精品解析：湖南长沙市第十五中学2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试题

2025-2026学年八年级上册数学第一次月考卷 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，求一个数的立方根，解题关键是掌握无理数的概念． 先利用求一个数的立方根法则计算，再根据无理数的概念，对四个数逐一分析，再作出判断． 【详解】解：是分数，属有理数，故A不符合； 是整数，属有理数，故B不符合； 是有限小数，属有理数，故C不符合； 是无理数，故D符合， 故选：D． 2. 到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条边中线交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点是三个角的角平分线的交点． 故选：C． 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形三边的条件，解题的关键是掌握三角形三边关系定理 ． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于另外两边之和即可 ． 【详解】解：A选项，：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B. ：，满足条件，能组成三角形； C.：，不满足条件，不能组成三角形； D. ：，不满足条件，不能组成三角形 ． 故选：B ． 4. 已知实数a、b，若，则下列结论错误的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 根据不等式的性质逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，正确，故A不符合题意； ，正确，故B不符合题意； ，错误，故C符合题意； ，正确，故D不符合题意； 故选：C． 5. 下列所叙述的两个三角形，一定全等的是（ ） A. 含角的两个直角三角形 B. 腰对应相等的两个等腰三角形 C. 周长为的两个等边三角形 D. 一个钝角对应相等的两个等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法；由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、D、两个三角形全等至少需要一边对应相等的条件，故A、D不符合题意； B、腰的夹角不一定相等，故B不符合题意； C、由判定两个等边三角形全等，故C符合题意． 故选：C． 6. 如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形中线的性质，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形的面积．根据三角形中线平分三角形的面积即可得． 【详解】解： ，分别为，的中点， 即是的中线，是的中线， ， ． 故选：B 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据快的人追上时两者的路程关系及时间相等建立方程组，即可 ． 【详解】解：设走路快的人走步追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步． 根据题意得， 故选：B． 8. 如图，已知，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定定理与性质并灵活运用．由已知条件可判定，则有，即可求得，可判定，则可得． 【详解】解：， ． ． ， ． 即． ． ． 故选：B． 9. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，一元一次不等式组的求解，熟练掌握方程和不等式的解法是解决本题的关键． 首先解方程得到关于的表达式，结合非负整数解的条件确定的范围；再解不等式组，根据解集确定的另一个范围，综合两个条件找出符合条件的整数，最后求和． 【详解】解：方程两边乘3， 得：， 展开并整理得：， ∵为非负整数，则且为整数， ∴，即， 且为偶数，故为奇数； 不等式组：， 第一个不等式解得，， 第二个不等式解得，， ∵解集为， 需满足，即， ∴，且为奇数， ∴符合条件的整数为和， ∴． 故选：B ． 10. 如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键． 将方程整理得，根据题意可得即可求解． 【详解】解：将两边同时除以2， 得， 整理得，， ∵关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：D． 二、填空题 11. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了平行于y轴的直线上的点的横坐标相等的性质，难点在于要分情况讨论．根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等求出点的横坐标，再分点在点的下边与上边两种情况求出点的纵坐标，即可得解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为，， ∴点在点的下边时，纵坐标为， 点在点的上边时，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 12. 的算术平方根是_______．若，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，绝对值的含义．由，再进一步求解的算术平方根，由绝对值的意义可得时，． 【详解】解：∵， 则的算术平方根为； ∴的算术平方根是； ∵， ∴； 故答案为：；． 13. 如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平移性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质进行计算即可． 【详解】解：由平移的性质可知，，， ． 故答案为：4． 14. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，代数式求值，解答此题的关键是注意观察方程组的两个方程和所求的代数式之间的关系． 首先把方程组中的两个方程的左右两边分别相加，可得；然后整体代入计算即可． 【详解】解：， 由得， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、邻补角等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先根据证明得出，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组的解，先解每个不等式，再根据一元一次不等式组的解集口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”可得到a的取值范围． 【详解】解：解关于x的不等式组，得， ∵该不等式组无解， ∴． 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算．先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可． 【详解】解： 18. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为：． 19. 已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． 因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．最后求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ∴． 20. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． （1）请在方格纸中画出平移后的； （2）若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点坐标为_______________． （3）若内部有一点，按照已知条件平移后得到点，则点的坐标为_______________． （4）平移过程中，求边扫过的面积． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）根据题意构建平面直角坐标系，写出的坐标即可； （3）利用平移变换的性质求解； （4）边扫过的面积可以看出两个平行四边形的面积和． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：平面直角坐标系如图所示，． 故答案为：； 【小问3详解】 解：． 故答案为：； 【小问4详解】 解：平移过程中，求边扫过的面积． 21. 已知：点在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：， ， ， 即， 在和中，， ， ， ． 22. 为了掌握同学们对探月工程的了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为___________人；扇形统计图中，所对应的扇形圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“：完全了解”的学生人数是多少？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）估计“：完全了解”的学生人数是人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，再用乘以所占比即可求出对应的扇形圆心角度数； （2）用总数减去人数即可求出的人数，即可补全图形； （3）用数乘以选择“：完全了解”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生人数为（人），所对应的扇形圆心角度数为， 故答案：，； 【小问2详解】 解：的人数为（人）， 补全条形统计图如图， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计“：完全了解”的学生人数是人． 23. 在充满奇幻色彩的神话世界里，黑悟空为了提升自己的修行，决定购买A、B两种神秘泡酒物，已知购买20个A种和30个B种神秘泡酒物花费950单位的灵蕴值，购买30个A种和60个B种神秘泡酒物花费1650单位的灵蕴值． （1）求A种神秘泡酒物和B种神秘泡酒物的单价各是多少； （2）由于黑悟空升级需求扩大，决定再购买A种和B种神秘泡酒物共200个，且购买神秘泡酒物的总灵蕴值不得超过4000单位，则最多可以购买A种神秘泡酒物多少个？ 【答案】（1）种神秘泡酒物的单价是25单位灵蕴值，种神秘泡酒物的单价是15单位灵蕴值 （2）最多可以购买种神秘泡酒物100个 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式． （1）设种神秘泡酒物的单价是单位灵蕴值，种神秘泡酒物的单价是单位灵蕴值，根据购买20个种和30个种神秘泡酒物花费950单位的灵蕴值，购买30个种和60个种神秘泡酒物花费1650单位的灵蕴值得：，即可解得答案； （2）设购买种神秘泡酒物个，则购买种神秘泡酒物个，根据购买神秘泡酒物的总灵蕴值不得超过4000单位得：，即可解得，故最多可以购买种神秘泡酒物100个． 【小问1详解】 解：设种神秘泡酒物的单价是单位灵蕴值，种神秘泡酒物的单价是单位灵蕴值， 根据题意得：， 解得， ∴A种神秘泡酒物的单价是25单位灵蕴值，种神秘泡酒物的单价是15单位灵蕴值； 【小问2详解】 解：设购买种神秘泡酒物个，则购买种神秘泡酒物个， 根据题意得：， 解得， ∴最多可以购买种神秘泡酒物100个． 24. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 【答案】（1）②③ （2） （3）整数解一共有6个，分别是 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． （1）先解一元一次方程，再根据“偏解方程”的定义判断即可； （2）先求出二元一次方程组的解，再将解代入得到关于a的一元一次不等式，再求解即可； （3）先求出不等式组的解集为，再结合“偏解方程”的定义，可得b得取值范围为，从而得到当b取得最大值1时，的值最大，的值最小，即可求解． 【小问1详解】 解：，解得：， ①当时，，则不能使成立， ∴方程不是不等式的“偏解方程”； ②当时，，则能使成立， ∴方程是不等式的“偏解方程”； ③当时，，则能使成立， ∴方程是不等式组的“偏解方程”； 故答案为：②③ 【小问2详解】 解： 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∵方程组是不等式的“偏解方程组”， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：解方程得：， ∵不等式组有解， ∴，且， ∴， ∵关于的方程是不等式组的“偏解方程”， ∴， 解得：， 综上，b得取值范围为， ∵不等式组的解集为， 当时，， ∴当b取得最大值1时，的值最大，的值最小， 此时不等式组的解集为，含有最少整数解． 此时整数解一共有6个，分别是． 25. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）AD （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级上册数学第一次月考卷 一、单选题 1. 下列各数中，是无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 到三角形三边距离相等的点是（ ） A. 三条边中线的交点 B. 三条边的高的交点 C. 三个角的角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数a、b，若，则下列结论错误的（ ） A. B. C. D. 5. 下列所叙述两个三角形，一定全等的是（ ） A. 含角的两个直角三角形 B. 腰对应相等的两个等腰三角形 C. 周长为的两个等边三角形 D. 一个钝角对应相等的两个等腰三角形 6. 如图，D，E分别为，的中点，若的面积为24，则的面积为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（ ）． A. B. C. D. 10. 如果关于未知数x和y二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知点的坐标为，轴且，则点的坐标为______． 12. 的算术平方根是_______．若，则_______． 13. 如图，将沿方向平移1个单位长度得到，已知，则的长为__________． 14. 已知，则__________． 15. 如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，，则________． 16. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 三、解答题 17. 计算： 18. 解不等式组． 19. 已知方程组与方程组的解相同．求的值． 20. 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． （1）请在方格纸中画出平移后的； （2）若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_______________． （3）若内部有一点，按照已知条件平移后得到点，则点的坐标为_______________． （4）平移过程中，求边扫过面积． 21. 已知：点在同一条直线上，．求证：． 22. 为了掌握同学们对探月工程了解程度，某初中学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图： （1）本次抽取的学生人数为___________人；扇形统计图中，所对应的扇形圆心角度数为___________； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计“：完全了解”的学生人数是多少？ 23. 在充满奇幻色彩的神话世界里，黑悟空为了提升自己的修行，决定购买A、B两种神秘泡酒物，已知购买20个A种和30个B种神秘泡酒物花费950单位的灵蕴值，购买30个A种和60个B种神秘泡酒物花费1650单位的灵蕴值． （1）求A种神秘泡酒物和B种神秘泡酒物的单价各是多少； （2）由于黑悟空升级需求扩大，决定再购买A种和B种神秘泡酒物共200个，且购买神秘泡酒物的总灵蕴值不得超过4000单位，则最多可以购买A种神秘泡酒物多少个？ 24. 如果一个方程（组）的解恰好能够使得某不等式（组）成立，则称此方程（组）为该不等式（组）的“偏解方程（组）”例如：方程是不等式的“偏解方程”，因为方程的解可使得成立；方程组是不等式的“偏解方程组”，因为方程组的解可使得成立． （1）方程是下列不等式（组）中______（填序号）的“偏解方程”； ①；②；③； （2）已知关于方程组是不等式的“偏解方程组”，求的取值范围； （3）已知关于的不等式组有解，且关于的方程是它的“偏解方程”，则不等式组至少有几个整数解？并求出此时的整数解． 25. 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 （2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； （3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $