精品解析：四川成都市锦江区师一学校2026-2027学年九年级上学期9月数学课堂练习 A卷

初2024级（九上）数学课堂练习 A卷（共100） 一、选择题（每小题4，共32） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段的长度成比例的是（　　） A. 0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B. 30cm，20cm，90cm，60cm C. 1cm，2cm，3cm，4cm D. 2cm，3cm，4cm，5cm 3. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 4. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（ ） A. 27 B. 36 C. 24 D. 38 7. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，、，、分别为，边的三等分点，连接，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4，共32） 9. 若，则________． 10. 如图，已知，若，，则的度数是________． 11. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，且，，垂直于H，则__________． 12. 采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点O为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点B的对应点的坐标是________． 三、解答题（共48） 14. 解下列方程 （1） （2） 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 16. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 17. 如图，矩形的对角线与相交于点O；，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）证明：； （3）当时，求四边形的面积． 18. 在中，，点和点分别在边和边上． （1）如图1，将沿翻折至，求证：； （2）将沿翻折至，且点是中点； ①如图2，若，直线与的延长线交于点，求的比值； ②直线与直线交于点，若线段和线段这两条线段中，有一条线段是另一条线段的两倍时，求的比值． B卷（共50） 一、填空题（每小题4，共20） 19. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 20. 已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为__________． 21. 如图，在直角梯形中，，，，，，P为边上一动点，连接．若与是相似三角形，则________． 22. 如图，点D为等边内部一点，，过点D做于点E，直线交延长线于点F，若，则的值为________． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为A、B两点的“绝对距离”．菱形顶点坐标是，，，． ①若点E在菱形的边上且，则点E的坐标为________； ②已知点，且菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，则m的取值范围是________． 二、解答题（共30） 24. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B．直线经过A，B两点，点A是x轴正半轴上一点，且． （1）求直线的解析式； （2）点P是直线上一动点，在坐标平面内有一点Q，当以B、P、C、Q为顶点的四边形是菱形时（为边），求出点Q的坐标； （3）在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在正方形中，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在矩形中，点F在的延长线上，连接，，过点作，以为顶点作，交于点，若，，求（用含m，n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初2024级（九上）数学课堂练习 A卷（共100） 一、选择题（每小题4，共32） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断一元二次方程，先看是否整式方程；再化简整理，看未知数最高次数是否为2；同时要保证二次项的系数不能等于0． 【详解】解：A、分母含有未知数，不符合； B、未说明，不一定是二次方程，不符合； C、展开得，符合要求； D、整理得，最高次数为3，不符合． 2. 下列各组线段的长度成比例的是（　　） A. 0.3m，0.6m，0.5m，0.9m B. 30cm，20cm，90cm，60cm C. 1cm，2cm，3cm，4cm D. 2cm，3cm，4cm，5cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形，根据四条线段成比例的定义逐项判断即可． 【详解】A、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意； B、，各组线段的长度成比例，该选项符合题意； C、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意； D、，各组线段的长度不成比例，该选项不符合题意． 故选：B 3. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 4. 如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐一判断即可，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能证明，符合题意； 故选：． 5. 下列判断错误的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B. 有一个角是直角的菱形是正方形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，根据菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意； B、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，说法错误符合题意； D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，矩形的边上有一点，连接并延长交的延长线于点．已知的面积为，且的面积与的面积比为，则矩形的面积为（ ） A. 27 B. 36 C. 24 D. 38 【答案】B 【解析】 【分析】先证明，由面积比得到相似比，推出线段比例，再求出的面积，减去面积得到四边形面积，最后加上面积得到矩形面积． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， ∴． ，， ，相似比 ，， ∴， ∴， 与，高的比，底的比， ， ． ． ． 7. 由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 8. 如图，在中，、，、分别为，边的三等分点，连接，，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵、，、分别为，边的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； 故选C． 二、填空题（每小题4，共32） 9. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例，已知式子的值代入求值，解决此题的关键是正确的计算；将 拆分为 ，然后代入已知条件 进行计算． 【详解】解：由已知 ， 则 ， 故答案为：． 10. 如图，已知，若，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形对应角相等得出和的度数，再利用三角形内角和定理计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在中，， ∴． 11. 如图，在菱形中，对角线与交于点O，且，，垂直于H，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，根据菱形对角线互相平分且垂直得到，再利用勾股定理得到，据此利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线与交于点O，且，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 采用如图方法可以得到线段的黄金分割点：作，使，且，在上截取，在上截取．点即为线段的黄金分割点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，及求出，在中利用勾股定理求出的长，结合求出的长，由得到的长，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，，，以原点O为位似中心画一个三角形，使它与位似，位似比为，则点B的对应点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中位似变换的性质，若位似中心为原点，位似比为k， 则对应点坐标为原坐标乘以k或者． 【详解】解：位似中心为原点O， 位似比为 位似变换的比值为或， ∵， ∴当时，则，即， 当时，则，即． 综上：则点B的对应点的坐标是或． 三、解答题（共48） 14. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，． 【小问2详解】 解： ，，， ， ∴． ∴，． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 16. 小明决定利用所学数学知识测量出旗杆的高度．如图，已知A，B，C在同一条直线上，A，E，D也在同一条直线上，，，垂足分别是点B和点C，小明眼睛到地面高米，且米，的长度为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在测量时发现通过地面直线上F处的一个小水坑刚好看到旗杆顶端D，求小水坑F到小明的距离的长． 【答案】（1）旗杆的高度为6米 （2）小水坑F到小明的距离的长为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． ， ． ． ， ． ． ． 经检验，是原分式方程的解． 答：旗杆的高度为6米． 【小问2详解】 解：由题意得： ，， ． ． ． ． 即 经检验：是原分式方程的解． 答：小水坑F到小明的距离的长为米． 17. 如图，矩形的对角线与相交于点O；，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）证明：； （3）当时，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， 理由如下： ∵矩形的对角线与相交于点O， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，即是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）证明和是等边三角形，即可推出四边形是菱形． （2）证明，可得，，结合即可得到结论． （3）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得和的长，利用菱形的性质得到，进一步可得面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，为等边三角形， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线，且， ∴，， 由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：. 18. 在中，，点和点分别在边和边上． （1）如图1，将沿翻折至，求证：； （2）将沿翻折至，且点是中点； ①如图2，若，直线与的延长线交于点，求的比值； ②直线与直线交于点，若线段和线段这两条线段中，有一条线段是另一条线段的两倍时，求的比值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 由翻折可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①；②或或 【解析】 【分析】（1）先利用等腰三角形和翻折的性质证明 ；进而得出 ，再结合和即可得证． （2）①利用含的直角三角形性质，设，用含的代数式表示出等线段；在和中分别利用勾股定理列方程求出和；最后利用平行线分线段成比例，求出的比值； ②先根据点的不同位置进行分类讨论，设，，，利用勾股定理求出和的表达式，再通过相似三角形建立比例关系，解方程求出参数值，进而得出的比值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图，过作，交的延长线于，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设， 点是中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ∵，， 同理可得，， 由翻折可知，， ， 在中， ，即， 解得， ， ， ，， ， ， ， 在中， ，即， 解得， ， ， ，即， ， ， 化简得， ． ②如图，当点在的延长线上，时， 过作，交的延长线于，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交的延长线于，过作，交延长线于， 设， 点是中点， ， 由翻折性质得：，． 设线段， 在中，由勾股定理：， 则 ，， 在 中，由勾股定理： 代入得， 解得 ．则 ， ． 设，则． 在 中，由勾股定理：， ， ，即是的中位线， ， ，，，． 在 中，由勾股定理：， 代入得，解得． 则 ， ． ，， ， ，即． ，，， 在中，由勾股定理：， 代入得， 展开化简得， ， ， ，， ，， 两式消去 ，得， ， ，代入得， 解得． ，， ，， ，即， ， ， ． 如图，当点在的延长线上，时， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设，，， 同理可得，，，， 在 中，由勾股定理： 代入得， 解得 ．则， ． 同理可得，． ，， ， ，即． ，，， 在中，由勾股定理：， 代入得， 展开化简得， ， 同理可得， ， ， 代入得， 解得． ，， 同理，即， ， ． 如图，当点在的延长线上，时， 过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，垂足为，过作，交延长线于， 设，，， 同理可得，，，， ， 同理可得，， ， ，代入得， 解得． ，， 同理，即， ， ， ． 综上，或或． B卷（共50） 一、填空题（每小题4，共20） 19. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴ ， ， ． 20. 已知，，均为非零的实数，且满足，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键． 根据题意得出，，，三式相加得出，然后分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ 即， 当时，， 当时，． 故答案为：或． 21. 如图，在直角梯形中，，，，，，P为边上一动点，连接．若与是相似三角形，则________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分两种情况：或，结合相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴分两种情况：或， 设，则， 当时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时； 当时，， ∵，， ∴， 解得：， 此时或； 综上所述，或或． 22. 如图，点D为等边内部一点，，过点D做于点E，直线交延长线于点F，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作，分别交于点M，交于点N，根据等边三角形性质及垂直定义求出 ，利用邻补角求出 ，得出，设，，利用等腰三角形的性质结合已知条件得出，通过解60度直角三角形得出的长度，设，通过倒角可进一步证得，利用相似三角形对应边成比例列出含a的一元二次方程，求解a的值即可得出最终结果． 【详解】解：如图，过点D作，分别交于点M，交于点N， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为A、B两点的“绝对距离”．菱形顶点坐标是，，，． ①若点E在菱形的边上且，则点E的坐标为________； ②已知点，且菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，则m的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】①利用待定系数法，求出菱形四条边的直线解析式，利用分类思想，分四种情况，结合新定义解答即可； ②由题意可知到点P的“绝对距离”等于m的点的轨迹为以为对角线交点的正方形W上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为m的值．还要满足菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，即上述正方形W与菱形有且只有两个交点，再寻找临界值，最终综合起来确定m的取值范围． 【详解】①解：根据题意，得菱形顶点坐标是，，，， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 同理可得，的解析式为， 的解析式为， 的解析式为， 设，且，， 根据题意，得，结合定义，得， 化简，得， 故， 根据题意，得， 解得， 此时，与点重合，不符合题意； 根据题意，得， 解得， 此时，与点重合，不符合题意； 根据题意，得， 解得， 此时，不在第一象限，不符合题意； 根据题意，得， 解得， 此时，在第一象限，符合题意； ②解：根据题意，得， 同① 可得，动点在以为中心的正方形W上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，正方形W的对角线长的一半为， 如图， 当正方形W与有一个交点时，根据对角线垂直x轴，得交点的横坐标为4，根据的解析式为，此时，根据题意，得； 当正方形W与有一个交点时，根据对角线平行y轴，得交点的横坐标为4，根据的解析式为，此时，根据题意，得； 此时，当m满足时，菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m； 当点A在正方形W的边上时，过点P作正方形一组对边的垂线交x轴于点Q，根据题意，得直线与x轴的正方向的夹角为，过点P作x轴的垂线，与x轴交于一点，此时点Q到交点的距离等于点P到交点的距离，且都为2， 故即， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 故过点A的正方形的边的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故过点A的正方形的边的解析式为，当时，此时，根据题意，得；此时正方形W与菱形有3个交点； 当点C在正方形W的边上时，过点P作正方形一组对边的垂线交x轴于点R，过点P作x轴的垂线，垂足为点T，根据题意，得直线与x轴的负方向的夹角为，根据题意，得，故即， 设的解析式为，根据题意，得， 解得， 故的解析式为， 故过点C的正方形的边的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故过点C的正方形的边的解析式为，当时，此时，根据题意，得；此时正方形W与菱形有1个交点； 此时，当m满足时，菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m； 综上所述，符合题意的m的取值范围是或． 二、解答题（共30） 24. 2026年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1）该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长率公式：初始量最终量，列出一元二次方程求解，舍去负根得到增长率． （2）设每套降价元，用表示单件利润与月销售量，根据总利润单件利润销售量列一元二次方程求解，舍去不符合题意的根，求出对应售价． 【小问1详解】 解：设该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该组合套装1月份到3月份销售量的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设每套降价元．则单件利润为元，月销售量为套．由题意得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． ∴售价为（元）， 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B．直线经过A，B两点，点A是x轴正半轴上一点，且． （1）求直线的解析式； （2）点P是直线上一动点，在坐标平面内有一点Q，当以B、P、C、Q为顶点的四边形是菱形时（为边），求出点Q的坐标； （3）在直线上是否存在点M，使其与A，B，C三点中的某两点构成的三角形与相似（相似比不为1）？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或或 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）当时，，即，当时，，可求，即，，待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设，则，，，由四边形为菱形分，，分别列出方程，进而可得点坐标，由中点坐标公式可求对应的点坐标； （3）设，则，，由勾股定理得，，由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分，两种情况；当时，，可求，即，计算求出满足要求的解，进而可得的坐标；当时，同理求解作答即可． 【小问1详解】 解：当时，，即， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵， 则，， 设， ①当时， ∴， 解得，， ∴， ∴， 解得： ∴， 当时， ∴ 解得：或， ∴或 当时，根据中点坐标公式得，解得：，则； 当时，根据中点坐标公式得，解得：，则， 综上所述，或或； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，， 由勾股定理得，， 由题意知，点与三点中的某两点构成的三角形与相似时，分，两种情况； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，（舍负）， ∴； 当时，，即， 解得，， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 综上所述，存在，点的坐标为或． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在正方形中，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在菱形中，，点E在边上，点F在的延长线上，以E为顶点作，交的延长线于点G，若，，，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，在矩形中，点F在的延长线上，连接，，过点作，以为顶点作，交于点，若，，求（用含m，n的代数式表示）． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）11； （3）． 【解析】 【分析】（1）首先证明，，再根据证明△△即可得出结论； （2）作交于点，交于点，证明△△，得出，再分别证明△，△是等边三角形，得到，，由求出，，，，从而得出结论； （3）设与交于点，延长交的延长线于，作于，求出，，，证明△△，△△，求得，证明四边形是平行四边形，得出，进一步得出． 【详解】（1）略 （2）解：作交于点，交于点，如图2， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ， 四边形是菱形， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 又∵，， ， ，， ， ， ， ； （3）解：设与交于点，延长交的延长线于，作于，如图3， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $