精品解析：湖南长沙市北雅中学2026-2027学年八年级上学期第一次数学练习

八年级数学第一次练习 考生注意，本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 5. 已知实数a、b，若，则下列结论错误的（ ） A. B. C. D. 6. 如图是乌兰察布市某公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到B点过程中，上升的高度（的长）为( ) A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个全等的三角形一定关于某直线对称 B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 到的三个顶点距离相等的点是三个内角平分线的交点 8. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 9. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③为中点；④若为的中线（，，三点共线），则．其中正确的有（ ）个． A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 12. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 13. 如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 14. 已知点关于轴对称的点在第二象限，则的取值范围是___________． 15. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 16. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形． 三、解答题（共9小题．共72分） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 如图，在和中，，，．求证：． 20. 如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）请在坐标系中画出关于y轴对称的图形（A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出点D，E，F的坐标； （2）求四边形的面积． 21. 为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______°． （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 22. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 23. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 24. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于x，y的方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； （3）已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 25. 综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一次练习 考生注意，本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A、该图形沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形，选项A错误； 选项B、该图形沿过圆心的直线折叠可重合，是轴对称图形，选项B正确； 选项C、该图形沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形，选项C错误； 选项D、该图形沿任何直线折叠，直线两旁的部分都无法完全重合，不是轴对称图形，选项D错误． 2. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，求一个数的立方根，解题关键是掌握无理数的概念． 先利用求一个数的立方根法则计算，再根据无理数的概念，对四个数逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是分数，属有理数，故A不符合； 是整数，属有理数，故B不符合； 是有限小数，属有理数，故C不符合； 是无理数，故D符合， 故选：D． 3. 点关于x轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的特征：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数；关于y轴对称，横坐标变为相反数，纵坐标不变；掌握这一特征是关键；根据这一特征即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点坐标为， 故选：C． 4. 如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（    ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 5. 已知实数a、b，若，则下列结论错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，正确，故A不符合题意； ，正确，故B不符合题意； ，错误，故C符合题意； ，正确，故D不符合题意； 故选：C． 6. 如图是乌兰察布市某公园一段索道的示意图，已知A、B两点间的距离为30米，，则缆车从A点到B点过程中，上升的高度（的长）为( ) A. 10米 B. 15米 C. 20米 D. 30米 【答案】B 【解析】 【分析】本题含的直角三角形，根据含的直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半进行求解是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，米， ∴米， 故选B． 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个全等的三角形一定关于某直线对称 B. 若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形 C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 D. 到的三个顶点距离相等的点是三个内角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故A选项错误，不符合题意； B、若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形，故B选项正确，符合题意； C、等腰三角形底边的高、中线、顶角的角平分线互相重合，故C选项错误，不符合题意； D、到的三个顶点距离相等的点是三条边的垂直平分线的交点，故D选项错误，不符合题意． 8. 如图，在中，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，．若，的周长为，则的周长为（ ） A. 20 B. 21 C. 25 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】由尺规作图可知是线段的垂直平分线，利用垂直平分线性质得到、，再结合周长，等量代换求出周长． 【详解】解：由作图可得是的垂直平分线， ∴，． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 9. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据走路快的人追上走路慢的人时，快行者比慢行者多走100步，且两人运动时间相等，走路快的人走m步与走路慢的人走n步所用的时间相等，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设走路快的人走m步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了n步， 则可列方程组为． 10. 如图，在中，以，为腰作等腰直角和等腰直角，其中，连接，为边上的高，延长交于点．有下列结论：①；②；③为中点；④若为的中线（，，三点共线），则．其中正确的有（ ）个． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，则，可判断①的正误；作于，的延长线于，证明，则，，同理，可证，则，，同理可证，则，，可判断③的正误；由，可判断②的正误；由垂直平分线的性质得出，进而由等量代换可得出，再由三线合一即可得出，即可判断④． 【详解】解：以，为腰作等腰直角和等腰直角，， ，， 为边上的高，延长交于点， ，， ， ，①正确，故符合要求； 同理，， 如图，作于，的延长线于，    ，，， ， ，， 同理，，，， ， ，， ，，， ， ，， 为中点，③正确，故符合要求； ，②正确，故符合要求； 若为的中线， 则垂直平分， ， 又，， ， 由③可知，为中点， ，故④正确，故符合要求； 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：若3是底边长，8是腰长，三边长为3，8，8，构成等腰三角形， 则等腰三角形的周长为； 若8是底边长，3是腰长，则等腰三角形三边长为3，3，8， ∵不能构成等腰三角形， ∴此种情况不存在， ∴等腰三角形的周长为． 12. 如图，在中，点在线段上，且，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角性质得出，进而根据等边对等角，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 13. 如图，在中，、的平分线交于点，过点作交、于点、．当，时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行和角平分线得到，，可得出结论，由此即可求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可证， ∴， ∵，， ∴． 14. 已知点关于轴对称的点在第二象限，则的取值范围是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标和关于轴对称的点的坐标规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”得出对称点为，然后再根据第二象限特点进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵点， ∴关于轴对称的点为， ∵对称点在第二象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置上，的延长线与的交点为．若，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据长方形对边平行得到，利用平行线性质求出相关角的度数，再结合折叠前后角相等，进而求出的度数． 【详解】解：四边形为长方形， ． ，． 由折叠的性质可知：， ． 16. 如图，，C是延长线上一点，，动点P从点C出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P、Q同时出发，用表示移动的时间，当_____时，是等腰三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：当点在线段上，当点在的延长线上，分别列式计算即可求解． 【详解】解：①当点在线段上，是等腰三角形时， ， 即， 解得； ②当点在的延长线上，是等腰三角形时， ， 是等边三角形， ， 即， 解得， 综上所述，t的值为或． 三、解答题（共9小题．共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；按顺序注意计算的准确性即可； 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据两边及其夹角相等证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 20. 如图，已知的三个顶点分别为，，． （1）请在坐标系中画出关于y轴对称的图形（A，B，C的对应点分别是D，E，F），并直接写出点D，E，F的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1），，， （2） 【解析】 【分析】（1）首先确定、、关于y轴的对称点、、的位置，再顺次连接即可，然后写出、、的坐标； （2）由图可以发现四边形的面积为与的面积和，即计算即可． 【小问1详解】 解：画图略； ，，． 【小问2详解】 解：四边形的面积为：． 21. 为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为______人；扇形统计图中，A所对应的扇形圆心角度数为______°． （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“A：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）100，144 （2） （3）估计“A：完全了解”的学生人数是480人 【解析】 【分析】（1）根据B的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以A所占比即可求出对应的扇形圆心角度数； （2）用总数减去，，的人数即可求出C的人数，即可补全图形； （3）用1200乘以选择“A：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（人） A所对应的扇形圆心角度数为． 【小问2详解】 解：C的人数为（人）， 图略； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计“A：完全了解”的学生人数是480人． 22. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，证明，根据直角三角形的性质，得，等量代换证明即可； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； 【小问1详解】 证明：连接． 因为是的垂直平分线， 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由如下： 因为是的垂直平分线， 所以． 因为，， 所以． 所以． 又因为， 所以是等边三角形． 23. 某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元． （1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克（x为正整数），求有哪几种购买方案． 【答案】（1）的值为10，的值为14 （2）共有3种购买方案，方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜；方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜；方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜 【解析】 【分析】（1）由购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克的费用元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克的费用元，再列二元一次方程组解答； （2）利用投入资金不少于1160元又不多于1168元，确定不等关系列一元一次不等式组求解． 【小问1详解】 解：依题意，得 ， 解得． 答：的值为10，的值为14． 【小问2详解】 解：依题意，得 ， 解得：． 又∵x为正整数， ∴可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购进58千克甲种蔬菜，42千克乙种蔬菜； 方案2：购进59千克甲种蔬菜，41千克乙种蔬菜； 方案3：购进60千克甲种蔬菜，40千克乙种蔬菜． 24. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”．例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于x，y的方程组是不等式的“偏解方程组”，求a的取值范围； （3）已知关于x的不等式组恰有6个整数解，且关于x的方程是它的“偏解方程”，求b的取值范围． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先解不等式组得，再由恰有6个整数解的条件求得，由偏解方程的定义得到，取两个范围的公共部分即可． 【小问1详解】 解：，解得， ①成立，故符合题意； ②不成立，故不符合题意； ③成立，故符合题意， 方程是下列不等式（组）中①③的“偏解方程”； 【小问2详解】 解： 解得， 方程组是不等式的“偏解方程组”， ， 解得； 【小问3详解】 解：， 解得， 关于x的方程是它的“偏解方程”， ， 解得， 不等式组恰有6个整数解， 设6个整数解为k，，，，，， 由题意得，， ， 解得， 有解， ， 解得， 的整数解为或， 当时，， ， 当时，， ， ， 又， ． 25. 综合与实践 【情境】两个顶角相等的等腰三角形，具有公共的顶角顶点，将它们的底角顶点分别对应连接起来就得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”模型． （1）如图1，在与中，，，，图中构成了“手拉手”模型，则有：______；线段和的数量关系是______； 【探究】 （2）如图2，与均为等边三角形，且点在边上，求证： ①； ②； 【拓展】 （3）如图3，已知点在等边的外部，并且与点位于线段的异侧，连接，，．若，，，请求出的长． 【答案】（1）， （2）证明：①与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ； ②在等边三角形中，， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由两个三角形全等的判定与性质求解即可； （2）由等边三角形的性质，结合两个三角形全等的判定与性质求解即可； （3）延长，并在延长线上截取，如图所示，构造“手拉手”模型，通过推导，得出，最后结合等边三角形性质求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， 在与中， ， ； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长，并在延长线上截取，如图所示： ， 是等边三角形， 与均为等边三角形， ， ，， ， 在与中， ， ； ， ， 则在等边三角形中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $