精品解析：湖南娄底市涟源市2026-2027学年八年级上学期随堂练习（一） 八年级数学

2026年下学期随堂练习（一） 八年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，，，，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式中，各项的最大公因式是（　　） A. B. C. D. 4. 已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则的值为（ ） A. 198 B. 216 C. 252 D. 396 5. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 6. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 无论x为何值，的值总为正数 8. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 9. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 10. 已知，则分式的值是（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ，括号内应填_________． 12. 若多项式因式分解的结果是，则______． 13. 因式分解___________． 14. 计算_____． 15. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为_____． 16. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与________互为“5阶分式”． 三、解答题（每小题6分，共12分） 17. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 18. 小明同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）化简过程中第_____步出现错误，出现错误的原因是_____． （2）请你书写正确的化简过程及结果． 四、解答题（每小题8分，共16分） 19. 简便方法计算： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 五、解答题（每小题10分，共20分） 21. 先化简：，再选一个自己喜欢的整数代入求值． 22. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 六、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读下面材料： 将形如的分式表示成一个整式与一个分式和（或差）的形式，可以先观察分母的特征，设法用含有分母的代数式表示分子再变形解决问题． 例如 ，． 解决问题： （1）已知，则m=______． （2）已知，用含m的代数式表示n.． （3）已知，直接写出与的大小关系． 24. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 观察得出：两个因式分别为与 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ②（拆项法） ③________． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期随堂练习（一） 八年级数学 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，，，，其中分式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：，，中，分母不含有字母，不是分式； ，，分母中含有字母，是分式，共3个． 故选：B． 2. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意； B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意； C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意； D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意； 故选：C． 3. 多项式中，各项的最大公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 4. 已知长、宽分别为a，b的长方形的周长为22，面积为18，则的值为（ ） A. 198 B. 216 C. 252 D. 396 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握整式代入思想是解题的关键． 根据长方形的周长和面积可求出和的值，然后将所求表达式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：∵ 长方形的周长为 22， ∴ ， ∴． ∵ 面积为 18， ∴． 又 ∵ ， ∴原式 =． 故选A． 5. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 6. 下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐一判断选项即可，完全平方公式的结构为． 【详解】解：A、的常数项为，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； B、缺少两个数乘积的倍这一项，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； C、是平方差，只能用平方差公式因式分解，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； D、，符合完全平方公式结构，可以用完全平方公式因式分解． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 当时，分式有意义 B. 分式与的最简公分母是 C. 当分式值为0时， D. 无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 8. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 9. 对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】先对整式进行因式分解，确定因式个数n，再根据密匙值的定义，取，计算所有因式的和得到结果，用到初中因式分解的提公因式法与平方差公式． 【详解】解：∵ ， ∴ 分解后得到个不能再分解的非常数因式， 根据定义取， 分别计算各因式得：，，， ∴ 密匙值为． 10. 已知，则分式的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的求值，掌握等式的基本性质以及分式的约分，整体代入是解题的关键．由，得，进而代入求值，即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴原式， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. ，括号内应填_________． 【答案】 【解析】 【分析】先对原式的分母因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到括号内的结果； 【详解】解：． 12. 若多项式因式分解的结果是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法，正确利用多项式乘以多项式运算法则将原式展开是解题关键．首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ， ∴，， ∴． 故答案为： 13. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】先变形，然后提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 14. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的乘除混合运算及幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据幂的乘方计算，再根据分式的乘除法法则计算即可得答案． 【详解】解： ． 故答案为： 15. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为_____． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据完全平方公式可得关于的等式，求解即可得到的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，即是完全平方式， 的结构特征， 可得：原式中，，即， ， 解得或． 16. 定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．如，分式与互为“3阶分式”．则分式与________互为“5阶分式”． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键． 由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，的“5阶分式”为：， 故答案为： 三、解答题（每小题6分，共12分） 17. 把下列各式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先变形，再找出公因式，最后提取公因式即可． （2）先提取公因式，再利用完全平方公式即可； 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 小明同学化简的过程如下： 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 ．第五步 （1）化简过程中第_____步出现错误，出现错误的原因是_____． （2）请你书写正确的化简过程及结果． 【答案】（1）三；去括号时，第二项没有变号 （2） 原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，关键是熟练应用运算法则计算； （1）错误出现在第三步，去括号时符号错误； （2）根据分式的加减运算法则计算即可，注意符号变化和约分． 【小问1详解】 解：错误出现在第三步，去括号时，第二项没有变号； 故答案为：三；去括号时，第二项没有变号； 【小问2详解】 略 四、解答题（每小题8分，共16分） 19. 简便方法计算： （1）； （2）． 【答案】（1）31.4 （2）40000 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对分子、分母进行因式分解，把分式除法运算转变为乘以除式的倒数，再交叉约分，消掉所有公因式，直接得到化简结果． （2）先因式分解，做分式乘法并且约分，得到一个最简分式，之后按照同分母分式加法法则，分母保持不变，分子相加合并，最后化简得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 五、解答题（每小题10分，共20分） 21. 先化简：，再选一个自己喜欢的整数代入求值． 【答案】，当时，原式（答案不唯一） 【解析】 【分析】先将括号内的整式与分式通分合并，再将除法转化为乘法进行约分，最后根据分式有意义的条件选择合适的整数代入求值． 【详解】解：原式 ， 由题意知，要使原式有意义，且， ∴且， 当时，原式（答案不唯一）． 22. 阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请根据上述材料回答下列问题： （1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　 　； A．提取公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 （2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　； （3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解． 【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）根据材料，用换元法进行分解因式． 【详解】（1）故选C； （2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则： 原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4． 故答案为（x﹣2）4； （3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4． 【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 六、解答题（每小题12分，共24分） 23. 阅读下面材料： 将形如的分式表示成一个整式与一个分式和（或差）的形式，可以先观察分母的特征，设法用含有分母的代数式表示分子再变形解决问题． 例如 ，． 解决问题： （1）已知，则m=______． （2）已知，用含m的代数式表示n.． （3）已知，直接写出与的大小关系． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，即可得到的值； （2）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，即可得到． （3）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，得出，根据已知条件可得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵ ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24. 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法．例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法．例如： ③十字相乘法：十字相乘法能用于二次三项式的分解因式．分解步骤：1．分解二次项，所得结果分别写在十字十字交叉线的左上角和左下角；2．分解常数项，所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角；3．交叉相乘，求代数和，使其等于一次项；4．观察得出原二次三项式的两个因式，并表示出分解结果．这种分解方法叫作十字相乘法． 观察得出：两个因式分别为与 例如： 分析： 解：原式 （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ②（拆项法） ③________． （2）已知：、、为的三条边，，求的周长． 【答案】（1）①，②，③；（2）7 【解析】 【分析】（1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；③直接利用十字相乘法分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出，，的值，然后求和即可得出答案． 【详解】解：（1）① ； ② ； ③； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴． ∴的周长为7． 【点睛】本题考查因式分解的方法及其在几何图形问题中的应用，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $