福建省仙游第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年仙游一中高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．C 2．B 3．D 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．ABD 10．ACD 11．BD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．63 14．23 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）；或；（2） 【详解】（1）当时，集合， 因为， 所以，或，或； （2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得； 综上所述：若“”是“”的必要不充分条件，实数的取值范围为． 16．【答案】（1）； （2）； （3）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或． 【详解】（1）由题意可知的两个解为，， 所以，所以； （2）因为恒成立，则， 即，解之得； （3）原不等式等价于， 若，则； 若，则； 若，则； 若，则或； 若，则或； 综上所述：时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为；时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或． 17．【答案】（1）长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）菜园的长为，宽为时，菜园面积最大． （3）． 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15m，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 18．【答案】 （1）证明如下： ， 当且仅当，即时等号成立， ． （2）， ， ， ，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，， 的最小值为3． （3）根据柯西不等式①， ①式可化为， 即， ， ，当且仅当，即时取等号， ，，， ，，， 在上单调递增，， ，时取最小值，此时 ， 的取值范围为： 19．【答案】 （1）详解由集合，得，，，因此， 又，，，所以．因为，所以具有孪生性质． （2）由集合，， 得集合的元素在，，，中产生， 且，， 而，则中最大元素属于， 而为4个元素中的最大者，于是，即，， 则构成的元素为，，，，且与0或或重复， 又，所以，即． （3）依题意，， 设满足题意，其中， 由， 得：， 由，得：， 由，得， 而中最小的元素为0，最大的元素为，， 因此，即，解得， ，． 则，，满足， 所以具有孪生性质． 所以集合中元素的个数的最大值是1350． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年仙游一中高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题　共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．子曰：“工欲善其事，必先利其器．”这句名言最早出自于《论语·卫灵公》．此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于任意实数，，，，以下四个命题中的真命题是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 4．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．若命题“，”为假命题，则的值可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．若关于的不等式的解集中恰有4个整数，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当（其中且），或（其中，，，且）．现有如下两个命题：①；②集合．则下列选项中正确的是（ ） A．①是真命题，②是真命题； B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题； D．①是假命题，②是假命题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若集合，则（ ） A． B． C． D． 10．对任意，，记，并称为集合，的对称差．下列命题中，是真命题的为（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，且，则 D．若，且，则 11．已知，，，下列说法正确的是（ ） A．的最大值为1 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为2 第二部分（非选择题　共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则的取值范围为_________． 13．满足的集合共有_________个． 14．已知，，…，是8个正整数，记，其中，，…，，若，则这8个正整数中的最大数与最小数的和为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知全集，集合，． （1）若，求和；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 16．（15分）已知二次函数． （1）若关于的不等式的解集为，求a和b的值； （2）若不等式对一切实数x都成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式． 17．（15分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． （1）若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ （2）若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ （3）若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 18．（17分）柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数，，，，有．当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数，，，，，，有．当时，等号成立． （1）证明二阶柯西不等式： （2）若求的最小值； （3）若，，，求的取值范围． 19．对于给定的非空数集，定义集合，，当时，称A具有孪生性质． （1）若集合，求集合和并判断是否具有孪生性质； （2）若集合，，且，求证：； （3）若集合，且集合具有孪生性质，记为集合中元素的个数，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $