精品解析：山东菏泽市牡丹区长城学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学阶段性检测 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，银小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的有（ ）个． ①菱形的对角线相等； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③有两个角是直角的四边形是矩形； ④正方形既是菱形又是矩形； ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 4. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况为（    ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ） A. B. C. D. 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，若设小路宽为，则根据题意可列方程为_______________． 12. 如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为_________． 13. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为______ 16. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④；⑤；中正确结论的序号为______． 三、解答题（本题满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）设，是这个方程的两个实数根，且，求m的值． 19. 如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 21. 如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． （1）当t为何值时，的面积是面积的？ （2）当t为何值时，的长为？ 22. 问题解决： 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，且与相交于点G． （1）与的位置关系为 ； （2）延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性检测 （考试时间：120分钟；满分120分） 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，银小题3分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．熟练掌握一元二次方程的定义判断是解题的关键． 【详解】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列说法正确的有（ ）个． ①菱形的对角线相等； ②对角线互相垂直的四边形是菱形； ③有两个角是直角的四边形是矩形； ④正方形既是菱形又是矩形； ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的判定与性质、矩形的判定与性质进行解答． 【详解】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误； ③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误； ④正方形既是菱形又是矩形，故正确； ⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误； ∴正确的有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形和矩形的判定与性质．注意：正方形是一特殊的矩形，也是一特殊的菱形． 3. 已知一元二次方程的两根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ， ． 4. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是边的中点，若，则线段的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长． 已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵是矩形的对角线的中点，是边的中点， ∴是的中位线，， ， ， ， ， ， 故选：A． 5. 在四边形中，，如果再添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由已知三个内角为，可判定该四边形为矩形，再根据正方形的判定，添加一组邻边相等即可推出该四边形为正方形，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵四边形内角和为，， ∴， ∴四边形四个内角均为， ∴四边形是矩形． A、添加时，矩形中一组邻边相等，可推出矩形是正方形，符合要求； B、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求； C、可由已知条件推出，仍只能得到矩形，不符合要求； D、矩形对边本来就相等，是矩形固有性质，不能推出正方形，不符合要求． 6. 如图，菱形中，，对角线与相交于点，过点作，交边于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边中线性质，解题的关键是利用菱形的性质得出相关角度关系．先根据菱形的性质求出和的度数，再由和得出，计算出的度数，根据直角三角形斜边上的中线性质，得到，最后得到． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， 又菱形的对角线平分一组对角， ， ，， ，即， ， 四边形是菱形， 为中点， 在中，为中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得， ， 故选：B． 7. 一元二次方程的根的情况为（    ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式．根据方程求出判别式的值与0的关系即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8. 某旅游景点的游客人数逐年增加，据有关部门统计，2015年约为12万人次，若2017年约为17万人次，设游客人数年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】增长率问题，一般用“增长后的量增长前的量（1+增长率）”进行计算．如果游客人数的年平均增长率为x，根据2015年约为12万人次，则2016年约为万人次，2017年约为万人次，结合“2017年约为17万人次”，即可得出方程． 【详解】解：根据题意，可得． 9. 如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接AN,CN,通过将每部分阴影的面积都转化为正方形ACFE的面积的，则答案可求. 【详解】如图，连接AN,CN ∵四边形ACFE是正方形 ∴ ∵, ∴ ∴ ∴ 所以四边形BCDN的面积为正方形ACFE的面积的 同理可得另一部分阴影的面积也是正方形ACFE的面积的 ∴两部分阴影部分的面积之和为正方形ACFE的面积的 即 故选A 【点睛】本题主要考查不规则图形的面积，能够利用全等三角形对面积进行转化是解题的关键. 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程； ③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故②正确； ③若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故③正确； 故选：C． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11. 如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，若设小路宽为，则根据题意可列方程为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据小路的宽度，可得出矩形花坛的长为，宽为，结合矩形花坛所占面积为空地面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设小路宽为，则根据题意可列方程为， 故答案为：． 12. 如图，已知菱形的面积为24，对角线，相交于点O，且，则菱形的边长为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得，，在中，根据勾股定理可以求得的长，即可求得菱形的边长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ， 菱形的边长为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了勾股定理、菱形的性质以及菱形面积和周长的计算，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理． 13. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2-10x+21=0的根，则三角形的周长为______________. 【答案】16 【解析】 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 【详解】解：解方程x2-10x+21=0得x1=3，x2=7， ∵3＜第三边的边长＜9， ∴第三边的边长为7． ∴这个三角形的周长是3+6+7=16． 故答案为16． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系．已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 14. 如图，在正方形中，，点是的中点，把沿折叠，点落在点处，延长交于点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形与折叠的问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由正方形和线段中点的定义可得，由折叠的性质和正方形的性质可得，则可证明，得到；设，则，由勾股定理得，解方程得到，由勾股定理得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解方程，正确掌握相一元二次方程的解法是解题的关键．先理解题意，得，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为0， ∴，， 则，， ∴， ∴（舍去）， 故答案为： 16. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④；⑤；中正确结论的序号为______． 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】由图易知，而是等腰直角三角形，由等腰直角三角形三边关系得到①正确；先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为，得②正确；当时，最小，则最小，所以当时，最小，此时，得③错误；延长交于，延长交于．先证明，得，由与互余，可得，得④正确；根据，可得，所以⑤正确． 【详解】解：①∵于点，于点，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故①正确； ②∵，， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形的周长， 故②正确； ③当时，最小； ， ∴的最小值为． 故③错误； ④如图 延长交于，延长交于， 在正方形中，， 又∵， ∴； 由②知四边形是矩形， ∴， ∴； 由①知， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵，与互余， ∴与互余， ∴， 即， 故④正确； ⑤由④知，， ∴， 故⑤正确； 综上：①②④⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形，等腰直角三角形，垂直的证明方法，垂线段最短，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和运用“垂线段最短”是解题的关键． 三、解答题（本题满分72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方程即可； （5）利用公式法解一元二次方程即可； （6）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴整理得， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问5详解】 解：∵， ∴整理得， ∴，，， ∴， ∴，， ∴，； 【小问6详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实数根？ （2）设，是这个方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）当时，方程有两个不相等的实数根 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，然后根据完全平方公式将变形为，再代入求解即可． 【小问1详解】 解： 令，即 解得 当时，方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得， 已知 而，代入得： ∴ 解得 验证：当时，，方程有实根，符合题意． 故． 19. 如图，在中，，是边上的中线，过点C作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足 时，四边形是正方形．请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） ， 理由如下： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， 故答案为：． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的边的长为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 【答案】当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设，则，根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴， 答：当羊圈的边的长为20米时，能围成一个面积为的羊圈． 21. 如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动，设运动的时间为． （1）当t为何值时，的面积是面积的？ （2）当t为何值时，的长为？ 【答案】（1）1 （2）或2 【解析】 【分析】本题是与三角形有关的动点问题，考查了勾股定理，一元二次方程的意义，由题意得一元二次方程是关键． （1）由题意可求得、的长，从而可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （2）根据勾股定理即可得到关于t的一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：根据题意知，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴， ∴， 解得，（舍去）． ∴当为1时，的面积是面积的； 【小问2详解】 解：设秒后，的长度等于， 根据勾股定理，得，即， 整理得，， 解得，． ∴当为或2时，的长度等于． 22. 问题解决： 如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，，且与相交于点G． （1）与的位置关系为 ； （2）延长到点H，使得，判断的形状，并说明理由． 类比迁移： （3）如图2，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，，，，求的长． 【答案】（1）； （2）是等腰三角形，理由如下： 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形和菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）证明即可； （2）由全等可得，继而，是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质求证； （3）延长到K，使，连接，证明，证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴与的位置关系为：， 故答案为：； （2）略； （3）解：延长到K，使，连接，如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $