。除法法则里写明了“除以一个不等于0的数”，除数是0时这条法则根本用不上。 正解：0除以任何一个不等于0的数都得0，所以0÷(-6)=0；任何数与0相乘都得0，所以0×(-6)=0；而(-6)÷0中除数是0，找不到一个数与0相乘得-6，所以这个算式算不出结果。 提醒：0可以作被除数，绝不能作除数；凡是出现分母或除数的地方，先问一句“它会不会是0”。 自查：凡是出现除号或分数线的地方，先确认除数（分母）不是0，这是有理数除法的前提条件。 　课后作业（一）基础达标 1．【答案】B 【解析】减去一个数等于加这个数的相反数：-7-(-9)=-7+9。 两个加数异号，|9|＞|-7|，和取正号，得9-7=2，所以选B。 减法转化为加法以后，再按异号两数相加的法则取绝对值较大的加数的符号。 2．【答案】C 【解析】-(-3)=3，是正数；的底数是负数、指数是偶数，负数的偶次幂是正数；|-6|=6，也是正数。 的底数是负数、指数是奇数，负数的奇次幂是负数，=-125＜0，所以选C。 判断一个幂的正负只看两件事：底数是正是负，指数是奇是偶，用不着算出得数。 3．【答案】A 【解析】除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，的倒数是。 (-8)÷()=(-8)×()，两数异号，积为负数，绝对值是8×=12，所以原式=-12，选A。 B是把除数当成乘数直接乘出来的结果，D是把被除数与除数的位置弄反了。 4．【答案】A 【解析】按顺序先算乘方：=4；再算除法：8÷4=2。 最后算加法：-4+2=-2，所以选A。若先算-4+8就违反了运算顺序。 本题的考点是运算顺序：乘方在最前，除法在中间，加法在最后，顺序一乱结果就错。 5．【答案】B 【解析】把小数点移到左边第一个数字4的后面，得a=4.26；4260000是7位整数。 指数等于整数位数减1，即7-1=6，所以4260000=4.26×，选B。 四个选项的a完全相同，只有10的指数不同，这类题把位数数准就能选对。 6．【答案】D 【解析】精确到0.01就是保留到百分位，9.4051的百分位上是0，紧挨着它的千分位上是5。 5不小于5，向前一位进1，百分位由0变成1，所以9.4051≈9.41，选D。 精确到0.01就是保留到百分位，只看千分位上的那一个数字决定进还是舍。 7．【答案】D 【解析】“比甲地高63m”表示在甲地海拔的基础上加63。 -15+63，异号相加取绝对值较大的加数的符号，得63-15=48，所以乙地的海拔是48m，选D。 海拔的正负以海平面为界：正数表示高于海平面，负数表示低于海平面，比较两地时先把海拔都写成带符号的数。 8．【答案】D 【解析】A、B、C三句话都只在正数范围内成立：加上一个负数和会变小，减去一个负数差会变大，乘一个比1小的正数积会变小，都能举出反例。 D是对的：两个负数相加，符号仍取负号，而绝对值是两个加数绝对值的和，所以和比每一个加数都小，例如(-3)+(-5)=-8，-8既小于-3，也小于-5，选D。 否定一句话只要举出一个反例：3+(-5)=-2就比加数3小，可见A不成立。 9．【答案】-27 【解析】表示3个-3相乘。 指数3是奇数，结果为负，绝对值是3×3×3=27，所以=-27。 指数是几，就有几个相同的乘数，它不是与底数相乘的一个因数。 10．【答案】1 【解析】先把减法改成加法，再省略括号和加号：-6+10-3。 两个负数合起来是-9，再算-9+10=1。 先把减法改成加法，再省略括号和加号，式子就变成了几个数的和，一次就能算完。 11．【答案】- 【解析】互为倒数的两个数的积是1，所以要找的数与-4相乘得1。 因为(-)×(-4)=1，所以这个数是-。 互为倒数的两个数的积是1，由这一条可以反过来由一个数求出另一个数。 12．【答案】0 【解析】99是奇数，负数的奇次幂是负数，=-1；100是偶数，负数的偶次幂是正数，=1。 两个数互为相反数，相加得0。 底数是-1时，它的幂只有-1与1两个值，究竟取哪一个，由指数的奇偶决定。 　课后作业（二）综合运用 13．【答案】-8 【解析】由|a|=5可知a是5或-5；题目又给出a＜0，所以a只能取-5。 把a=-5代入：-5+(-3)=-(5+3)=-8。 先由绝对值定出两个可能的值，再用a＜0这个条件筛掉其中一个，这是分类讨论的标准做法。 14．【答案】10800 【解析】先把两个数各自还原：1.2×=12000，1.2×=1200。 再求它们的差：12000-1200=10800，所以前者比后者大10800。 两个a相同的数，10的指数每大1，这个数就是原来的10倍，还原以后再相减最稳妥。 15．【答案】470 【解析】三个乘数中有2个负的乘数，个数是偶数，积为正数。 再用乘法交换律与结合律：25×4=100，100×4.7=470，所以原式=470。 本题的简便之处在于25与4能凑成100，先乘它们再乘4.7，口算就能完成。 16．【答案】0.84 【解析】精确到0.01就是保留到百分位，0.8374的百分位上是3。 紧挨着它的千分位上是7，7大于5，向前一位进1，所以0.8374≈0.84。 保留位后面的数字只看紧挨着的那一个，不能一位一位地连续四舍五入。 17．【答案】(1)-13；(2)5 【解析】(1)先算乘方：=-8；再算乘除：-8÷(-4)=2，3×(-5)=-15；最后算加法：2+(-15)=-13。 (2)先算乘除：(-6)×(-)=2，(-9)÷3=-3；再算减法：2-(-3)=2+3=5。 两小题都要按“先乘方、再乘除、最后加减”的顺序走，第(2)题的减去一个负数要改写成加上它的相反数。 两道小题都要把中间步骤写出来：先算出的幂与积各是多少，再合并成一个式子，评卷时这些步骤都是得分点。 18．【答案】(1)-3564；(2)-4 【解析】(1)把-99拆成-100与1的和，再用分配律：(-99)×36=(-100+1)×36=-3600+36=-3564。 (2)三个乘数都是负数，负的乘数个数是奇数，积为负；再用乘法交换律与结合律把与凑成1：原式=-(××4)=-4。 第(1)题把-99拆成-100与1的和，是拆分凑整的典型用法；第(2)题则靠互为倒数的两个乘数凑成1。 简便方法不是可有可无的技巧：拆分与凑整能把多位数的乘法变成口算，考试时既省时间又少出错。 19．【答案】(1)在起飞高度的下方，相差7m；(2)2.06kW·h 【解析】(1)把六个记录相加：18-25+13-16-14+17=-7。结果是负数，说明巡查结束时它在起飞高度的下方，相差7m。 (2)耗电与升降的总长度有关，要把各段的绝对值相加：18+25+13+16+14+17=103(m)，再算103×0.02=2.06(kW·h)。 两问的算法不同：第(1)问带着符号相加，第(2)问只看每一段走了多长，与方向无关。 位移与路程是两个不同的量，本题两问正好各考一个；抄记录时符号一个也不能丢。 20．【答案】全年盈利21.9万元 【解析】亏损记为负数，盈利记为正数，三段时间分别有3个月、6个月、3个月。 列式计算：(-1.5)×3+3.2×6+2.4×3=-4.5+19.2+7.2=21.9。结果是正数，所以这个公司去年全年盈利21.9万元。 先算清每一段有几个月，再用乘法算出各段的盈亏，最后相加，这是解决多段平均问题的通法。 多段平均值的问题，先算每一段的总量，再把各段的总量相加；月份数与每月的盈亏一一对应，不要数错月份。 　课后作业（三）拓展提高 21．【答案】(1)-729；(2)第7个数是正数，它是2187 【解析】这一列数的绝对值依次是3的1次方、2次方、3次方……：3，9，27，81，243；符号则是正、负、正、负交替出现，排在奇数位上的是正数，排在偶数位上的是负数。 (1)第6个数排在偶数位上，是负数，绝对值是=729，所以第6个数是-729。 (2)第7个数排在奇数位上，是正数，绝对值是=2187，所以第7个数是2187。 这类规律题分两步看：先看绝对值按什么规律变化，再看符号按什么规律交替，两条规律合起来才是这一列数的规律。 若把这一列数继续写下去，第几个数是正数、第几个数是负数，只由它排在奇数位还是偶数位决定，与绝对值的大小无关。 22．【答案】当b=2时，a+b=-4，a×b=-12；当b=-2时，a+b=-8，a×b=12 【解析】由|a|=6得a=6或a=-6，由|b|=2得b=2或b=-2；再由a＜b逐一检验：a=6时，6既不小于2也不小于-2，都不合题意，所以a=-6。 b=2时：a+b=-6+2=-4，a×b=(-6)×2=-12。b=-2时：a+b=-6+(-2)=-8，a×b=(-6)×(-2)=12。两种情况都符合a＜b，所以都要写出来。 写答案时两种情况都要写出来，只写一种就漏解了；检验时把求得的a，b代回a＜b核对一遍。 本题的两个条件缺一不可：绝对值给出了两个候选，a＜b负责在候选里筛选，最后还要把符合条件的情形全部写出来。 23．【答案】(1)答对7道；(2)-6分 【解析】(1)先假设10道题全部答对，可以得5×10=50(分)；实际只得26分，比全对少了50-26=24(分)。 把一道答对的题换成答错，总分就少5+3=8(分)。少了24分，说明答错了24÷8=3(道)，答对了10-3=7(道)。 (2)互换以后答对3道、答错7道，总分是5×3+(-3)×7=15-21=-6(分)。 第(1)问用的是“先假设全对，再按每换一道少多少分倒推”；第(2)问的得数是负数，说明扣掉的分比得到的分多。 “全部作答”这个条件不能漏：正因为没有不答的题，答对与答错的题数才合起来正好是10。 24．【答案】-50 【解析】这个式子是100个数的和，把它按从左到右的顺序每两个数分成一组：1-2，3-4，5-6，……，99-100。 每一组的值都是-1，100个数正好分成50组，所以原式=(-1)×50=-50。 分组的关键是每组的值都相同，这样才能用乘法一次算完；分组时要数清一共分成了多少组。 这种“配对求和”的办法在加减混合运算里很常用：先找出每一组的值，再数清组数，最后用乘法一次算出总和。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $