精品解析： 四川省成都市盐道街中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2025-2026学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是(　　) A. B. C. (-3)=2+2 D. 2-7= 2. 将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为4，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 8、25 B. 8、 C. 、 D. 、25 3. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程，根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动．我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6. 如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AC＝BD B. AC⊥BD C. AB＝DC D. AB⊥DC 7. 已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根，则这个三角形的周长为（ ） A. 18 B. 18或20 C. 20 D. 19 8. 如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形对角线的交点为O，且，那么的长等于（ ） A. B. 5 C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成．则的值是______． 10. 建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有_______排． 11. 如图所示，长方形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么等于_________________． 12. 如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． 13. 如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为______． 14. 已知、是方程的两个实数根，则的值为______． 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 16. 如图，中，是的中位线，点P为射线上的一个动点不与点E重合，作交边于点F，连接，，若在延长线上可以与点D重合存在一点P，使得四边形为矩形，则度数的取值范围为______． 17. 如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为______． 18. 如图，点为矩形的中心，轴，轴，，则点的坐标为______；若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即…连接，，点为的中点，当的面积为时，则点坐标为______． 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）用适当的方法解下列方程： ① ② （2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．请完成如图所示的画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②不写画法，保留必要的画图痕迹． （1）在图1中画出一条长为的线段MN（M，N分别为格点） （2）在图2中画出一个以格点为顶点，以AB为一边的正方形ABCD； （3）在图3中，E，F分别为格点，画出线段EF的垂直平分线l． 21. 如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 22. 某超市将进货价为20元/盒的水彩笔套盒以25元/盒售出，每月能售出600盒．调查表明：这种水彩笔每盒的售价每上涨1元，每月的销售量会减少10盒．超市销售这种水彩笔要实现每月5500元的销售利润，且尽可能地让利于顾客，这种水彩笔每盒的售价应定为多少元？ 23. 已知，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得线段． （1）如图1，当点是中点时，连接，若，求的值； （2）如图2，当点在边上时，连接，为 的中点，连接，求证：； （3）如图3，当点在边上时，连接，若，则的最小值为______．（用含的式子表示） 24. 用厘米长的铅丝，弯折成一个长方形的模型.设长方形的面积为平方厘米，长方形的长为厘米． （1）用的式子表示；并求当平方厘米时的值； （2）的值会不会为平方厘米？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线经过点A，与x轴交于点．已知，，．平分，交于点F，点P是线段上一动点． （1）求的长和的度数； （2）若点G是平面内任意一点，当以E、C、P、G为顶点的四边形为菱形时，求点G的坐标； （3）如图2，在线段上有一动点Q，点P与点Q分别同时从点C和点A出发，已知当点P从点C匀速运动至点F时，点Q恰好从点A匀速运动至点E，连结．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得的面积与的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF、FG． （1）如图1，直接写出EF与FG的关系____________； （2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH． ①求证：△FFE≌△PFG；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系； （3）如图3，若点P为CB延长线上的一动点，连接FP，按照(2)中的做法，在图(3)中补全图形，并直接写出EF、EH、BP三者之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年四川省成都市锦江区盐道街中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是(　　) A. B. C. (-3)=2+2 D. 2-7= 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、当a≠0，b、c为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B、是分式方程，故此选项错误； C、是一元一次方程，故此选项错误； D、是关于x的一元二次方程，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为4，则一次项系数和常数项分别是（ ） A. 8、25 B. 8、 C. 、 D. 、25 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．把原方程化为，即可得到一次项系数和常数项． 【详解】解：∵， ∴， 其中二次项系数为4，则一次项系数和常数项分别是8、， 故选：B 3. 秋冬季是流感的高发季节，应该特别注意预防流感，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据题意，正确的列出一元二次方程，是解题的关键． 根据有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 由题意，得：； 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程，根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式即可得． 【详解】解：一元二次方程中的， 则这个方程根的判别式为， 所以这个方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 5. 如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动．我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是（ ） A. 直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B. 直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题关键． 【详解】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形的斜边，记号笔在木棒的中点， 所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：D． 6. 如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ） A. AC＝BD B. AC⊥BD C. AB＝DC D. AB⊥DC 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，则有四边形EGFH为平行四边形，由矩形的性质可得∠GFH=90°，然后可得∠GFB+∠HFC=90°，最后问题可求解． 【详解】解：∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点， ∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB， ∴四边形EGFH为平行四边形，∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC， 若四边形EGFH为矩形，则有∠GFH=90°， ∴∠GFB+∠HFC=90°， ∴∠DCB+∠ABC=90°， ∴AB⊥DC； 故选D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键． 7. 已知三角形两边长分别为3和9，第三边的长为一元二次方程的一根，则这个三角形的周长为（ ） A. 18 B. 18或20 C. 20 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法和三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．运用因式分解法求出方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到符合题意的边，进而求得三角形周长即可． 【详解】解：∵， ∴， 则或， 解得， 由题意知，第三边的长度需满足：第三边长度，即第三边长度， ∴第三边的长度为8， 则这个三角形的周长为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形对角线的交点为O，且，那么的长等于（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，将绕着点逆时针旋转得到，如图所示，由旋转性质得到，，，，并通过四边形内角和得到三点共线，利用等腰直角三角形性质求得，最终由求出长即可得到答案． 【详解】解：将绕着点逆时针旋转得到，如图所示： ，，，， 是正方形的对角线， ，即， 在中，， 在四边形中，由四边形内角和可知， ， 三点共线， ，， 在等腰中，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转性质、正方形性质、四边形内角和、等腰直角三角形的判定与性质等知识，根据题意结合旋转性质将绕着点逆时针旋转得到是解决问题的关键． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 用配方法解一元二次方程时，将原方程配方成．则的值是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法的一般步骤先在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故答案为：10． 10. 建国70周年阅兵式中，三军女兵方队共352人，其中领队2人，方队中，每排的人数比排数多11，则女兵方队共有_______排． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．先设三军女兵方队共有排，则每排有人，根据三军女兵方队共352人可列方程求解即可． 【详解】解：设三军女兵方队共有排，则每排有人，根据题意得： ， 整理，得． 解得：(不合题意，舍去)， 则女兵方队共有14排． 故答案为：14． 11. 如图所示，长方形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，那么等于_________________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，先求出，再由折叠的性质即可得到． 【详解】解：由长方形的性质可得， ∵， ∴， ∴由折叠的性质可得， 故答案为；． 12. 如图，正方形的对角线为边作菱形，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 四边形是菱形， ， ． 故答案为：． 13. 如图，四边形为菱形，对角线交于点E，与关于B点中心对称，已知，则的长为______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，中心对称图形的性质，勾股定理．根据菱形的性质，可得，再结合中心对称图形的性质，可得的长，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， ∵与关于B点中心对称， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：13 14. 已知、是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，得出及，再将其代入中，即可求出结论． 本题考查了根与系数的关系、代数式求值以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，得出及是解题的关键． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故答案为：． 15. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 16. 如图，中，是的中位线，点P为射线上的一个动点不与点E重合，作交边于点F，连接，，若在延长线上可以与点D重合存在一点P，使得四边形为矩形，则度数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，分点F在B处、点P在点D处两种情况，结合等腰三角形的判定与性质，求出度数的取值范围． 【详解】解：如图1所示， 当点F在B处时， 四边形是矩形， ， ， ， ， 如图2所示， 当点P在点D处时，连接， 四边形是矩形， ， 是的中位线， ，， ，， ， ，， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的两个锐角互余，与三角形中位线有关的求解问题，利用矩形的性质求角度，解题关键是熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，直角三角形的性质． 17. 如图，已知，为线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上，，分别是对角线的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接、．首先证明，设，则，，，根据勾股定理和完全平方公式求出，然后根据非负数的性质即可解决问题． 【详解】解：连接、．    四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设， 则，， ，    ， 当时，有最小值，最小值为， 即时，有最小值，最小值为． 18. 如图，点为矩形的中心，轴，轴，，则点的坐标为______；若矩形中，，，，在轴上，矩形以每秒个单位长度向右平移秒得到矩形，点、、、分别为、、、的对应点，与此同时，点从点出发，沿矩形的边以每秒个单位长度的速度顺时针方向运动即…连接，，点为的中点，当的面积为时，则点坐标为______． 【答案】 ①. ； ②. 或． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握矩形的性质，根据点的运动情况分类讨论是解题的关键．根据矩形的性质直接求解得到点A的坐标，当时，在y轴的左侧，当点在上时，，解得(不符合题意 ，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得；当时，在轴的右侧，当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得(不符合题意，舍去)；当点在上时，，解得；求出后再分别求出、点坐标，即可求点坐标． 【详解】解：，， ， ，的面积为， 点到的距离是， ， ，， 当时，在y轴的左侧， 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：， ，， 是的中点， ； 当时，在轴的右侧， 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得(不符合题意，舍去)； 当点在上时，， 解得：， ，， 是的中点， ； 综上所述：点坐标为或 三、解答题：本题共8小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）用适当的方法解下列方程： ① ② （2）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ①求m的取值范围； ②若此方程的两根分别为，，且，求m的值． 【答案】（1）①，；②，；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）①把等号右边的式子看成一个整体，移到等号的左边，用因式分解法求解即可； ②用公式法求解即可； （2）①根据方程有2个不相等的实数根，根的判别式大于0求解即可； ②根据根与系数的关系求得，与m的关系，代入所给等式求得m的值，进而根据①中得到的取值范围求得合适的解即可． 【详解】（1）解：①， ， ， 或， ，； ②，，， ， 方程有2个不相等的实数根， ， ，； （2）①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， ， ； ②方程的两根分别为，， ，， ， ， ， 或， ，， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程，根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点．请完成如图所示的画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②不写画法，保留必要的画图痕迹． （1）在图1中画出一条长为的线段MN（M，N分别为格点） （2）在图2中画出一个以格点为顶点，以AB为一边的正方形ABCD； （3）在图3中，E，F分别为格点，画出线段EF的垂直平分线l． 【答案】（1）线段MN如图所示； （2）正方形ABCD如图所示； （3）线段EF的垂直平分线l如图所示； 【解析】 【分析】(1)因为正方形网格中的每个正方形边长都是1,根据勾股定理可得,直角边长为2和3的直角三角形的斜边长是;; （2）根据正方形的定义来画图即可； （3）用圆规分别取长度长于线段一半小于全长分别在线段两端画圆，将两圆交点一连即为垂直平分线； 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是画图，熟练掌握勾股定理和正方形是解题的关键. 21. 如图，在中，F是的中点，延长到点E，使，连结． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ，且， 是的中点， ． 又， ， ， 四边形是平行四边形 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，平行线的性质以及勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知，且；再证，然后根据平行四边形的判定定理即可得出结论； （2）如图，过点C作于点H．解直角三角形得到，再根据勾股定理即可得出结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点C作于点H． 在中，， ， 在中， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， 则 在中，根据勾股定理得： 22. 某超市将进货价为20元/盒的水彩笔套盒以25元/盒售出，每月能售出600盒．调查表明：这种水彩笔每盒的售价每上涨1元，每月的销售量会减少10盒．超市销售这种水彩笔要实现每月5500元的销售利润，且尽可能地让利于顾客，这种水彩笔每盒的售价应定为多少元？ 【答案】这种水彩笔套盒每盒的售价应定为30元． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设这种水彩笔套盒每盒的售价应定为x元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能地让利于顾客， ∴； 答：这种水彩笔套盒每盒的售价应定为30元． 23. 已知，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得线段． （1）如图1，当点是中点时，连接，若，求的值； （2）如图2，当点在边上时，连接，为 的中点，连接，求证：； （3）如图3，当点在边上时，连接，若，则的最小值为______．（用含的式子表示） 【答案】（1） （2） 证明：∵，， ∴， 如图，过作，交的延长线于，过作于， 则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即， ∵为的中点， ∴，而， ， （3） 【解析】 【分析】（1）由点是中点，可得，通过勾股定理计算即可； （2）如图，过作，交的延长线于，过作于，证明，由全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得，再利用中位线的性质可得结论； （3）判断点D运动轨迹为线段，作点C关于线段的对称点为，通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：点是中点，， 线段绕点顺时针旋转，得线段， ， ； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 当点在边上运动时，点D运动轨迹为线段，作点C关于线段的对称点为，连接，交线段于点F，如图所示： 当点与点C重合时点D与点M重合，此时有， 当点与点A重合时点D与点N重合，此时有， 连接过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为；， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的判定及性质，解题关键是判定点D运动轨迹，是中考常考题型． 24. 用厘米长的铅丝，弯折成一个长方形的模型.设长方形的面积为平方厘米，长方形的长为厘米． （1）用的式子表示；并求当平方厘米时的值； （2）的值会不会为平方厘米？ 【答案】（1），厘米； （2）不会． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式． （1）先求出长方形的宽，再根据长方形的面积公式列出关系式为，当时，可得方程，解一元二次方程即可； （2）当时，可得方程，根据一元二次方程的根的判别式可得：，所以一元二次方程无解，即的值不会为平方厘米． 【小问1详解】 解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米， 根据题意可得：， 当平方厘米时， 可得：， 整理得：， 解得：， 即当平方厘米时的值为厘米； 【小问2详解】 解：当平方厘米时， 可得：， 整理得：， ， 方程没有实数根， 即的值不会为平方厘米． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点A，C分别在y轴和x轴上．直线经过点A，与x轴交于点．已知，，．平分，交于点F，点P是线段上一动点． （1）求的长和的度数； （2）若点G是平面内任意一点，当以E、C、P、G为顶点的四边形为菱形时，求点G的坐标； （3）如图2，在线段上有一动点Q，点P与点Q分别同时从点C和点A出发，已知当点P从点C匀速运动至点F时，点Q恰好从点A匀速运动至点E，连结．问：在运动过程中，是否存在这样的点P和点Q，使得的面积与的面积相等．若存在，请直接写出相应的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）点G的坐标为或或 （3）存在两个这样的点P，和 【解析】 【分析】（1）先求出点A，E的坐标，可得线段，解直角三角形可得结论； （2）过点G作轴于点K，情形①当时，点G在直线上，因为四边形是菱形，与互相垂直平分，即可求得G点的坐标；情形②，当时，此时点G在上，继而求得G点的坐标；情形③，当时，此时点G在上且，继而求得G点的坐标； （3）过点P作轴于点N，延长交y轴于点M，设Q的运动速度为，则P的运动速度为，运动时间为t；①当时，，求得，再求得即可求得P点的坐标；②当到的距离相等时，，利用，求得后面方法同①． 【小问1详解】 解：令，， ， ， 令，， ， ， 在中， 由勾股定理得，， ，， ； 【小问2详解】 解：过点G作轴于点K， ①如图，当时，点G在直线上． 四边形是菱形，与互相垂直平分，设与交点为K， ， ， ∴， 设，则， 根据勾股定理：， ， 解得， ， ， ②如图，当时，此时点G在上， ， ，， ， ， ， ， ③如图，当时，此时点G在AE上且， ， ， ， ， 综上，点G的坐标为或或； 【小问3详解】 解：过点P作轴于点N，延长交y轴于点M， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ，， 平分， ， ， ， 轴， ， 由题意，，则， 设Q的运动速度为，则P的运动速度为，运动时间为t， 则， ①当时，如图所示，， ， 四边形是平行四边形， ， 即， ∴， ∴， 轴， ∴， ∴， ∴， ； ②当到的距离相等时，， 如图，分别过作，过E作于点T， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， 当到PQ的距离相等时，， ， ， ∴， ， ， 解得， ∴， 轴， ∴， ∴， ∴， ， 综合①②可知点P的坐标为：或， 存在两个这样的点P，和． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系的定义，一次函数图像性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键． 26. 如图所示，正方形ABCD中，点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点，连接EF、FG． （1）如图1，直接写出EF与FG的关系____________； （2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH，连接EH． ①求证：△FFE≌△PFG；②直接写出EF、EH、BP三者之间的关系； （3）如图3，若点P为CB延长线上的一动点，连接FP，按照(2)中的做法，在图(3)中补全图形，并直接写出EF、EH、BP三者之间的关系． 【答案】（1）EF⊥FG，EF=FG； （2）①证明：由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG， ∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH， ∴∠PFH=90°，FP=FH， ∵∠GFP+∠PFE=90°，∠PFE+∠EFH=90°， ∴∠GFP=∠EFH， 在△HFE和△PFG中， ， ∴△HFE≌△PFG（SAS）； ②EF+EH=BP； （3）补全图形如图3所示，EF+BP=EH． 【解析】 【分析】（1）根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG，得出∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°，求出∠EFG的度数，由“SAS”证得△AEF和△BFG全等，得出EF=FG，即可得出结果； （2）①由旋转的性质得出∠PFH=90°，FP=FH，证出∠GFP=∠EFH，由SAS即可得出△HFE≌△PFG； ②由全等三角形的性质得出EH=PG，由等腰直角三角形的性质得出EF=AF=BG，因此BG=EF，再由BG+GP=BP，即可得出结论； （3）根据题意作出图形，然后同（2）的思路求解即可． 【详解】解：（1）如图1所示： ∵点E、F、G分别是边AD、AB、BC的中点， ∴AE=AF=BF=BG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠AFE=∠AEF=∠BFG=∠BGF=45°， ∴∠EFG=180°-∠AFE-∠BFG=180°-45°-45°=90°， ∴EF⊥FG， 在△AEF和△BFG中， ， ∴△AEF≌△BFG（SAS）， ∴EF=FG， 故答案为EF⊥FG，EF=FG； （2）如图2所示： ①略； ②解：由①得：△HFE≌△PFG，∴EH=PG， ∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠B=90°， ∴EF=AF=BG， ∴BG=EF， ∵BG+GP=BP， ∴EF+EH=BP； （3）解：补全图形如图3所示，EF+BP=EH．理由如下： 由（1）得：∠EFG=90°，EF=FG， ∵将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90°，得到线段FH， ∴∠PFH=90°，FP=FH， ∵∠EFG+∠GFH=∠EFH，∠PFH+∠GFH=GFP， ∴∠GFP=∠EFH， 在△HFE和△PFG中， ， ∴△HFE≌△PFG（SAS）， ∴EH=PG， ∵AE=AF=BF=BG，∠A=∠ABC=90°， ∴EF=AF=BG， ∴BG=EF， ∵BG+BP=PG， ∴EF+BP=EH． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质等知识；本题综合性强，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $